3.3. лемма минковского—фаркаша

3.3. лемма минковского—фаркаша

Теорию арбитража формально можно изобразить через лемму Минковского—Фаркаша. Эта теорема разделения содержит четкие критерии для различения между рынками капитала с существованием и без существования возможностей арбитража. Характерным для свободы от арбитража является существование ценового вектора как линейной комбинации линейно независимых векторов. Если этой линейной комбинации не существует, то возможны арбитражные прибыли. Мы хотим изобразить лемму графически и вынуждены для этой цели провести некоторую «подготовительную работу». Первая задача — познакомиться с необходимыми аспектами векторной алгебры. На основе этого мы соединим формальные выводы леммы с уже полученными знаниями из обоих предыдущих разделов этой главы.

3.3.1. Скалярное произведение и линейная (не-)зависимость векторов

Объясните связь между скалярным произведением векторов и векторами включенного угла.

Какие из следующих векторов являются ортогональными?

Что понимается под линейной комбинацией векторов?

Какая связь существует в двухмерном векторном пространстве между расположением одного вектора и знаком множителя 7*?

Проверьте векторы а'г, а'2 и р[ на линейную зависимость. Рассчитайте (если это возможно) скалярный множитель линейных комбинаций,

P'i = (3 5)> Р2 = (4 4), р'з = (5 4)

а

а

V-2

г>2

V2

а б в

Рис. 3.1. Скалярное произведение и включенный угол

На рис. 3.1, а два вектора включают в себя угол, который меньше 90 градусов. Это приводит к тому, что скалярное произведение этих двух векторов положительно. Векторы, расположенные друг к другу перпендикулярно, называются ортогональными (рис. 3.1, в). Их скалярное произведение равно нулю. Векторы, которые образуют друг с другом угол, превышающий 90 градусов, имеют отрицательное скалярное произведение (рис. 3.1, б). Если обозначить включенный угол символом а, то мы можем обобщенно записать

> 0 для 0 градусов < а < 90 градусов

v ■ vi =0 для а = 90 градусов

< 0 для 180 градусов > а > 90 градусов

С помощью двумерных векторов можно сформировать скалярные произведения

vi ■ v2 = (-2.5 1)

(-2.5) ■ 6+ 1 ■ 3 = -12 < 0,

vi ■ v3 = (-2.5 !)•(;)= (-2.5) -2+1.5 = 0,

v2 ■ v3 = (6 3) ■ ( ~ ) = 6 • 2 + 3 • 5 = 27 > 0.

Лишь vi и «з расположены перпендикулярно друг к другу. Проверка скалярных произведений трехмерных векторов дает

v4 ■ vb = (2 2 3) • j 1 ] = 2 • 2 + 2 • 1 + 3 • 1 = 9 > 0,

v4 ■ ve = (2 2 3) • I 5

2 ■ (-5) + 25 + 35= 15 > 0,

Лишь «5 и г>в являются ортогональными векторами. 3. Вектор v является линейной комбинацией векторов а', если

(3.8)

Двумерное векторное пространство полностью описано двумя линейно независимыми векторами (ЛНВ). Поэтому каждый дополнительный вектор v можно изобразить как линейную комбинацию ЛНВ.

Расположение вектора v определяет, являются ли множители 7; положительными или отрицательными. Если v лежит между ЛНВ или если v сам является одним из этих векторов, то верно 7,> 0. Если v проходит справа или слева от ЛНВ, то как минимум один из множителей имеет отрицательное значение, 7, < 0.

Можно очень легко проверить, является ли ценовой вектор линейной комбинацией векторов выплат, если представить (3.8) в виде матричного уравнения

(рЛ = (а 7 /V

Уравнение лишь тогда имеет одно решение для 71 и 72, когда матрица выплат является обратимой. Обратимость предполагает отличный от нуля определитель матрицы коэффициентов. Так как это условие здесь соблюдается, то, преобразуя рассматриваемую матрицу в обратную

(~L 1 13 13 1

7 13 _6_ 13

мы получаем для каждого данного ценового вектора вектор множителей

13 1

( Г7д / 4 /2

13

Ті

72

7з

-т\%)

4

11

V Тз/

Все три ценовых вектора можно изобразить как линейную комбинацию. Однако множители имеют положительный знак лишь для рг-В векторном пространстве р лежит левее, а рз — правее векторов выплат.

3.3.2. Лемма Минковского—Фаркаша и теория арбитража на основе примитивных ценных бумаг

Объясните содержание леммы Минковского—Фаркаша с помощью векторов. Исходите при этом из данных о рынке капитала, представленных в табл. 3.1.

*

Признаком свободы от арбитража является существование ценового вектора как положительной линейной комбинации линейно независимых векторов. Для объяснения экономического содержания леммы Минковского— Фаркаша мы проинтерпретируем ЛНВ в качестве возвратных потоков обеих ценных бумаг при вступлении в силу определенной ситуации. Мы говорим о возможности арбитража, если выполнены одновременно два векторных уравнения. Первое связывает структуру арбитражного портфеля с ЛНВ. Второе связывает рыночные цены и структуру портфеля. Для того чтобы можно было изобразить содержание леммы при помощи данных из табл. 3.1, мы сперва определим 2 х 1-вектор структуры портфеля1

п —

112

2 х 2-матрицу выплат с векторами-строками а и вектор-строку 1 х п цен

V' = (Pi Р2) ■

Рынок капитала не предлагает возможность арбитража, если можно изобразить р' как линейную комбинацию а'{.

р' = |> ai> т-ер' = 71 (° з) +72 (2)' (3-9)

?!, может быть как положительным, так и отрицательным.

причем верно 7,; > 0. Естественно, множители 7; можно проинтерпретировать и экономически. Вспомним свободную от арбитража оценку зависимых от ситуации требований. Там рыночные цены образовывались как сумма платежей, взвешенных по ценам примитивных ценных бумаг и зависимых от ситуации. Это, очевидно, здесь тоже имеет место. Следовательно, 7, является ценой примитивной ценной бумаги, которая в ситуации і порождает возвратный поток, равный одной единице, а во всех других ситуациях характеризуется возвратным потоком, равным 0. Если эту положительную линейную комбинацию нельзя создать, то всегда существует арбитражный портфель, для которого верно

(ЗЛО)

и одновременно

(pi л)(£)<°(ЗЛ1)

Здесь субъекты рынка всегда имеют шанс стать безгранично богатыми. Существуют портфели с неотрицательными платежами по отрицательным ценам.

3.3.3. Геометрическая версия леммы

Изобразите с данными из табл. 3.1 лемму Минковского—Фаркаша в двумерном векторном пространстве.

* * *

Геометрически лемму можно проинтерпретировать следующим образом. Для расположения вектора рыночной цены существуют лишь две возмож-.ности.

Вектор рыночной цены находится между векторами выплат, см. уравнение (3.9). Тогда нельзя найти вектор структуры, который образует с обеими векторами выплат угол менее 90 градусов, но образует с вектором рыночной цены угол больше 90 градусов. Рынок не предоставляет возможности арбитража, или, иными словами, вектор рыночной цены является свободным от арбитража.

Вектор рыночной цены находится левее (правее) вектора выплат. Тогда существует вектор структур п*, который образует с векторами выплаты угол меньше 90 градусов, а с вектором цены, наоборот, угол больше 90 градусов (уравнения (ЗЛО) и (3.11)). Для инвесторов открываются возможности арбитража.

Для иллюстрации мы используем рис. 3.2 и 3.3. На обоих рисунках а[ и а'2 являются векторами выплат обеих ценных бумаг в ситуации 1 или в си

туации 2. р' представляет собой соответствующий вектор цены. На рис. 3.2 р' является свободным от арбитража. Рис. 3.3, наоборот, показывает вектор цены, который создает возможность арбитража. Для уяснения этого мы движемся шаг за шагом. Вначале мы определим две области.

Область, в которой каждый возможный вектор структуры образует с обоими векторами угол максимум 90 градусов (плоскость 1).

Область, в которой любой мыслимый вектор структуры образует с данным вектором цены р' угол максимум 90 градусов (плоскость 2).

Плоскость 1 ограничивается изображенными пунктирными векторами Q и L. Плоскость 2 становится ограниченной также через изображенную пунктиром линию Н. На обоих рисунках плоскость 2 разделяется соответствующими ценовыми векторами р' на две половины. Сначала сконцентрируем внимание лишь на рис. 3.2 и рассмотрим там вектор цены р'. Он лежит между и а'2. Каждый вектор структуры, образующий с а'х и а2 острый угол, образует и по отношению к р' острый угол. Не существует ни одного вектора структуры, который удовлетворял бы (3.10) и (3.11). Следовательно, верно (3.9) и существуют неотрицательные множители. Рынок свободен от арбитража.

А сейчас рассмотрим ценовой вектор на рис. 3.3. р' лежит правее а'2. Здесь между Н и L можно найти вектор тг*, который с обоими векторами выплат а и а'2 образует угол меньше 90 градусов, но с вектором цены образует угол больше 90 градусов. Аналогичную ситуацию можно было бы сконструировать, если бы вектор цены р' находился левее а^. И в этом случае существовал бы п* с описанными свойствами и неравенства (3.10) и (3.11) были бы верными. Если вектор цены нельзя изобразить как положительную линейную комбинацию обоих векторов ситуаций, то рынок не может быть свободным от арбитража.

3.3.4. Свободные от арбитража векторы цен

Являются ли

РІ = (4 0.5) , р>2 = (2 2) , р>3 = (0.5 4)

свободными от арбитража векторами цены, если данные по рынку капитала описываются и далее согласно табл. 3.1?

*

*

Как показывает рис. 3.4, лишь р'2 лежит между обоими векторами выплат. Два других ценовых вектора нельзя изобразить как линейную комбинацию. При

и данных по рынку капитала из табл. 3.1 мы получим систему линейных уравнений

Решение этой системы уравнений дает

5

и

72

Таблица 3.3. Портфель 2

Доли

Цены

Расходы

Денежные потоки Zi Z2

4 6 10

1 9 10

10 G 16

Сейчас мы проверим два любых портфеля с положительными зависимыми от ситуации платежами на предмет наличия свободы от арбитража. Пусть структура портфеля 1 будет равна ("') = (_f')5). Пусть для структуры портфеля 2 будет верно (^') = (з). Соответствующие потоки платежей представлены в табл. 3.2 и 3.3. Если денежные потоки портфеля оцениваются с помощью множителей 7i и 72, то мы получим соответствующие расходы. Портфели являются свободными от арбитража. Теперь давайте рассмотрим вектор цены

*-(«)

и любой вектор структуры. Если, например, мы выбираем

то расходы для арбитражного портфеля составляют

-0.75-4 + 4-0.5 = -1.

Приобретение портфеля связано сегодня с доходами. Так как, кроме того, он в ситуации Z дает

-0.75-0.5 + 4-3 = 11.625

и в ситуации Z2

-0.75-5 + 4-2 = 4.25, то открываются возможности арбитража. Аналогично получаем для

цену портфеля

-5 • 0.5 + 0.75 • 4 = 0.5

и выплаты

-5 • 0.5 + 0.75 • 3 = -0.25, -5 • 5 + 0.75 • 2 = -23.5.

Этот портфель вам следует не покупать, а, наоборот, продавать. Тогда вы получите сразу выручку от продажи в объеме 0.5 руб. и дополнительно положительные будущие денежные потоки.

Литература

В очень сжатом виде теория арбитража представлена в: Ingersoll J. Е. Theory of Financial Decision Making. Totowa (N.J.): Rowman & Littlefield, 1987. Акцент на аксиоматике теории арбитража делается в: J arrow R. A. Finance Theory. Englewood Cliffs: Prentice-Hall, 1988. Для тех, кто хочет продвинуться дальше анализа однопериодных условных требований, рекомендуется многопериодная модель в работе: Ват R. W„ Miller М. Н. Prices for state—contingent claims: some estimates and applications // Journal of Business. 1978. Vol. 51. P. 653-672, и статья: Litzenberger R. H., Breeden D. T.

Prices of state—contingent claims implicit in option prices // Journal of Business. 1978. Vol. 51. P. 621-651. Тот, кто хочет подробнее заняться теоремой разделения Г. Минсковского и Я. Фаркаша, может найти краткое доказательство на основе теоремы двойственности линейного программирования в: Krou.se С. G. Capital Markets and Prices. North Holland, 1986. Подробно лемма излагается в: Takayama A. Mathematical Economics. Hinsdale: Dryden Press, 1974. Предложенная Россом теория «арбитраж—цена» также основывается на теореме разделения. Об этом читатель может узнать в: Ross S. А. The arbitrage theory of capital asset pricing // Journal of Economic Theory. 1976. Vol. 13. P. 341-360.