2.2.5. распределение имущества на надежные и рисковые вложения

2.2.5. распределение имущества на надежные и рисковые вложения

Благодаря прибыльному бизнесу в России вам удалось накопить 1 млн руб., которые вам хочется использовать для постройки дома. Предварительный договор со строительной компанией предусматривает оплату строительства сразу после передачи ключа. Однако компания настаивает на варьирующем сроке завершения строительства. При плохой конъюнктуре строительной отрасли она хочет передать ключ через один год, а при полной загруженности другими заказами — через два года. По прогнозу ведущих институтов прогнозирования экономики в строительной отрасли с вероятностью q — 0.6 наступит спад. Вы хотите вложить свои финансовые средства до возможного срока платежа. На рынке предлагаются договоры лишь двух видов. Первый контракт предполагает срок, равный двум годам, и возвратный платеж в объеме 1.42 руб. на каждый вложенный рубль. При преждевременном расторжении договора через один год выплачиваются, однако, лишь 0.55 руб. Во втором контракте вам предлагается на каждый вложенный рубль 1.10 руб. через один год, и 1.21 руб. — через два года.

1. Исходите из того, что вы комбинируете предложенные договора. Ставка процента 7= 0.1. Составьте таблицу, которая отражает безрисково вложенные части имущества, а также сегодняшние стоимости, если выплаты происходят либо в t = 1, либо в t = 2. Выведите из имеющихся значений общее бюджетное уравнение.

Какую абсолютную сумму вы вложите с риском и какую — надежно, если сама функция полезности имеет вид U(x) = :r° 5?

Какую абсолютную и какую относительную сумму вы вложите с риском, если ваше имущество благодаря выгодному браку увеличится еще на 1 млн?

Как велика ваша абсолютная и ваша относительная нерасположенность к риску?

Чему равны абсолютные суммы объема рискованного и надежного вложения до и после заключения вами брака, если ваша функция полезности из-за экзогенного шока стала иметь вид Г.'(.г) = —е~х?

•к 'к •к

1. Сначала мы рассмотрим сегодняшние стоимости возвратных платежей. Если вы подпишите договор 1, то каждый инвестированный рубль будет иметь сегодняшнюю стоимость 2/, = = 0.5 руб., если из-за более короткого срока строительства вам придется преждевременно расторгнуть договор денежного вложения. Но если вы сможете подождать до истечения срока действия в два года, то сегодняшняя стоимость инвестированного рубля составит zh = у^г = 2 руб. Поэтому этот контракт является рисковым. Второй контракт гарантирует вам для каждого срока выплаты одинаковые сегодняшние стоимости zl = yj = l = zn z2 = = 1=2. Теперь мы сложим оба вида договора и рассчитаем для ситуации 1 (преждевременный возвратный платеж) и ситуации 2 (полный срок действия) соответствующие сегодняшние стоимости. Пусть «і будет долей имущества, которая будет инвестирована при заключении надежного контракта, тогда распределение начального имущества можно записать следующим образом °:

Wo = Ск у Wo + Ct2 W()

при Qi +«2 = 1. Сегодняшняя стоимость выплаты в ситуации 1 обозначается її, а в ситуации 2 — х2. Оба значения можно определить через формулы

.Ti=«iWb2 + rt2lVoZ£,, (2-15)

Х2 «1 И о 2 + Q2 И'о 2//. (2.16)

Следующая таблица приводит некоторые зависящие от ситуации сегодняшние стоимости в зависимости от «і.

Цена за надежный контракт, так же как и цена за рисковый договор, принимается равной 1.

Две пары значений из таблицы достаточны для расчета бюджетной линии

х2 = а + 6.т1. (2.17)

Если мы, например, выбираем х = 0.5 и х2 = 2, а также х = 1 и х2 = 1, то создается система уравнений

2 = о + 6-0.5, 1 =а + Ь1

с решением а = 3 и Ъ = —2. Следовательно, бюджетной линией является

х2 = 3 — 2 • х.

Она на рис. 2.3 является левой непрерывной линией. 2. Вы максимизируете свою функцию ожидаемой полезности при условии, что полностью распределяете свои средства на оба вида договора:

max qU(x) + (I q)U(x2) при дополнительных условиях l=Qi+a2.

Эта проблема разрешается с помощью функции Лагранжа

dL ч дхг , дх2

+ {-q)U (,т2) к = 0,

(2.18) (2.19)

9а і дх2

С = qU{xx) + (1 q)U{x2) + к(1 on а2). Необходимым условием первого порядка является

= qU'(xl)

0,

даі ~* " 4 11 да

»=,ntl)gi + (1_,1(/'(a,,a(2

dL ,

— = 1 Q! Q2 = 0.

ак

Формулы (2.18) и (2.19) можно из-за

дх2

дхх дхі

д— = Wo z, ^— = WazL и -— .= V0 г,

аа аа2 ааі

дх2 да-.

= Wo г я

обобщить, приведя к виду

q U'(Xl) Z + (1 q) U'(x2) Z = qU'(xi)zL + (!-<?) U'(x2) ZH, и, наконец, превратить в условие оптимальности

qU'in) z-zh 1-2

2. (2.20)

(1-<])U'{t2) zl-z 0.5-1 При q = 0.6 и U'(.r) = 0.5 • х-0'5 (2.20) превращается в

х2 = 1.78 ■ xl

Для нахождения оптимальных комбинаций сегодняшней стоимости, принадлежащих имуществу в сумме 1 млн руб., мы должны рассчитать точки касания кривой безразличия Ux и бюджетной линии. Так как линией экспансии является геометрическое место всех точек касания, искомую комбинацию сегодняшних стоимостей мы получим через приравнивание

.г2 = 1.78 • xi при 3-2 =3-2-.ті.

Оптимальная сегодняшняя стоимость выплаты при преждевременном расторжении договора составляет .п = 0.794, а при полном сроке действия она имеет величину х2 = 1.41. Для определения безрисково вложенной доли имущества «і, максимизирующей полезность, мы подставим ПОЛучеННЫе только что Значения при учете, что а2 = 1 — Qi,

в (2.15)

0.794 = 0! • 1 + (1 -лі)0.5

и получим, таким образом, ах = 0.59.7 Сейчас мы должны вспомнить, что нашими единицами расчета являются миллионы рублей. Значит, надежно вложенная абсолютная сумма составляет 590000 руб. А в рискованный контракт 1 вы инвестируете 410 000 руб. 3. Теперь ваши средства увеличились до 2 млн руб. В следующей таблице приведены возможности выбора из потенциальных комбинаций сегодняшних стоимостей.

С помощью этих чисел мы рассчитаем новую бюджетную линию

х2 = &-2х.

Это совместно с условием оптимума (2.20) дает новые значения, максимизирующие полезность .ті = 1.59 и х2 = 2.82. Подстановка в (2.15)

1.59 = а! • 1 • 2 + (1 qi)0.5 2

приведет опять к «і = 0.59. Очевидно, что инвестированная в надежный контракт доля имущества из-за большего богатства не изменилась. Однако сейчас Как надежный, так и рискованный контракт содержат больше средств. Надежно вложены 1.18 = 0.59 • 2 млн руб., рискованно инвестированы 0.82 = 0.41 • 2 млн руб. Вы имеете постоянную относительную нерасположенность к риску (доля имущества, вложенная с риском, не зависит от величины имущества) и убывающую абсолютную нерасположенность к риску (абсолютная сумма, вложенная с риском, после заключения брака повысилась с 410000 до 820000 руб.). 4. Приведенное только что утверждение отражается в обоих показателях ARA и RRA, а также в их производных

ARA = °'25х п Е = 0.5х-1,

0.5.Т-0-5

7 Тот же результат для а мы получим, если подставим эти значения в (2.10).

= -0.5x-z < 0, = 0.

dx dRRA

d X

RRA = x0.5x_1 = 0.5, dARA

5. Благодаря изменению функции полезности меняется также первоначальное условие оптимальности (2.20) — оно принимает вид

0.G ■ e.~Tl

• = 2.

0.4 • е.-*>

После преобразования и логарифмирования мы получим

lne~Tl =1п4/3 + 1пе-Х2

и, следовательно,

х2 = 0.2877 + а,-!.

Эта линия экспансии параллельна биссектрисе, см. рис. 2.3. Перед заключением брака бюджетная линия

х2 = 3 — 2 • .гі

отражает возможные комбинации сегодняшней стоимости. Оптимальной, однако, является лишь точка касания с кривой безразличия Щ на рис. 2.3, которую мы можем определить через приравнивание линии экспансии к бюджетной линии. Становится верно

З-2-zi = 0.2877 + х!

и, таким образом, Х = 0.9041. Подстановка в (2.15)

0.9041 = а, • 1 + а2 ■ 0.5

дает надежно вложенную долю имущества ах = 0.8082. При имуществе в объеме 1 млн руб. вы вложите 808 200 руб. гарантированно и 191800 руб. рискованно. После заключения брака вы осуществляете расчеты с новой бюджетной линией

х2 = 6 — 2хі.

Точками пересечения с линией экспансии

х2 = 0.2877 + XI

согласно вашим расчетам являются хі = 1.9041 и х2 = 2.1918. Оптимальная доля имущества вычисляется из:

1.9041 = qi ■ 1 • 2 + (1 qi) 0.5 • 2.

При Qi = 0.9041 и И'о = 2 млн руб. мы получаем в качестве надежно вложенной абсолютной суммы 1.8082 = 0.1918 млн руб. Рискованно вложенная сумма остается при 2— 1.8082 = 0.1918 млн руб. неизменной. Это наблюдение находится в полном соответствии с динамикой ARA при изменении имущества. Так как

л т.» ~е~х , с/ARA п

ARA = = 1 и —■ = О

е х ат

ваше поведение характеризуется постоянной абсолютной нерасположенностью к риску.