6.3. расширение анализа
6.3. расширение анализа
Возможности теории ценообразования опционов выходят далеко за рамки оценки европейских или американских опционов на бездивидендные акции. Этот факт учитывается здесь нами таким образом, что в качестве базисных активов используются, с одной стороны, акции с дивидендом, а с другой — валюта. В заключение мы займемся свободной от предпочтения оценкой связанной сделки (опциона колл—пут) и попытаемся предостеречь от непродуманного применения свободной от предпочтений оценки.
6.3.1. Опцион на акцию с дивидендом
В 6.1.1 было сделано обычное допущение, согласно которому акционер во время срока обращения опциона не получает дивидендов. Теперь мы предположим наличие выплаты дивиденда в объеме D в конце срока обращения опциона, который не зависит от действующего в тот момент курса акции.
Выведите при этих измененных условиях общую формулу оценки опциона на покупку акции с дивидендом.
Примените вашу формулу к данным задачи 6.1.1 и исходите при этом из того, что дивиденд составляет D = 12 руб.
1. Искомую формулу оценки можно найти, если уяснить для себя, что после включения дивиденда ничего не изменилось в других допущениях модели. Решающую роль играет тот факт, что рынок капитала с двумя моментами времени и с двумя ситуациями является полным, если на нем обращаются две рыночные ценные бумаги (акция и облигация) с линейно независимыми друг от друга денежными потоками. В этих условиях можно однозначно рассчитать цены примитивных ценных бумаг (при 7ги для случая, при котором курс акции повышается, и при 7rrf для случая, при котором он снижается) и мы можем использовать уравнение оценки
Со = тг„ Си + тг,, С. (6.6)
Для искомых цен Эрроу—Дебре можно сейчас сконструировать систему уравнений
{S{iu+D)nu + (S„rf + D) тг(/= So. B0(l + rf) тг„ + В0{1 + rf) п., = В0.
Чтобы понять первое уравнение, уясните для себя следующее: акционер, который непосредственно после выплаты дивиденда продает акцию, имеет или Squ + D, или Sud + D в зависимости от того, как изменялся курс. Если мы умножим зависимый от ситуации денежный
поток на соответствующие цены Эрроу—Дебре, то стоимость на свободном от арбитража рынке должна совпасть с сегодняшним курсом акции (теорема аддитивности стоимости). Соответствующее уравнение для облигации не требует объяснения. Если мы разделим первое уравнение на So, а второе — на В0, то получим
("+£) + + *d = i,
(1 + 77)7Г„+ (1+77)71^ = 1.
Отсюда с помощью правила Крамера мы выведем следующие результаты для обеих цен
So
D_ So 1 + 77
(1 + rj)
So
So
и +
1 + 77 1 + 77
1 /(l + r/)-d
So
1 + 77
71 — d
D 1
D
D
M +
1
rf +
(1+77) («+£-</-D у
s0(u «0/'
1 /«-(! +17)
d
+
S0(w d)
1 + 77 1 + 77
Если мы подставим эти результаты в уравнение оценки (6.С), то получим искомую формулу для расчета равновесной цены опциона колл. Она выглядит следующим образом:
D
(6.7)
С„ +
С0:
1 + г} +
(I + 77)-d
1
D
+
Сd.
So (u d)
и (1 + 77)
1
Tf и — a So (и — d)
Для того чтобы придать этому громоздкому выражению некоторую элегантность, мы определим число
. (l+rf)-d D
(6.8)
^ и — d So(u — (I)
(6.9)
как псевдовероятность. Далее мы покажем, что
D
1-р* = Ц-(1+/^ +
So{u-dY
+
+
Мы просуммируем оба последних уравнения и получим в действительности
S0(» d)'
So (u d)
(l + rf)-d D u-(l+rf) D
* і 1 * р + 1 р
1= (1 + ту) -d u-{l + rf) =
и — d и — d
_ (1 + rf) d + и (1 + rf) и — d
Наконец, подстановка (6.8) и (6.9) в уравнение (6.7) приведет в измененных условиях к результату
Со = —— (Р*Си + (1-р*)сЛ 1 + Tf )
при
Си = max (Sou — К, 0), d = max (Sod — К, 0) и = (l + ryl-d _ D
и — d So(u — d)
Обычная модель без дивидендов отличается от нашей новой модели только тем, что мы должны были изменить определение псевдовероятности. В модели без дивидендов псевдовероятность выглядит следующим образом:
_ (1 + г/) d _ г/ rd
и d ru rd
что является специальным случаем модели с дивидендом, так как при D = 0 новая псевдовероятность переходит в старую. 2. Используя числа из предыдущей задачи и дивиденд величиной в D = = 12, мы получим
cd =
*
р =
С0 =
max (650 • 1.12 650, 0) = 78, max (650 • 0.95 650, 0) = 0, 1.04-0.95 12 1.12-0.95 ~ 650(1.12 0.95) ~ 0.52940.1086 = 0.4208 и
— • (0.4208 ■ 78 + 0.5792 • о) = 31.56. 1.04 /
Обсуждение Финансирование и инвестиции. Сборник задач и решений
Комментарии, рецензии и отзывы