2.4. стохастическое доминирование

2.4. стохастическое доминирование

Стохастическое доминирование является третьей концепцией оценки в условиях неопределенности, которую мы здесь представим. Эта концепция по сравнению с обсуждавшимися в ранних разделах критериями принципа ожидаемой полезности и принципа математического ожидания—дисперсии имеет преимущества, которые нельзя недооценивать. Для определения выгодной инвестиционной альтернативы достаточно знать соответствующие функции распределения негарантированных результатов и отношение к риску инвестора. В обращении к явной функции полезности нет необходимости.

Мы подойдем к используемой концепции — в первую очередь для непрерывных распределений — поэтапно. Вначале мы покажем, что можно изобразить ожидаемую полезность случайной переменной U(x) посредством интегрирования функции, обратной функции распределения.11 С помощью этого доказательства нам удастся обосновать разницу в ожидаемых полез-ностях двух альтернатив прохождением соответствующих функций распределения. Так как отношение к риску и выбор проекта неотделимо связаны друг с другом, мы займемся подробным анализом всех трех форм отношения к риску. Заканчивается глава рассмотрением конкретных случаев оценки.

2.4.1. Непрерывное распределение и ожидаемая полезность

Пусть полезность U(x) в интервале U = [0, 2] будет равномерно распределена. Покажите, что выражение

і

J F-q)dq О

при q = F(U) соответствует ожидаемой полезности E[U(x)].

* * *

Ожидаемая полезность определяется как

U(b) 2

E{U(x)}= J Uf(U)dU = J Uf(U)dU (2.24)

U(a) 0

U из-за £ является тоже случайной переменной. По соображениям наглядности, несмотря на это, мы откажемся в данной главе от использования тильды.

при f{U), являющейся функцией плотности распределения случайной переменной U(x). Так как мы предполагали равномерное распределение, то f(U) = с является константой в интервале [а, Ь] = [0,2], см. рис. 2.5. Вероятность q(U) = РгоЬ([/ < 0) можно записать как

q(U)= / с. dU

:U

(2.25)

с(0-0) = ей.

Если мы приравняем U = 2, то получим для константы значение с — 1/2. Расчет ожидаемой полезности при использовании с сразу дает

Щи(х)} = Judu=1

и2

(2.26)

Для требуемого доказательства эквивалентности определим полный дифференциал функции распределения q

dq=^dU = f(U)dU,

Затем вычислим при (2.25) границы интеграла заново — q = F(2) = 1 и q — F(0) = 0 и подставим в (2.24)

Е[Щх)] = f Udq.

(2.27)

Так как мы сейчас интегрируем над ординатой на рис. 2.5 (выше), т. е. над q, мы должны в (2.27) выразить U как функцию от <у. Поскольку

q = F(U) = сй = U,

мы получаем

U = F~q) = 2q.

После подстановки этого результата в (2.27) получим ожидаемую полезность

і

E[U(x)} = J

2 q dq = 2

2 Jo

= 2 ■ 0 = 1. 2

(2.28)

(2.26) и (2.28) приводят к тому же результату.

2.4.2. Альтернативные концепции для определения математического ожидания прибыли

Пусть прибыль яимеет в интервале [0,2] плотность распределения

Е[7Г]= J 7Г/(7Г)ЛГ,

и

I,

Е[тг] = J F~l(q)dq, <t

I,

Е[тг] = F(b)bJ F{n)dTT.

(2.29) (2.30) (2.31)

Сначала мы рассчитаем ожидаемую прибыль через интегрирование по тт:

■2 2 2

Е[/т] = / nf(w)dw= тг-ж

dn

1 2, 1

1 /"2

о

Определение математического ожидания с помощью интегрирования по q требует известной уже из задачи 2.4.1 «подготовительной работы». Мы определяем функцию распределения q как

F(tt) = / ^ ndn = ^ тг2,

(2.32)

ее полный дифференциал как

OF

dq = — dn = f{Tr)dn.

обратную функцию как

F'q)

4<7,

22 , ч О2

_ = 1 и g(0) = -=0.

а в конце, определяя еще при помощи (2.32) новые границы интегрирования,

<?(2)

Подстановка в (2.30) дает

з9

і і Е[тг] = J (4g)°-5d9 = 2 I q0*dq = 2

b b

2( ^ • І15 0

Третий подход к расчету (2.31) дает из-за F(b) = 1

Е[тг] = 2

2

2 / -_.£/> = 2 -2 і 2 2

2

(і

4 4

9з

— 0 0

Три способа приводят к одному и тому же математическому ожиданию. Их эквивалентность можно было бы доказать и в общем виде.

2.4.3. Стохастическое доминирование первого порядка

Пусть функция полезности U(x) будет дважды непрерывно дифференцируемой. Покажите с помощью интегрирования по частям, что

АЕ[Щх)] = Ци(х)}с E[U(x)}F > 0,

если на всем интервале а < х < b верно неравенство F(x) > G(x).

Для разности в ожидаемой полезности мы можем записать

ЩЬ) и(ь)

ae[U{x)} = J U{x)g{U)dUJ U(x)f(U)dU =

U (a) U (a)

b Ь

= J U(x) g(x) dx j U{x) f(x) dx =

a a b h

= f U{x)'^dxjU(x)^dx =

(2.33)

Теперь выражение (2.33) интегрируется по частям с помощью формулы

v dz

■л Ъ

I

■ dv.

(2.34)

Для этого мы определим

dU

U (х) = v. dv — —— dx, ox

c{x) _ F(x) ]=zt _ = (^__ _ _j ^ dz = ^_ _ __, dx

и подставим в (2.34)

G{x) F(x) U(x)

j (g(x) f(x)^j ^ dx,

тогда получим

dU

r) G(x) ) — dx. (2.35)

G(b) f(b)^ щь) (c(a) F(a)) U(a) + j (f(*

a

Так как G(b) = f(b) = 1 и G(a) = f(a) = 0, (2.35) упрощается и сводится к

ь

e[U(x)}c e[U(x)}F = j (f(x) G(x) j ^ dx.

a

При положительной предельной полезности и при f(x) > G(x) во всем диапазоне изменения .т это выражение положительно.

2.4.4. Стохастическое доминирование второго порядка

ь

J H{x)dx = Q

а

для а < х < z,

для X = z,

для z < х < Ь.

Рассмотрим два распределения F(.t) и Н(х) со свойствами

ь

J F(x)dx

а

и

F(x) < Н(х) F(x) = Я (г) F{x) > Н(х)

Какое из двух распределений вы предпочтете, если вы являетесь

Нерасположенным к риску,

Нейтральным к риску,

Расположенным к риску?

* *

Вновь для принятия решения мы можем использовать критерий

F(x) >Н(х) «=> E[U(x)]F Щи(х)}и > 0.

Для общего вывода искомой связи между распределением и ожидаемой полезностью мы сначала определим обратную функцию х — £/"'(?/). Полный дифференциал этой функции имеет вид

Если выразить данную формулу через d.U и подставить х = U~x, то это приведет к

ш.^ь^,, (2.м,

Обратная функция х, в пределах интегрирования U(а) и U(b) имеет значения

х = U-l{U(a)) = а и х = U~l(U(b)) = Ъ. (2.37)

После этой «подготовительной работы» можно легко вывести разность в ожидаемой полезности. При учете (2.36), (2.37) и F(U(x}) H(U(x)) = F(x) -— Н(х) мы получим

AE[U(x)}=E[U(x)}F-E[U(x)}n

U(b) U(b)

U(b)j F(U)dU-(u(b)J H{U)dUSJ =

U(a) U(a) b

= J (H(x)-F(x)^dx. (2.38)

a

Исходя из формулы (2.38) мы сейчас можем проанализировать, варьируется ли выбор распределения при изменении отношения к риску, и если да, то каким образом.

1. Нерасположенность к риску можно представить через выпуклую вверх функцию полезности U(х) при

dU d2U

1х->0 И ^<0<2-39> Как выясняется из рис. 2.6, из (2.39) следуют неравенства

> —г^ для х < 2, dx dx

dU(x) dU(z)

—< —T^ для x > z.

dx dx

При нерасположенности к риску предпочитается распределение F. Для того чтобы это показать, разделим на первом этапе (2.38) на

ДЕ[ГУ(х)] =E[U(x)]F -E[U(x)}„ =

z b a z

и подставим dU(z)/dx. Это приведет к

z b

ДЕ[С/(і)]>^ J (H(x)-F(x)^dx-^& J (F(x)-H{x)^dx>

dU{z) dx

> 

a z b

J (tf(x) F(x))dx. (2.40)

Так как по предположению

b

J (н(х) F(x)) dx = 0,

из (2.40) следует

E[U(x)]F-E[U(x)]„>0.

Разница в ожидаемой полезности положительна. Распределение f превосходит распределение Я.

Нейтральность к риску предполагает

— О с d2t/ _ dx dx2

После подстановки константы с (см. для этого рис. 2.6) в (2.38) получаем

ь

E[U(x)]F E[U(x)]H = с J (н(х) F(x)^j dx = 0.

а

Нейтральные к риску индивидуумы безразличны при совершении выбора между F и Я.

Расположенность к риску формально описывается через

dU ді d2U

dx dx2

Таким образом, согласно рис. 2.6 верно: dU(x) dU(z)

-—■ < —j^-1 при х < z,

dx dx,

dU(x) dU(z)

—~> —г5-^ при x > z, dx dx

и мы можем по аналогии к (2.40) записать

z Ь

AE[U(x))<^Wj (H(x)-F(x)^dx-^J (f(x)-H{x)^ dx <

ь

dU(z)

< j (h{x) F(x)J dx < 0.

a

Я при расположенности к риску является однозначно предпочтительным распределением.

2.4.5. Выбор наилучшего инвестиционного проекта

Вы должны принять решение в пользу одного из двух инвестиционных проектов А и В. Прибыль тгд в интервале тг = [0,2.71] распределена в соответствии с функцией плотности /л(тг) = 0.2723тт. 7г# в том же интервале имеет функцию плотности /п(7г) = 0.5 тг2 — 7г + 0.5.

<IU{z) dx

dU(x) „ іІу (нейтральный к риску)

.т < z

х > z

Рис. 2.6. Функции предельной полезности и отношение к риску

В пользу какого проекта вы примете решение?

Изобразите функции плотности распределения, распределения и разности распределения графически.

* * *

1. Если функции распределения пересекаются лишь один раз (см. рис. 2.7), то в качестве критерия принятия решения можно применить математическое ожидание прибыли.12 Если

Е[тгл] > Е[тг»1

2.71 2.71

7Г/Д(7Г)(/7Г > I ТТ]'Л{-к)(Ы, О О

то мы выбираем проект А, а в противном случае — проект В.

Следовательно, для случая А >В разность математических ожиданий должна быть положительной

12 См.: Wolfstetter Е. Stochastic Dominance: Theory and Applications. Discussion Paper 10 of the Institute for Economic Theory I. Berlin, 199C.

Е[тг.4] Е[7гй] > 0.

Для определения математического ожидания прибыли мы имеем в распоряжении альтернативные формулы13

2.71

Е[тг] = j тг /(тг) (ь о

Е

1 2.71

тг] = j F~i(q)dq = 2.71j F{n)dn.

(2.41)

Мы используем разумным образом (2.41) и получаем для разности математических ожиданий выражение

ДЕ[тг] = Е[тгЛ] -Е[тгв]

2.71

2.71

= 2.71- / FA(n)dn- 2.71- / Fn{n)dn

2.71

Fb(tt) F,(tt) dn

Для рационального выбора между двумя проектами достаточно знания функций распределений Fa и F/j. Интегрирование функции плотности дает

^л(тг) = j /д(тг) dn = ~ пл -]--2+1-п ^в(тг) = / ./в(тг)«7г = —-— тг .

Для разности математических ожиданий мы получаем

2.71

Е[тгл] Е[тгд]

1

0.

ТГ'5 7Г~ + 0.5 7Г ■

3 2

0.2723

гітг.

Интегрирование этого выражения даст

2.71

Е[тг,] -Е

Пц =

— 0.2121 тг3 + тг2 24 4

= -0.1370.

См. задачу 2.4.2.

Разность отрицательна. На основе стохастического доминирования второго порядка проект В более выгоден, чем проект А.

2. Рис. 2.7 показывает функции плотности и распределения. Плоскость прямоугольника высотой 1 и шириной 2.71 после вычета плоскости под кривой F[tta] на рис. 2.7 (б) изображает ожидаемую прибыль £[7гд]. По аналогии с этим Е[тгв] является разницей плоскостей прямоугольника и плоскости под F[ttb.

2.4.6. Выбор проекта при издержках банкротства

Вы хотите открыть свой бизнес. У вас есть выбор: стать владельцем ларька «Бистро» (альтернатива А) или частным таксистом (альтернатива В). В обоих случаях необходим стартовый капитал в объеме /0 = 1 ден. ед., который полностью финансируется банковским кредитом по ставке процента г. Вы ожидаете будущие денежные потоки величиной в х при х > </з = 1 + г в случае успеха и х, < <р = 1 + г, если вы как частный предприниматель потерпите неудачу. x, находится в интервале [0,п]. Функции распределения FB(x) и Fa{x) пересекаются один раз при х* > <р. Если вы вдруг станете неплатежеспособны, то должны нести — какой бы проект ни реализовывали — издержки банкротства величиной С. При этом верно:

п п

J FB(x)dx = J FA[x)dx und FB(<p) > FA(<p). о 0

Какой вид деятельности вы выберете?

Мы вычисляем для обоих проектов ожидаемую прибыль

Е[тгл] = -FA{ip) С+ J (х-?) /д(:г) dx (2.42)

и

Е[тгв] = -FB(<p) С + J (x-ip) fB(x) dx. (2.43)

Так как

F(<p) = Prob(x < if),

то ожидаемыми издержками банкротства являются соответствующие первые члены в (2.42) и (2.43), а соответствующие вторые члены изображают ожидаемую чистую прибыль, причем

п

J f(x) dx = Prob(x > <f).

Мы осуществляем оценку альтернатив с помощью стохастического доминирования второго порядка. При подготовке к этому нам нужно проинтегрировать по частям (2.42) и (2.43). Мы получаем

E[*A] = -FA(tp)C +

[x-*)FA(x)

Fj (.г) dx =

= -FA(<p) C + (n-<p)-l-(<p-ip)FA(4>) / FA(x) dx

= -FA(<p)C + (n-v)J FA(x)dx

'•p

и по аналогии с этим

E[ttb} = -Fb(^)C + (,

FB(x)dx.

Для разности математических ожиданий получаем

Е[тг.4] Е[тг„] = (Fn(v) FA&)) С + j (fb{x) fA{x)^j dx

Так как /'«(>?) > FA(.p), то первый член вышеприведенной формулы положителен. На рис. 2.8 второй член соответствует площади под извилистой кривой справа от уз. Абсцисса и кривая включают в себя две частичные площади.

Часть площади к северу от абсциссы в соответствии с предполагаемыми в задаче свойствами должна быть столь же большой, как и часть площади к югу от абсциссы. Таким образом, общая площадь справа от <р — 1 + г имеет отрицательный знак. Поэтому бизнес частного таксиста нужно предпочесть лишь тогда, когда для издержек банкротства верно:

С <C* =  

Литература

Тому, кто хочет фундаментально понять принцип стохастического доминирования, рекомендуется: Hirshleifer J., Riley J. G. The Analytics of Uncertainty and Information. 2nd ed. New York: Cambridge University Press, 1993 (Reprint 1995). Мотивированное представление стохастического доминирования можно найти и у: Elton Е. J., Gruber М. J. Modern Portfolio Theory and Investment Analysis. 5th ed. New York: Wiley, 1995. А то, как с этой концепции можно анализировать конкретную проблему экономической политики, а именно регулирование структуры капитала банков, показывают: Dewa-tripont М., Tirole J. Efficient governance structure: implications for banking regulation // Mayer C, Vives X. (eds.) Capital Markets and Financial Intermediation. Cambridge University Press, 1993.