6.1. европейские опционы

6.1. европейские опционы

В учебной литературе принято сосредоточивать внимание на европейских опционах на бездивидендные акции. Мы будем следовать этому дидакди-чески испытанному методу при решении первых трех задач, причем мы перейдем от простой модели «двух моментов времени—двух ситуаций» через биномиальную модель к модели Блэка—Скоулза. Кроме того, мы хотим уяснить для себя, каким образом цена опциона на покупку (опциона колл) зависит от главных определяющих ее факторов. Далее будет показано, что с точки зрения одного владельца акции безразлично, хеджирует ли он с помощью опциона колл или опциона пут, если оба опциона оцениваются лишь на основе справедливой цены.

6.1.1. Модель «два момента времени—две ситуации»

Исходите из наличия только двух моментов времени / = 0 (сегодня) и t = 1 (через год). Предположите, что акция, курс которой через год или повысится на 12\%, или снизится на 5\%, обращается по цене 650 руб. Безрисковая ставка процента составляет 4 \%.

Какую цену вы заплатили бы при этих условиях за опцион, предоставляющий владельцу право покупки акции в момент времени t = 1 по сегодняшней цене?

Проинтерпретируйте псевдовероятность того, что курс акции повысится.

Покажите, что любая цена опциона колл, отличающаяся от найденной в п. 1, приведет к возможности арбитража.

* * *

Для того чтобы рассчитать цену опциона колл Со, мы можем использовать уравнение оценки

С0 = —!— (pCu + (l-p)Cd

в котором Си (С,{) представляет зависимый от ситуаций денежный поток опциона при повышении (понижении) курса акции, в то время как р обозначает псевдовероятность для случая повышения курса и 77 — безрисковую ставку процента. С помощью и — 1 + ги = 1.12 и d = 1 + + га = 0.95 мы рассчитаем зависимые от ситуации денежные потоки

Си = max (S0 и К, 0) = шах (050 • 1.12 050, 0) = 78. С = max (So d К. 0) = max (G50 • 0.95 650.0) = 0,

причем So — это сегодняшний курс акции и К — цена исполнения. Из определения псевдовероятности

»7 ~ г<]

V =

ru 'V;

получаем

0.04 -(-0.05) = 0_09 = у 0.12-(-0.05) 0.17

Если мы подставим все это в уравнение оценки, то тогда получим

С0 = -4гт • (о.5294 • 78 + 0.4706 ■ о) = 39.71 руб. 1.04 V /

Псевдовероятность не содержит никакой информации о том, с какой вероятностью ожидает лицо, которое оценивает опцион, повышение курса акции. Следовательно, эта цифра и не оценивается, а рассчитывается из ожидаемой доходности акции и безрисковой ставки процента.

Название «псевдовероятность» основывается, с одной стороны, на том факте, что р в условиях свободы от арбитража является — как и любая другая вероятность — числом, находящимся в интервале между нулем и единицей. С другой стороны, можно показать, что нейтральные к риску лица, принимающие решение, должны ожидать повышения курса акции в точности с вероятностью р. Для таких инвесторов ожидаемая доходность акции должна была быть в точности так же велика, как и безрисковая ставка процента, и действительно мы имеем

pru + (1 p)rd = 0.5294 ■ 0.12 + 0.4706 • (-0.05) = 0.04 ;

'7-

3. Для демонстрации того, что любая другая цена опциона на покупку открывает возможности арбитража, мы покажем, что из акции и безрискового капиталовложения можно сконструировать портфель, который по своим зависимым от ситуации денежных потоков не отличается от опциона колл. Для этой цели мы проинтерпретируем безрисковую ставку процента, равную 4 \%, таким образом: сегодня облигация обращается по цене 100 руб., а через год за счет ее продажи удастся получить гарантированный доход в объеме 104 руб. Если мы обозначим символом ?гs количество приобретаемых акций и пв — количество приобретаемых облигаций, то тогда для эквивалентного портфеля должна быть верной система уравнений

ns ■ 728.0 + пв ■ 104.0 = 78, ns ■ 617.5+ ?2Й ■ 104.0= 0.

Первое (второе) уравнение обеспечит совпадение зависимых от ситуации денежных потоков эквивалентного портфеля и соответствующих денежных потоков потоков опциона на покупку в том случае, если курс акции повысится (понизится). Используя правило Крамера, мы получим для структурных переменных эквивалентного портфеля

7S.0 0.0

728.0 617.5 104.0 104.0

104.0 104.0 0.7059

71 в =

728.0 78.0 617.5 0.0

728.0 617.5 = -4.1912.

Эквивалентный портфель является «синтетическим опционом на покупку». Его цена, как показывает табл. 6.1 и, кроме того, задача 1, составляет 39.71 руб. Если цена фактически обращающегося на рынке опциона отличается от цены синтетического опциона, то тогда вы извлечете арбитражную прибыль посредством покупки (продажи) фактических опционов и одновременной продажи (покупки) созданного нами опциона.

6.1.2. Рентный опцион

На рынке капитала обращается бескупонная облигация, владелец которой по истечении п = 3 периодов получит платеж величиной в 100 руб. Кроме того, на рынке продается и покупается европейский колл на этот титул, срок обращения которого заканчивается в периоде v = 2. Цена исполнения определена равной К — 95 руб.

Существует возможность предоставления или получения кредита на один период по фактически действующей ставке процента. Сегодня она составляет г0 = 0.05, но по истечении времени будет менять свой уровень, а именно таким образом, как показано на рис. 6.1. Мы обозначим существующую в момент времени t в ситуации s безрисковую ставку процента символом 7ts.

Определите зависимые от времени и от ситуации значения стоимости бескупонной облигации.

В каких ситуациях будет исполнен опцион колл? Одновременно рассчитайте зависимые от ситуации платежи по опциону.

Сопоставьте системы матричных уравнений для расчета цены примитивных ценных бумаг Trts и рассчитайте эти цены.

Какую стоимость имеет опцион колл сегодня?

Далее, в качестве примера мы рассчитаем ту стоимость, которая образуется в момент времени t = 2 при условии, что наступит ситуация s = 3. Мы назовем эту стоимость Х2з.

В конце срока своего обращения (t, = 3) бескупонная облигация будет погашена за 100 руб. Значит, в момент времени t — 2 облигация имеет еще остаточный срок погашения, равный 1 году. Если к этому моменту времени безрисковая ставка процента составляет г2з = 0.04, то мы должны в течение года дисконтировать на основе этой ставки процента, вследствие чего получаем

Х23 = ЮО1.04-1 = 96.15.

Европейский опцион колл будет исполнен в том случае, если X2f > К. Поэтому верно

С2я = max (Х2„ А',0).

Таким образом, мы получаем следующие зависимые от ситуации денежные потоки

С2 С22 С23 С-24

0.00 0.00 1.15 3.04 •

Чтобы выяснить цены примитивных ценных бумаг в обсуждаемом здесь случае, можно составить три системы уравнений. Выплачиваемая (сегодня) цена Эрроу—Дебре для требований на 1 рубль в момент времени t в ситуации я обозначается символом тг,,.

Сначала мы концентрируем внимание на требования в момент времени t = 1. Так как в этом моменте времени существуют две ситуации, нам необходимы две рыночные ценные бумаги с линейно независимыми денежными потоками. Первой бумагой, естественно, является бескупонная облигация, второй титул представляет собой безрисковое денежное вложение по существующей сегодня ставке процента г о = 0.05. Поэтому в матричной форме запись системы уравнений выглядит следующим образом:

Х\ Хі2 _ Л^О

(6.1)

и с цифрами из нашего примера

87.34 94.2б ЛпЛ _ /86.38 1.05 1.05J ' ^тгі2У ~~ V L0°

В результате получаем

7ги _ /87.34 94.26-1 /86.38 _ /0.4898 тг12У — V 1-05 1.05у ' ^ 1.00J ~~ 1^0.4626^ '

Теперь давайте обратимся к анализу требований, которые возникают в момент времени t = 2. Очевидно, необходимо различать два сценария. • Первый сценарий характеризуется тем, что в момент времени t = = 1 безрисковая ставка процента повысилась до ?-п = 0.07. Тогда в момент времени t = 2 могут наступить лишь ситуации 1 и 2. Сколько денег мы должны заплатить сегодня, чтобы быть в состоянии при этом сценарии в момент времени t = 1 купить бескупонную облигацию? Это, очевидно, тгцХц = 0.4898-87.34 = 42.78. Тогда денежные потоки в момент времени t = 2 составят или 92.59, или 94.34 руб. Но если мы хотим быть в состоянии вложить в момент времени t = 1 один руб. по безрисковой ставке процента 7-ц = 0.07, то нам нужно заплатить сегодня 7Гц = 0.4898 и получить в момент времени t = 2 не зависимые от ситуации 1.07 руб. Отсюда можно вывести следующую систему уравнений в матричном виде:

Х2 Х22 /ягЛ _ (пцХц

1+7-ц 1 + гп) я22) ~ ТГП

Она имеет решение

Лг2Л _ /92.59 94.34-1 / 42.78 \_ /0.2310 7г22) _ V L07 L07/