3.2. теория арбитража в условиях неопределенности

3.2. теория арбитража в условиях неопределенности

Как в условиях определенности, так и в условиях неопределенности допущение свободы от арбитража на рынке капитала является предпосылкой оценки финансовых титулов и инвестиционных проектов. Поэтому первая задача связана с вопросом о том, выполнено ли такое допущение. После этого мы обсудим способ функционирования методов оценки и следствия их применения.

3.2.1. Эквивалентный портфель и примитивные ценные бумаги

В мире с тремя возможными ситуациями существуют три рыночные ценные бумаги с приведенными в следующей таблице свойствами.

Ваше имущество составляет 4761.50 руб. Рассчитайте, какое количество рыночных ценных бумаг должно быть приобретено и/или продано без покрытия для того, чтобы вы получили доходы, зависимые от ситуации, величиной в 3015, 2105 и 3535 руб. Какова величина возвратного потока от ценной бумаги С, если фактически имеет место третья ситуация, а рынок является свободным от арбитража?

Рассчитайте цены примитивных ценных бумаг и проинтерпретируйте их.

1. У нас есть четыре определяемые величины, доли ценных бумаг искомого портфеля и неизвестный возвратный поток х. С помощью данных о рынке и значений имущества нам удастся построить следующую систему уравнений:

15.00пл + 9.00пд+ 3.00лс = 3015.00, 2.00 пА + 20.00 пв + 7.00 пс = 2105.00, 6.00 пА + Ю.ОО пв + хпс =3535.00,

14.55 пА + 22.25 пв + 9.60 пс = 4761.50.

Решение системы приводит к долям ценных бумаг

пА = 150, пв = -20 и пс = 315 и к искомому возвратному потоку в сумме х = 9 руб.

2. Цены примитивных ценных бумаг мы определяем из

15 7ГХ+ 2тг2 + Стг3 = 14.55, 9 7тг + 20 772 + 10 тгз = 22.25, 3 7тх+ 7тг2 + 9тг3= 9.60

и получаем

7Г1 = 0.75, тг2 = 0.6, тгз = 0.35.

Если мы рассмотрим эти цены более тщательно, то выяснится, что за гарантированный возвратный поток в один рубль мы должны заплатить цену 7Г1 + 7г2 + 7г3 = 0.75 + 0.6 + 0.35 = 1.70 руб. Следовательно, на этом рынке существует отрицательная ставка процента. Если допущено держание кассы, то создаются возможности арбитража, несмотря на то что рынок является полным. Если мы продаем каждую из трех примитивных ценных бумаг в точности один раз, тогда мы сегодня получим гарантированный доход величиной в 1.70 руб. и одновременно обязуемся заплатить через год один рубль. Для того чтобы мы могли выполнить это обязательство, нам нужно сегодня положишь в кассу лишь один рубль, и благодаря этому удастся достичь арбитражной прибыли в размере 0.70 руб.

3.2.2. Структура портфеля и доходность портфеля

Пусть на рынке капитала существуют две ценные бумаги. Бумага 1 стоит 15 руб. и гарантирует 21 руб. (17 руб.) при вступлении в силу ситуации 1 (ситуации 2). Платежи по бумаге 2, которая стоит 25 руб., равны 20 руб. при вступлении в силу ситуации 1 и 40 руб. при ситуации 2.

В каком соотношении вы должны смешать обе бумаги для того, чтобы вы при любой величине имущества Vo могли бы получить гарантированные возвратные потоки? Определите количественное и стоимостное соотношения.

Рассчитайте доходность портфеля.

1. Возвратные потоки портфеля являются безрисковыми, когда они в каждой ситуации равны одной и той же величине. Это условие приводит к уравнению

21 ть + 20тг2 = 17 пх + 40п2Если данное уравнение выразить через щ, то это позволит получить формулу

Соотношение смеси надежного портфеля по количеству должно всегда составлять 5:1.

Стоимостная доля первого титула определяется как

Пір(Хі) + п2р(Х2)

5 п2р(Хі) 5n2p(Xi) + п2р{Х2)

5р(А-х) = ЬріХ^+ріХ,) 5 ■ 15 3

5-15 + 25 4

2. Для случая, при котором вступает в силу первая ситуация, возвратные потоки портфеля составляют

7ti • 21 + п2 ■ 20 = 5 7і2 • 21 + п2 ■ 20 = 125 п2.

Мы получаем те же самые возвратные потоки, если вступает в силу вторая ситуация, так как соответствующим образом сконструировали портфель. Необходимое вложение капитала составляет

П ■ 15 + тг2 • 25 = 5п2 • 15 + тг2 • 25 = 100 тг2.

Поэтому мы получаем доходность

125 тг2 г, = ——— 1 = 0.25. ; 100 7г2

3.2.3. Оценка инвестиционных проектов

Фирма должна принять решение о том, осуществлять инвестиционный проект А или В. Обе инвестиции требуют вложения капитала в объеме 36 руб. Ожидаются три возможные ситуации через год, ситуации, при которых проекты принесли бы следующие возвратные потоки.

На рынке капитала обращаются три рыночные ценные бумаги, цены и возвратные потоки которых видны из следующей таблицы:

Рассчитайте чистые сегодняшние стоимости обоих инвестиционных проектов и обоснуйте вытекающее из этого решение.

Фирма принадлежит двум пайщикам (i и i2) с различной расположенностью к риску. Долевые части составляют 32 и 08 \%. Первый пайщик хочет получить гарантированные доходы величиной в 100 руб., другой заинтересован в возвратных потоках, зависимых от ситуации, в объеме 200, 250 и 180 руб. Покажите, что оба пайщика выигрывают, если руководство фирмы реализует проекты с положительной чистой сегодняшней стоимостью.

* * *

Мы начнем с расчета цен примитивных ценных бумаг. С данными из примера мы получим

7г і = 0.4, 7т2 = 0.25, 7т3 = 0.3.

Рассчитаем чистую сегодняшнюю стоимость посредством суммирования умноженных на цену соответствующей примитивной ценной бумаги зависимых от ситуации возвратных потоков, вычитая из этого расходы на приобретение. Получаем

NPV^ = -36 + 40 • 0.4 + 20 • 0.25 + 60 ■ 0.3 = 3.0, NPVB = -36 + 20 • 0.4 + 10 ■ 0.25 + 70 • 0.3 = -4.5.

Нужно осуществить лишь инвестицию А. Тот, кто заинтересован в возвратных потоках, которые соответствуют проекту В, может дешевле купить их на рынке капитала.

Если пайщики откажутся от реальных инвестиций и обратятся вместо этого к рынку капитала, то они должны будут затратить для желаемых ими зависимых от ситуации доходов следующие суммы:

h : 100-0.4 + 100-0.25+ 100-0.3= 95.0 руб., i2 : 200 • 0.4 + 250 • 0.25 + 180 • 0.3 = 196.5 руб.

Если, наоборот, они примут решение в пользу реальных инвестиций, то сейчас должны быть осуществлены расходы величиной в 0.32 ■ 36 руб. для i и 0.68 • 36 руб. для І2. Так как заработанные с помощью ин-

вестиций возвратные потоки не совпадают с Желаемыми, то разницу нужно дополнительно купить на рынке капитала. Поэтому общие расходы инвестора і для получения запланированного им потока доходов составят

0.32 • Іо + 7ті(100 0.32X0 + 7Г2(Ю0 0.32Х2) + тг3(100 0.32Х3). С данными из примера это означает

0.32 • 36 + 0.4 ■ (100 0.32 ■ 40) + 0.25 • (100 0.32 • 20)+

+0.3 • (100 0.32 • 60) = 94.04.

Для другого инвестора соответственно получим

0.68 • 36 + 0.4 ■ (200 0.68 • 40) + 0.25 • (250 0.68 ■ 20) +

+0.3 • (180 0.68 • 60) = 194.46.

Сегодняшние расходы обоих лиц, принимающих решения, вследствие осуществления реальной инвестиции становятся меньше. Экономия для обоих соответствует произведению доли их участия в предприятии и чистой сегодняшней стоимости.