4.2. бинарные модели

4.2. бинарные модели

Ниже мы рассмотрим более общие модели накопительных счетов, позволяющие довложения (т.е. дополнительные инвестиции), приводящие к увеличению инвестируемого капитала. С другой стороны, для некоторых счетов допускается изъятие суммы со счета. Если случай довложения анализируется достаточно просто, то изъятие суммы с накопительного счета приводит при анализе состояния вклада к определенным трудностям. Разберем отдельно случаи довложения и изъятия капитала.

4.2.1. Довложения капитала

Пусть вкладчик открывает накопительный счет на ?л 1000 под 10\% годовых. Для простоты расчетов полагаем, что /0 = 0. Если через год он вносит дополнительно ^,1000, то какова будет сумма вклада через 2 года? Трудность этой задачи или, скорее, ее необычность состоит в том, что проценты на 2-й год должны начисляться и на дополнительный взнос. Решение поставленной задачи может быть осуществлено двояким образом.

С одной стороны, можно рассматривать внесение дополнительной суммы как открытие нового счета с той же процентной ставкой. Это приведет к модели мультисчета, описанной в предыдущем параграфе. Начальный и новый счета тогда можно рассматривать как два субсчета одного общего счета (мультисчета) инвестора. В таком случае понятие «сумма счета через 2 года» будет относиться именно к этому общему счету. Дальше все просто. Накопленная стоимость начального счета к концу 2-го года

Sf1 =1000(1 + 0,1-2) = 1200(.#);

накопленная сумма по новому (открытому в конце 1-го года) счету составит

5?° = 1000(1 + 0Д-1) = П00(.#).

Здесь верхние индексы 0 и 1 в скобках обозначают состояния соответственно начального и нового счетов.

Тогда к концу 2-го года общая сумма на обоих счетах, т.е. сумма общего счета,

S2 = Si2) + S(]l) =1200 + 1100 = 2300(,#).

В модели мультисчета счета, открываемые отдельными взносами, рассматриваются как независимые. Полная сумма на общем счете получается сложением соответствующих сумм на отдельных субсчетах. Таким образом, п последовательных вложений дадут празличных счетов.

Однако такая модель, вообще говоря, непригодна при работе с одним счетом, и именно этот случай имеется в виду, когда говорят о довложении или изъятии средств. Поэтому ниже рассмотрим модель, формализующую операции с одним и тем же накопительным счетом. В этой модели наиболее четко и явно представлено основное свойство схемы простых процентов, состоящее в том, что проценты за период начисляются лишь на основной (инвестированный) капитал, так что проценты на проценты предыдущих (прошлых) периодов не начисляются. Это свойство естественным образом требует разделения накопительного счета на две компоненты: основной счет (счет капитала), который определяется только вносимыми суммами, и процентный счет, учитывающий начисленные на инвестированный капитал проценты. При этом сами проценты вычисляются и накапливаются последовательно по периодам от одного вложения до следующего. Поясним это на том же примере.

Обозначим через Pt сумму на основном счете к моменту времени t. Вначале она равна 3/?Ю00, т.е.

PQ = 1000(3?).

К концу 1-го года на основной счет будут начислены проценты за год:

^ = /([0, 1])1000-0,1 1 = 100(3?). После дополнительного взноса сумма на основном счете станет

Р1 = 2000( 3?),

и именно на эту сумму будут начислены за 2-й год проценты

/([1,2]) = 2000-0,1-1 =200(3?). Полная сумма процентов за 2 года составит

/2 = /<[0,2]) = /([0, 1])+ /([1,2]) = 100+ 200 = 300(13?).

Учитывая сумму основного счета и начисленные за 2 года проценты, получим

S2 = P} + /2 = 2000 + 300 = 2300 (3?), т.е. тот же результат, что и при мультисчете.

Рассматривая проценты, начисленные за определенные периоды времени, мы в качестве промежутков брали открытые справа полуинтервалы вида [а, Ь). Проценты за период зависят только от длины промежутка, но не от конкретного его вида, т.е., очевидно, что для любых t2>tx> tQ проценты за период от tx до t2 равны:

'(['..'2І) = '(['1.'І))=/(('..'1)) = /(('..'2]) = ^'7',

где Рх — состояние основного счета в момент Г{ и T=t2 — tv При этом предполагается, что в период (г,, t2) не было никаких вложений или изъятий капитала. Строго говоря, для процентных периодов следовало бы использовать полуоткрытые слева промежутки (см. § 1.2). Однако в силу отмеченного выше равенства выбор конкретного типа промежутка несуществен, и мы будем использовать замкнутые промежутки (отрезки).

Модель разделения на основной и процентный счета. Перейдем теперь к общему описанию второй накопительной модели, которую назовем бинарной моделью. В этой модели текущее состояние счета St определяется состояниями Pt основного и /; процентного счетов, а именно

= />, + /, (4.10)

Процентный счет дает общую сумму процентов, начисленных за весь период от начального f до текущего / момента:

I~I([tQ,t)) = I(t0,t). (4.11)

На состояние основного счета влияют лишь дополнительные взносы Ск, при этом

ktk<t

а состояние процентного счета определяется суммой процентов, начисленных за критические промежутки до момента г и за остаток времени от момента последнего взноса до текущего момента t. Таким образом, если tk — момент последнего взноса, предшествующий моменту Г, то

'.=І4'>-0]) + /(['*.']). (4.13)

У=1

причем

/([0-м'у]) = ^'('у-'7-і). 7=u...,* (4.14)

и

Проиллюстрируем на примере применение модели мультисчета

и бинарной модели.

Пример 4.3. Инвестор в начале года открывает накопительный счет суммой JR1000. Затем в течение 10 лет в конце каждого года вносит дополнительно по .#100. Какая сумма будет на счете инвестора через 10 лет, если процентная ставка по счету — 10\% годовых?

Решение, Решим задачу двумя способами. Используем сначала модель мультисчета. Взнос, сделанный вначале в момент времени t0 = 0, через 10 лет увеличится до

S$ = 1000(1 + ОД ■ 10) = 2000(#). Взнос в ..#100, сделанный в конце к-го года, вырастет к концу 10-го года до

St = FV™d (CF) = ГУГ* ((/,, S,), CF'), Таким образом, в конце 10-го года полная сумма счета

m Ґ ю

SM = = '#2000 + Ш00: 51(1+0,1(10-к)) .

Преобразуя сумму в правой части последнего равенства, получим

К) 10

£(і+о,і(ю-А))=ю+о,і2(іо-*).

*=i км

Кроме того, имеем, что ](1 9

1(10-*)-2У-^-45.

*=[ ;■=[ Таким образом,

5,0 = 2000 + 100(10 + 0,1-45) = 2000 + 1450 = 3450(.#).

Решим теперь задачу, используя модель разделения счета на основной и процентный, т.е, бинарную модель.

В начальный момент /0 = 0 имеем

?„ = ЮОО(.л').

Проценты за 1-й год составят

/([0, 1]) 10000,1-1 = 100(;#). В конце 1-го года после взноса величина основного счета станет

Рх = 1100С ,^?>,

а проценты за 2-й год, начисленные на эту сумму, составят

/([1, 2J) 1100-0,1-1 = П0(Л). Таким образом, состояния основного счета связаны рекуррентными соотношениями

Рк = Рк^ + .#№, к=,2 10,

откуда следует, что

/>=.■#1000 +..#100*, * = 1.2,...,10. Проценты за промежуток [к, к + 1}

/<[*,* + 1]) = Рк0,1=0,1^, к = 0,1,..., 9. Следовательно, в конце 10-го года на основном счете будет

Рю= 1000 + 100-10 = 2000(#),

а на процентном

/10 = / ([0,10]) = ([it, к +1]) = 0, l]T Рк = o,l£ (1000 +100*)= 1000+10£* = 1450(.#). Суммируя оба счета, получим

Таким образом, получили тот же результат.

Несколько позже мы сформулируем общую теорему в терминах потоков платежей, из которой эквивалентность двух подходов определения полной суммы накоплений будет вытекать непосредственно. Сейчас же перейдем к более тонкому вопросу об изъятиях (снятиях) сумм с накопительного счета.