4.2.2. изъятия капитала

4.2.2. изъятия капитала

Как и в предыдущем случае сначала разберем эту ситуацию на конкретном примере.

Пусть вкладчик открыл счет с начальной суммой ;^ 1000 и процентной ставкой 10\% годовых. Для упрощения расчетов снова примем, что t0 = 0. Если по истечении года вкладчик снимет со счета М 200, то какова будет сумма счета в конце 2-го года, если больше он никаких действий (вложений или изъятий) не осуществлял?

Из условия ясно, что к концу 1-го года непосредственно перед изъятием на счете будет

iooo(i+o,i-i)поо(;#).

•Изъятие уменьшит счет на *#200, т.е. на счете останется

S = 1100-200 = 900(3?).

Теперь основной вопрос состоит в следующем. На какую сумму Должны начисляться проценты за 2-й год? На первый взгляд ответ очевиден: на оставшуюся часть вклада. В этом случае сумма счета в конце 2-го года станет

S2 = 900(1 + 0,1-1) = 990(.#).

12-5169

Однако требование начисления процентов на остаток в РЛ900 вносит некоторую асимметрию по сравнению с добавочными взносами. Чтобы увидеть это, дадим несколько другую интерпретацию изъятиям. Пусть в конце 1-го года инвестор не снимает со счета 9? 200, а берет кредит в другом банке на эту же сумму и под те же 10\% годовых. Подсчитаем теперь «баланс» вкладчика на конец 2-го года. Поскольку теперь начальный вклад в первом банке не изменится, то к концу 2-го года на счете будет

1000(1 +0,1-2)= 1200(9?).

С другой стороны, на заем «набегут» проценты и вкладчик будет должен второму банку

200(1 + 0,1-1) = 220(9?).

Тогда после снятия денег со счета для оплаты расходов по кредиту у вкладчика останется

1200220 = 980(9?).

Как мы помним, начисление процентов на остаток даст инвестору в итоге 9?990, что на 9?10 больше, чем вариант с кредитом!

Легко видеть, что вариант с кредитом (вместо изъятия) полностью аналогичен рассмотренному выше случаю с дополнительными взносами, если изъятия трактовать как займы. С формальной точки зрения это просто модель мультисчета, в которой первый платеж, открывающий счет, имеет положительное значение, а изъятие трактуется как «отрицательный платеж». Общий итог этих действий будет описываться результирующим накопленным (будущим) значением мультисчета, состоящего из двух субсчетов:

S2 = 1000(1 + 0,1-2)200(1 + 0,1-1) = 980(1-\%).

Модель с основным и процентным счетами также не нуждается в корректировке, если только под изъятием понимается уменьшение основного счета (счета капитала). Именно здесь и разрешается упомянутое выше «противоречие». В самом деле, если считать, что 9? 200, снятые в конце 1-го гот, уменьшили лишь основной счет, то мы получим последовательно

/>0= 1000(9?)

и

^ = 800(9?). Проценты за 1-й год тогда составят

/([О, 1])= 100(9?),

аза 2-й

/([1,2]) = 80(9?). Это в сумме дает 9? 180, а вместе с основным счетом в точности

800 + 180 = 980(9?),

что совпадает с результатом для случая кредитного изъятия.

Таким образом, изъятия для накопительной модели в схеме простых процентов — процедура тонкая. Поскольку суть простых процентов состоит в том, что они начисляются лишь на инвестируемый капитал, а ранее начисленные проценты при этом начислении не учитываются, то такая схема заранее предполагает раздельный учет инвестиций (вкладов, взносов и т.п.) и начисленных на них процентов. Поэтому при добавлении и снятии сумм необходимо указывать счета, на которые зачисляются или с которых снимаются денежные суммы. Если внесение дополнительных сумм неестественно зачислять на «процентный счет», то для снятия сумм ответ далеко не однозначен.

На практике банки часто периодически выплачивают проценты по вкладу. Такие выплаты не меняют основной счет (начальный вклад), но при каждой выплате «обнуляют» процентный счет. В нашем примере уменьшение за счет снятия 9? 200 наращенного за год значения '9? 1100 до 9? 900 равносильно снятию 100 с процентного и 9? 100 с основного счетов. Таким образом, основной счет уменьшается лишь на 9? 100, а не на 9? 200, как при «кредитном снятии» в модели мультисчета.

Различие между изъятиями лишь с основного счета и изъятиями, затрагивающими процентный счет, весьма существенно. Пусть в условиях нашего примера с начальным счетом в 9? 1000 и ставкой 10\% годовых ежегодно снимается :9т1100. Если это изъятие лишь с процентного счета, то основной счет не меняется и может существовать сколь угодно долго (пока выполняются упомянутые условия). Если же изъятия осуществляются с основного счета, то он ликвидируется (обнуляется) за 10 лет, а процентный счет при этом достигает наибольшего значения и больше не меняется.

Возвращаясь к последнему примеру с изъятием суммы 9? 200 в конце 1-го года, заметим, что расхождение в 9? 10 между двумя способами вычисления состояния счета в конце 2-го года обусловливается разными способами определения суммы, на которую начисляются проценты.

В первом случае (начисление процентов на остаток счета), по существу, подразумевается, что начисление производится на остаток полного счета S, включающего и проценты, так что начисление на ,#900 оставшихся после изъятия Р/Ї200 с накопленной суммы Ptf 1100 только на первый взгляд можно считать начислением на остаток основного счета. Обычно в подтверждение того, что это — начисление на остаток основного счета, ссылаются на то, что первые РЯ 100 пошли на погашение процентов (и тем самым процентный счет становится нулевым), а остальные Р/? 100 уменьшают основной капитале РА 1000 до ■#900. Утверждать это — фактически означает, что принято вполне определенное правило вычисления остатка основного счета, состоящее в том, что при изъятии сумм сначала уменьшается процентный счет, а затем основной. Однако для изъятий, размер которых не превышает величину накопленных процентов, это сразу же приводит к различию между полным и основным счетами.

Допустим, что инвестор снял со счета ;#50, а не ;#200. Тогда, следуя указанному правилу, «в остатке» получим РЛ1000 основного и .^50 процентного счетов. Ясно, что начисление на остаток в ;#Т050 полного счета означает не только начисление на '3R1000 основного счета, но и на .#50 процентного, т.е. начисление процентов на проценты. Это противоречит самой схеме простых процентов и фактически приводит к использованию сложных процентов. Оставаясь в рамках простых процентов и используя способ разделения счета на основной и процентный, согласно этому правилу, проценты придется начислять лишь на #1000 основного капитала. Такое утверждение можно сформулировать в общем виде как принцип простых процентов. В формализованном виде его можно записать в виде равенства

I[t,t+T=P,iT, (4.16)

означающего, что проценты за любой период времени ,t + 7] начисляются (при отсутствии промежуточных поступлений или изъятий) только на основной счет Р; и никак не зависят от накопленных до начала периода процентов, т.е. от величины /.

Коммерческое и актуарное правила. Итак, обычное утверждение о том, что простые проценты подразумевают начисление лишь на основной капитал, в общем случае неполно, поскольку ничего не говорит о способе определения величины основного капитала при вложениях и изъятиях. На практике чаще всего используются два способа определения величины (или сальдо) основного счета.

Первый способ все внешние операции (т.е. вложения и изъятия) относит только к основному счету, а процентный счет при этом не изменяется. Это правило обычно называют коммерческим. Оно сохраняет полную симметрию между взносами и изъятиями. При этом динамика счета полностью описывается уравнениями (4.10) (4.15).

Второе правило совпадает с коммерческим при взносах, но изъятие всегда начинается с процентного счета, а основной счет уменьшается лишь на превышение изымаемой суммы над процентной. Это правило разрушает симметрию между взносами и изъятиями. Его называют актуарным правилом или правилом США (USA-rule). В этом случае уравнения (4.10) — (4.15) корректно описывают динамику модели только при условии неотрицательности начального состояния Р и всех элементов Ск входного потока. Иными словами, речь идет только о довложениях. Изъятия приводят к другим соотношениям для основного и процентного счетов. Точные формальные правила как для вложений, так и изъятий будут получены ниже.

С изъятиями связана еще одна сложность. Что делать, если снимаемая сумма больше основной для коммерческого правила или полной для актуарного правила? С формальной точки зрения, конечно, никаких трудностей нет. Провести все вычисления можно, если допустить отрицательные значения для основного, процентного и полного счетов. Труднее их содержательная интерпретация. Фактически изменение знака основного счета означает изменение ролей участвующих в сделке лиц. Вкладчик (кредитор), снимая со счета сумму большую, чем остаток счета, становится должником (дебитором) банка. На практике такая возможность реализуется в так называемом контокоррентном счете. Такой счет позволяет владельцу иметь временный отрицательный баланс (овердрафт). Однако процентная ставка, которая в этом случае становится для банка ставкой по кредиту, обычно больше, чем ставка по положительному балансу, т.е. депозитная ставка.

Ниже ради простоты рассмотрим лишь модели, в которых обе ставки (кредитная и дебетовая) совпадают. Такие модели обычно называют симметричными (относительно процентной ставки).

Работа с контокоррентными счетами означает, строго говоря, отход от интерпретации модели счета с переменным капиталом как накопительной модели. С более общей точки зрения можно допускать для счетов состояния любого знака, т.е. рассматривать наравне с накопительными и ссудные счета. Для ссудных счетов изъятия интерпретируются как взятие дополнительной ссуды. В этом случае с ними нет проблем, тогда как внесение средств на счет (довложение) означает погашение долга, а оно приводит для ссудного счета к тем же проблемам, что изъятие средств с накопительного счета. В дальнейшем будем работать с любыми счетами, поэтому прилагательное «накопительный» будем, как правило, опускать и говорить просто о счете с переменным капиталом, фонде и т.п. Такие счета будут порождаться произвольным потоком платежей

CF= {(/0,C0),(/1JC,),...,(/„CJ},

в котором начальное событие означает открытие счета в момент t с начальной суммой (вклада или ссуды) С0, а остальные события представляют внешние действия со счетом, т.е. дополнительные вложения или изъятия средств со счета.

В дальнейшем для простоты модель счета с переменным капиталом в схеме простых процентов, состояния которого определяются согласно коммерческому правилу, назовем коммерческой моделью. Аналогично модель, для которой состояния счета определяются по актуарному правилу, — его актуарной моделью.

Формально состояние счетов (основного, процентного и полного) для коммерческой модели описывается уравнениями (4.10) — (4.15). Исходя из этих уравнений теоретически обоснуем ранее упоминавшийся и численно подтвержденный факт, сущность которого в том, что величина полного счета в момент t в коммерческой модели должна совпадать с будущим значением (усеченного до этого момента) потока платежей, связанного с данным счетом, в модели мультисчета. Сформулируем это утверждение в виде теоремы и докажем ее.

Теорема 4.1. Пусть счет порождается потоком платежей

CF={{tvQ,(tvC),...AtnXn)}

и процентной ставкой /. Кроме того, пусть P{t) и /(f) суть состояния основного и процентного субсчетов в момент /, а

S{t) = P(t) + /(О

есть состояние счета в этот момент времени. Тогда при коммерческом правиле определения состояния счета

S{t) = FVCF,) для любого момента t>tQi где

W,(CF,)= lQ(l+/(/-rt))

k:rt<t

есть стандартное накопленное к моменту Означение начального отрезка CF, потока платежей CF, а в отрезок CF входят лишь те платежи, которые делались до момента t (включительно). Доказательство. Обозначим через

состояния счетов в критические моменты времени tk. Положим также

Jm = l([tm-i>tm]) = iP~Jm, (4Л7)

где Jm — проценты за критический промежуток [tm_ j, tj; Tm = tm — tmi — длина этого промежутка. Очевидно, что

Далее пусть t (t > /0) — произвольный момент времени. Тогда он попадет в некоторый промежуток tk<t< t (Если t> Т, то t = +e».) Согласно коммерческому правилу,

И

P{t) = Pk, tk<t<tk+v

Согласно этому же правилу, для t <t< t

S(t) = P(t) + I(,) = Pl + /t+I(tk,,),

где ,

m=l ff!=l

сумма процентов Jm за критические периоды [/ / ], предшествующие г, а

I{tkj) = iPk{t-tk)

проценты за неполный промежуток [tk, t). Таким образом,

S(t)=Pk{l + i(t-tk)) + fjJw. (4.18)

Согласно определению будущего значения,

Учитывая, что получим

Так как

7=0

то первые слагаемые в формулах (4.18) и (4.19) совпадают. Покажем, что совпадают и вторые слагаемые. Поскольку, согласно (4.16), !

т~ у'+1

ТО

Jt (к Л к к

IX I т. =Х X УС/„.

Меняя порядок суммирования в правой части последнего равенства, получим

к к к т~ к (т~ к к

;'=0m=;'+l w=I j=0 m=t V7=0 / w=l m=1

Таким образом,

J(/) = ^(CF|,),

что и требовалось доказать.

Последнее уравнение допускает еще одну интерпретацию. Для фиксированного потока платежей CF, порождающего счет с переменным капиталом в коммерческой модели, состояние счета для моментов t, следующих за всеми критическими моментами потока, т.е. t> f,, /2,..., tn, определяет также будущее (или накопленное) значение потока CF в коммерческой модели. Это значение естественно обозначить как FV;am(CF). Таким образом,

FVr{CF)^S{t,CF), />/„/2,...,^.

Заметим, что в данном случае поток С/'играет роль внешнего параметра для порождаемого им финансового процесса (см. § 1.4).

Доказанная выше теорема устанавливает факт совпадения коммерческого и стандартною операторов будущей стоимости:

FV™ (CF) = FVt (CF).

Таким образом, все три оператора будущей стоимости: стандартный, мультисчетный и коммерческий совпадают. Заметим, однако, что, как будет показано ниже, оператор текущей стоимости в коммерческой модели уже не будет совпадать со стандартным.

Перейдем теперь к описанию актуарного правила (правила США). Сначала детально, по шагам разберем это правило, а затем дадим его краткое формальное описание.

Как уже отмечалось, в актуарном правиле изменение состояния счета начинается с обработки процентного счета и лишь потом изменяется основной счет. При описании правила будем использовать стандартную интерпретацию счета с точки зрения его владельца. Положительный баланс означает наличие собственных денег вкладчика, а отрицательный — заемных средств, т.е. владелец счета является в этот момент должником. Соответственно будут интерпретироваться довложения (взносы) и изъятия средств. При положительном балансе смысл этих операции очевиден. Исключение составляет снятие большей суммы, чем на счете (овердрафт) и, следовательно, переход к противоположному по знаку балансу, т.е. от депозита к займу. При отрицательном бааансе положительные поступления (взносы) означают погашение долга, а отрицательные (изъятия) увеличение долга. Как и в случае коммерческого правила, рассмотрим симметричную модель, т.е. будем считать ставку не зависящей от знака (вида) сальдо счета. Таким образом, и для кредитового (положительного), и дебетового (отрицательного) сальдо начисление осуществляется по одной и той же ставке.

Пусть счет порождается потоком платежей

CF^.C^q),...,^,)}

и процентной ставкой /. Пусть также Pk, Ik, Sk, Jk имеют тот же смысл, что и выше. Покажем, как изменяются значения этих переменных с течением времени под действием потока. При t — tQ начальное состояние очевидно:

поскольку никаких накопленных процентов в начальный момент нет.

Пусть теперь Р , / Sk_ , — состояния счетов в (критический) момент tk_ т.е. после последнего по времени платежа Ск_ Найдем новое значение этих переменных в момент tk после реализации платежа Ск. Определение этих значений, т.е. переход из предыдущего состояния в новое текущее, состоит из ряда «микрошагов». Сначала определяются проценты Jk за последний (текущий) период [tk_ j, tk). Поскольку в схеме простых процентов проценты начисляются только на основной капитал, то

где Tk= tk — tk_l— длина текущего критического периода.

Определив Jk, мы можем найти накопленные к текущему моменту / проценты:

Поскольку при актуарном правиле значение процентного счета обязательно изменяется, то накопленные к моменту tk проценты обозначим через/jj, а через 1к — окончательное (завершенное в смысле § 1.2) состояние процентного счета. Итак, в новых обозначениях

Л' = Л-.+ЛSk=Pk + h

Теперь сравним Гк и Ск. Если они имеют один знак (точнее, не противоположны по знаку), т.е. ГкСк > О, то переход осуществляется также, как в коммерческом правиле, т.е.

S

В противном случае, т.е. когда

возникает существенная для актуарного правила ситуация. Рассмотрим сначала случай

/;>о, ск <о,

который интерпретируется как снятие суммыСк (Ск < 0!) при положительном балансе Гк > О процентного счета. В актуарном правиле снятие сумм начинается обязательно с процентного счета (сначала снимаются проценты). Здесь также имеются две возможности. Снимаемая сумма Ск меньше (по абсолютной величине), чем величина накопленных процентов Гк, т.е.

А\<П,

и тогда

/;+с,>о

либо больше или равна сумме процентов, т.е.

С > Г

Ц+скйо.

и, значит,

В первом случае процентных денег достаточно для снятия суммы Ск и, следовательно, уменьшением этого счета до величины

К ~ I к ~~ Q = Л Q

переход завершается, и основной счет не изменяется. Таким образом, окончательно имеем

Рк = Рк->.

Во втором случае снимаемая сумма Ск превышает величину процентного счета, поэтому необходимо недостающую сумму Ск-Гк снять с основного счета:

Л = /^-(|gw; ) = />_,+/;+с,..

Ясно, что исчерпание процентного счета требует его «обнуления»:

Л = 0.

к

Итак, во втором случае, т.е. при

имеем

/,=0,

~ Д-1 + Iк+ + Q •

Естественно, во всех случаях, по определению,

54 = /t + /J.

Совершенно аналогично рассматривается случай /^ОиС^. >0, интерпретируемый как погашение долга. В этом случае также сравниваются по абсолютной величине накопленные проценты |/^'| и взнос Ск. Если величина взноса недостаточна для уплаты накопленных процентов, т.е.

/;+с,<о,

то изменяется лишь процентный счет, и он уменьшается до

а основной счет не меняется:

На этом описание перехода от одного критического состояния к другому завершается. Изменение состояния счетов внутри критического периода, т.е. в моменты без каких-либо внешних воздействий подчиняется обычному правилу процентного роста, т.е. основной счет не меняется, а процентный изменяется пропорционально времени. Так, если Рк, /к — последнее критическое состояние, относящееся к моменту времени tk, и в период (t у t) никаких поступлений и изъятий не было, то

Р -Р

11 1 к

Формально актуарную модель можно описать кратко следующем образом.

Для / = 0 полагаем

(4.20)

Если !к и Ск не противоположны по знаку, т.е. ГкСк > 0, то

/=/' = / +J •

к к (4.21)

В противном случае (ГкСк<0) при совпадении знаков 1к+СкнГк

изменяем процентный счет:

Гк = !; + Ск, (4.22)

а основной счет не меняется:

Рк=Рк_г (4.23) Если знаки Ik+Ckwlk противоположны, то изменяем основной счет:

и обнуляем процентный счет:

1к = 0. (4.25) Наконец, полагаем (для всех альтернатив)

St = Pt + I, (4.26)

Заметим, что во всех случаях

sk = sk-i +Jk+Ck=SkAl+i-Tk) + CkЕще раз отметим важность порядка работы со счетами в актуарном правиле. Сначала находятся текущие, затем накопленные проценты, потом последние сравниваются с текущим платежом потока и в зависимости от результата сравнения по вышеуказанным правилам обрабатываются процентный и основной счета. Таким образом, в отличие от коммерческого правила, в котором при переходе от одного критического состояния к другому процентный и основной счета обрабатываются независимо друг от друга, в актуарном правиле изменения этих счетов тесно связаны друг с другом. Однако и в том, и в другом случае соблюдается основной принцип простых процентов, состоящий в том, что проценты Jk за текущий период Тк начисляются только на величину основного счета Рк_хв начале текущего периода. Именно этот аспект дела позволяет оба правила относить к схеме простых процентов.

Равенства (4.20) (4.26) дают значения остатков счетов в любой критический момент времени. Если же Г — некритический момент времени, то tk < t < tk+ { для некоторого к. При этом, если / > Гд, то tk+l = +°°. В этом случае полагаем

P(t)=P(tk)=Pk; I(t) = Ik + I{t,tk) = Ik+iPk(t-tk); (4.27) S(,) = P{t) + I(t).

Для заданного потока CF, порождающего счет с переменным капиталом, можно положить для t>iv /2,..., tn

FV;ci(CF) = S(t,CF).

Этим определяем понятие будущей стоимости потока платежей в актуарной модели. В частности, можно аналогично уравнению (4.19) для коммерческой модели записать

S(t) = FVr(CF,),

где CF — начальный отрезок порождающего потока CF. Заметим, что, как было показано выше, актуарный оператор будущей стоимости FV*CX уже не совпадает со стандартным оператором FVt. Рассмотрим пример, иллюстрирующий оба правила.

Пример 4.4. Пусть вкладчик открывает счет с начальной суммой ^1000 и процентной ставкой 20\% годовых. Полагая /0 = 0 и считая допустимым отрицательное сальдо счета (основного и полного), найти по обоим правилам (коммерческому и актуарному) состояния счета на конец года для каждого из 5 лет, если операции вкладчика со счетом описываются потоком (в годовой шкале)

CF= {(1, 200), (2, -1500), (3, 900), (4, -200), {5, 100».

Считаем, что при отрицательном сальдо основного счета процентная ставка (по кредиту) также равна 20\% годовых.

Решение. Сначала решим задачу для случая, когда состояния счета в моменты вложений и изъятий сумм определяются по коммерческому правилу. Тогда согласно коммерческому правилу, состояние Рк основного счета на конец к-ю года

^=5Х = ^_І+С,, Л = 1,2 5.

Следовательно,

Рх = 1000 + 200 = 1200(^Р);

Рг = 1200 1500 = 300(;'#);

Ръ= -300 + 900 = 600(.#);

РА = 600 200 = 400( :щ

Р5 -400 + 100 = 500(;#). Для состояния 1к процентного счета на конец к-го года имеем, что

к

/*=5Х=/*-і+л> *=і,2,...д

где /0 = 0 и Jk проценты за А:-й год, т.е.

Jk=iPk_ll = iPk_i, /с = 1,2,...,5.

Следовательно,

Л=Лч+//>*-.. А: = 1,2,..., 5.

Тогда

/, = 0,2-1000 = 200(.#); /2 = 200 + 0,2-1200 = 440(.#); /3 = 440 0,2-300 = 380(.#);

/, = 380 + 0,2-600 = 500(3?);

/5 = 500 + 0,2-400 = 580(3?). Для полной суммы счета Sk на конец к-то года имеем, что

^* = Д Л» к =1,2,...,5.

Таким образом,

51 = 1200 + 200 = 1400(3?);

52 = -300 + 440 = 140(3?);

^ = 600+ 380 = 980(3?); S4 = 400 + 500 = 900(3? );

Ss = 500 + 580 = 1080(3?).

Решим теперь задачу для актуарного правила. В этом случае проценты Jk за А>й год по-прежнему вычисляются по формуле

J =!Р к-] 2 5

а величины и /t основного и процентного счетов соответственно вычисляются, как мы уже определили выше, по формулам (4.20) (4.26), имеющим различный вид в зависимости от того, является ли ск вкладом на счет или изъятием со счета.

Так как в конце 1-го года вкладываются 3? 200, то состояния основного, процентного и полного счетов определяются как

Рх = /> +с1 =1000 + 200 = 1200(3?); /, = /; = /, = 0,2 ■ 1000 = 200(3?); S{ =Р1 +1Х =1200 + 200 = 1400(3?).

Проценты за 2-й год составляют

/2 =0,2-1200 = 240(3?).

Тогда величина Г2 = Ix +J2 процентного счета станет

200 + 240 = 440( 3?).

Но эта величина меньше ЗИ500, которые изымаются в конце 2-го года, на .3?1060 и, следовательно, недостающие на процентном счете деньги сн имаются с основного счета, т.е. вычитаются из Рг Таким образом, имеем, что в конце 2-го года

Р2 =Р1+(Г] +J2 +С2) = 1200+ (440-1500) = 1200-1060= 140(з?);

/2=0

и

S2 = P2 = 140(3?).

Проценты за 3-й год составляют

У3 =0,2-140=28(3?).

В конце 3-го года вкладываются .3^900, поэтому для состояний всех трех счетов имеем

Р3 = 140 + 900 = 1040(:#);

/, = .#28; 53 = 1040 + 28 = 1068< .#).

Проценты за 4-й год

/4 = 0,2-1040 = 208(.#). В конце 4-го года изымаются R 200, но при этом

1 + С4 =/3 + У4 + С4 =28 + 208-200 = 236-200 = 36 >0. Поэтому получаем, что

р4 = 1040<:-#); /4=36(.#),

и

5"4 = 1040 + 36 = 1076(^). За 5-й год проценты составят

0,2-1040 = 208(.#). В конце 5-го вкладываются .#100; в результате

Р5 = 1040 + 100 = П40р?); /_ = /5' = 36 + 208 = 244(#); 55=1140 + 244 = 1384(."#).

В заключение отметим, что при практическом (ручном) применении описанных выше правил полезно и удобно результаты вычислений оформлять в виде таблицы состояний (табл. 4.1). Столбцы соответствуют найденным переменным состояниям, включая вспомогательные переменные: текущие УА и накопленные (до модификации) Гк проценты, длина текущего промежутка Тк и т.д. Строки нумеруются по критическим моментам, соответствующим очередным платежам Ск входного потока CF.

Каждая строка описывает состояние счета, соответствующее критическому моменту, номер которого совпадает с номером строки. При этом значения главных переменных lk> Рк, Sk соответствуют завершенному состоянию, т.е. состоянию счета после реализации текущего платежа и всех требуемых изменений. Начальная (нулевая) строка соответствует начальному состоянию счета, причем значения всех переменных (кроме, возможно, р0 = SQ = С0) равны 0. Таблица заполняется последовательно сверху вниз в соответствии с правилами перехода от состояния к состоянию в зависимости от рассматриваемой модели.

Пример 4.5. Составить таблицу состояний для примера 4.2 в случае актуарного правила.

Решение. Описание состояний для данного примера задается табл. 4.2. В этом примере опущен столбец длин критических промежутков, поскольку все они имеют одну и ту же длину, равную одному году.

На практике, кроме перечисленных в табл. 4.1 столбцов, используют и другие, вспомогательные столбцы. Так, учитывая аддитивность процентов в коммерческом правиле:

Л =ЇЛ =1ад =<( (4.28)

соответственно текущие jk и накопленные 1к проценты не вычисляются, а вычисляются «заготовки» вида

13-5169

У к =РкАТк и

которые лишь в конце умножаются на величину ставки *. К тому же, если предусмотрено конкретное «временное правило» (см. § 1.6), например АСТ/365, а ставка, как это принято на практике, задается в процентах (\%), а не долях единицы, то, учитывая равенства

365'

в качестве «заготовок» вычисляются величины

где Dk — число дней в к-и периоде, и

которые по окончании вычислений умножаются на число /(\%)/36 500, называемое процентным ключом. Такой подход экономит вычисления, устраняя ненужные на промежуточных шагах умножения на «ключ». Конечно, экономия достигается только в том случае, когда знания промежуточных состояний действительно не нужно. В противном случае, конечно, нельзя избежать упомянутых умножений.

Замечание. Собственно процентным ключом в финансовой литературе [1, 15] называется число К = 365// или, в общем случае, К = Y/i, где Y — годовой «дивизор» (т.е. принятое число дней в году), а число

называется процентным числом (или весом).

Все эти детали имели значение в докомпьютерную эпоху ручных вычислений. Сейчас эти величины и связанные с ними способы упрощения вычислений потеряли свое практическое значение, а их использование оправдано, пожалуй, лишь при решении упражнений по финансовой математике. Мы коснулись этих понятий лишь для «полноты картины». Нашей целью, как было отмечено в предисловии, является прежде всего изложение фундаментальных принципов финансовой математики.

Вопросы и упражнения

1. Опишите мультисчетную модель в схеме простых процентов. Дайте явное выражение для состояния полного счета в произвольный момент времени,

Определите операторы будущей и текущей стоимостей потока платежей в мульти-счетной модели.

Как определяется будущее (накопленное) к моменту г значение мультисчета, порожденного потоком CF? Текущее значение?

Что такое стандартный или формальный оператор текущего значения для модели мультисчета?

Опишите алгоритм последовательного нахождения состояния счета с заданным порождающим потоком в коммерческой и актуарной моделях.

Приведите общее выражение состояния полного счета в коммерческой модели с использованием порождающего этот счет потока платежей.

Задачи

В день своего 40-летия бизнесмен открывает накопительный пенсионный счет в пенсионном фонде. Ставка накопления фонда равна 15\% в валюте ($). Бизнесмен вносит $500 в конце каждого полугодия. Какова будет сумма накоплений к моменту выхода бизнесмена на пенсию? (Предполагается, что пенсионный возраст — 65 лет.)

Вкладчик открывает 25.01.96 счет на сумму 3?5000; 13.03.96 он снимает со счета 5?2000, а 17.06.96 дополнительно вкладывает.#1500. При условии, что больше не было никаких других вложений или изъятий, а процентная ставка счета составляет 20\% годовых, найти состояние счета на 31.12.96: а) в коммерческой модели; б) в актуарной модели. При расчетах использовать банковское правило.

3. Пусть счет с переменным капиталом (в годовой шкале) порождается потоком

CF= {(0, 2000), (1, -1000), (2,1000), (3, -2000)}.

Найти состояние счета в моменты г = , 2, 3, 4, 5 для коммерческой и актуарной моделей, если ставка счета равна 50\% годовых.

Рассматривается обыкновенная ежемесячная рента сроком 1 год с одинаковыми платежами по .^500 в конце каждого месяца. Найти накопленную к концу года стоимость ренты в коммерческой и актуарной моделях, если процентная ставка равна 24\% годовых.

Рассматривается годовой поток из ежемесячных платежей:

Найти накопленную к моменту / = 1 стоимость потока в коммерческой и актуарной моделях, если процентная ставка равна 48\% годовых. Выписать соответствующие таблицы состояний.

6. Вкладчик открывает в начале года, т.е. 1.01, счет на сумму Р/?500, а первого числа каждого нечетного месяца добавляет к счету .#500. Для какого из временных правил — АСТ/365, АСТ/360, 30/360 состояние счета на 31 декабря этого же года будет наибольшим: а) в актуарной; б) коммерческой модели? Предполагается, что ставка по счету составляет 24\% годовых и год невисокосный.