6.2. текущая стоимость потоков платежей

6.2. текущая стоимость потоков платежей

Обсудив понятие будущей стоимости потока, перейдем к анализу понятия текущей (сегодняшней, приведенной) стоимости потока платежей. Оно симметрично понятию будущей стоимости. Его смысл, таким образом, состоит в нахождении текущего (сегодняшнего) эквивалента всех будущих платежей потока. Следовательно, если дан поток CF, то его текущей стоимостью (в рассматриваемой модели) в момент t0 является величина Vn такая, что инвестирование ее в момент t0 по ставке /' полностью обеспечивает все платежи потока. Это равносильно тому, что снятие сумм Ск в моменты / со счета, порожденного начальным вкладом К0, приведет в момент /я последней выплаты в точности к нулевому балансу, т.е. в момент t будет выполнено равенство

S, =0.

Таким образом, формальное определение текущей стоимости потока платежей базируется на той же идее взаимного баланса потока или эквивалентности потока и его приведенного (к будущему или прошлому) значения.

Определение 6.2. Величина У0 является текущей стоимостью в момент г0 потока

CF = {(t[,C[),(t2,C1),...,{tf„Cn)}, t0<tvt2,...,tK) K = PV™d{CF)

относительно ставки /, если

^.С^И (6.15)

ГДЄ -CF = {(t0,-Ve)} + CF (1615,)

— расширенный поток, полученный присоединением к потоку CF начального события (tQ, — V0).

Приведенное выше определяющее соотношение (6.15) идентично условию (6.14), разница состоит л ишь в способе формирования расширенного потока: приведенное значение потока с обратным знаком присоединяется «к концу» исходного потока в случае будущей стоимости (6.14') и «к началу» — в случае текущей стоимости (6.15').

Строго говоря, если следовать «букве» приведенного перед формальным определением текущей стоимости описания смысла этого понятия следует в качестве расширенного потока рассматривать поток

*CF = {(t0,V0)}-CF, (6.15")

поскольку мы договорились вложение суммы У0 интерпретировать событием (/0, У0), а снятие суммы Ск в момент tk — событием (tk, Ск). Это, конечно, чистая условность, и результат, т.е. балансовое равенство (6.15) не зависит от того, какой вариант расширения потока используется.

Наметив общую схему определения текущей стоимости потока в схеме простых процентов, рассмотрим подробнее, что она дает в случаях конкретных моделей.

В § 4.1 при обсуждении модели мультисчета мы показали, что в ней текущая стоимость потока совпадает со стандартной текущей стоимостью (6.4). Таким образом,

PVr{CF)--PVjCF)--±T~£^y

Этот факт — естественное следствие полной независимости, которой обладают отдельные платежи потока в мультисчетной модели. Поэтому обеспечение (финансирование) потока СГозначает попросту обеспечение каждой из сумм Ск потока в отдельности, и, следовательно, текущая стоимость потока будет в этом случае обычной суммой текущих стоимостей отдельных платежей потока. Наиболее яркий пример (см. § 4.1) — покупка пакета (портфеля) долговых обязательств. Платеж Ск представляет собой сумму погашения к-то обязательства, а текущая стоимость потока этих платежей есть просто стоимость пакета обязательств при заданном уровне процентной ставки (см. пример 4.2).

Несколько неожиданным, пожалуй, является тот факт, что в коммерческой модели, несмотря на совпадение модельной CFVj и стандартной FVt будущих стоимостей, текущая стоимость потока будет отличаться от стандартной текущей стоимости. Хотя мы и не нашли пока явное выражение для текущей стоимости потока в коммерческой модели, в сказанном можно убедиться с помощью простого контрпримера.

П р и м е р 6.4. Для потока

CF= {(I, 200), (2, -500), (3,600)}

из примера 6.1 показать, что стандартная текущая стоимость не согласована с коммерческой моделью.

Решение. В примере 6.1 было показано, что при ставке / = 20\%

PV0{CF) = 184,52(3?).

Вместе с тем легко убедиться, что для расширенного потока

XF= {(0, -184, 52), (1, 200), (2, -500), (3, 600)}

выполняется равенство

CFV^CF) = FV,('CF) = -15,23(3?) Ф 0.

Таким образом, условие (6.15) не выполнено и, следовательно, стандартное значение текущей стоимости не является ее модельным (коммерческим) значением. Нетрудно убедиться, что значение

\= 175(3/?)

будет корректным значением текущей стоимости этого потока в коммерческой модели.

Перейдем к выводу явного выражения для текущей стоимости в коммерческой модели.

Уравнение (6.15) означает, что момент tn последнего платежа — точка нулевого баланса; поэтому оно дает линейное относительно VQ уравнение

-r.(i+/(/.-r„))+/v4(ao=o. (6.16)

Отсюда получаем, что

FV. (CF)

к = Д (6-і?)

или в развернутом виде

" С,(1 + i(t-L)

1/ Г <6Л8>

В результате получаем явное выражение для текущей стоимости потока платежей в коммерческой модели:

сВДФШ|^ (6Л9)

Пример 6.5. Какую сумму должен отец вложить сегодня на накопительный вклад при ставке 8\% годовых, чтобы обеспечить сыну ежегодные выплаты в размере л 1000 в течение четырех лет обучения в колледже?

Решение. Считая, что вклад сделан в начале года, т.е. в момент времени t0 = О, получим следующий поток платежей:

CF = {(1, 1000), (2, 1000), (3, 1000), (4, 1000)}.

Для расчета дисконтированного на момент времени г0 ~ 0 значения этого потока воспользуемся формулой (6.18). Так как последняя выплата по окончании 4-го года должна «обнулить» счет, то г = 4 — точка нулевого баланса. Тогда

Ко4,000'+°-°у-*) = шоо' + °.°8-3 +

£? 1+0,08(4-0) 1+0,08-4

+ 10001+О-О82+10ОО1+(Ш1+10(Ю ' -3393.94W

1 + 0,08-4 1 + 0,08-4 1+0,08-4 v '

Здесь и далее вычисления проводятся с точностью до сотых долей.

Для иллюстрации содержательного смысла дисконтированного значения К0 покажем теперь, что, положив сумму Vt) — .#3393, 94 на накопительный вклад при ставке 8\% годовых и снимая с вклада в конце каждого года .#1000, пользуясь при этом коммерческим правилом, через четыре года получим нулевое сальдо счета.

Действительно, в начальный момент времени /0 = 0 на основном счете имеем

PQ = 3393,94(^9). Через год на эту сумму нарастут проценты

/, = Р{) 0,08 3393,940,08 = 271,52(:.#). Следовательно, состояние процентного счета в конце 1-го года

/|=/1 = 271,52(;-л'), а основной счет после снятия с него .#1000 станет

Pt = P0І000 = 3393,94 1000 2392,94(,^).

За 2-й год нарастут проценты

/2 Pj-0,08 =2393,94-0,08 = 191,52( .■■*?)■ Таким образом, на конец 2-го года на процентном счете будет

/2 = /, +У2 = 271,52 + 191,52 = 463,040*?),

а на основном

Р2 = Рх 1000 = 2393,941000 = 1393,94(.#). Проценты за 3-й год составят

У3 = Р2-0,08 = 1393,94-0,08 = 111,52( .М).

Тогда к концу 3-го года состояние процентного счета

/3 = /2 + У3 = 463,04 + 111,52 = 574,56( л),

а основного

Рг^Р2 1000 = 1393,94 1000 = 393,94(.#). И наконец, за 4-й год проценты составят

У4 = Р3-0,08 = 393,94-0,08 = 31,52(;#).

Следовательно, процентный счет к концу 4-го года станет

/4 = /, + У4 = 574,56 + 31,52 = 606,08(.??),

а сумма полного счета на этот момент времени

St = Р3 + /4 = 393,94 + 606,08 = 1000,02( .#),

т.е. имеем необходимую для последнего платежа сумму .#1000, после выплаты которой счет обнуляется (с учетом точности расчетов).

Формулу (6.19) для текущей стоимости можно переписать, если ввести специальный коэффициент «коммерческого дисконтирования» (коэффициент приведения)

^/-'»'/-)=T-(7T7J(6.20)

Тогда

CPVjCF) = -£CAh,'M (6-21)

Нетрадиционный вид коэффициента дисконтирования может насторожить. Он зависит от трех, а не от двух временньіх переменных, в отличие от случаев, рассмотренных ранее (см. (3.16), (3.17), (3.18), (3.19)). Смысл переменной tk ясен, она варьируется по моментам всех платежей потока. Смысл /0 также ясен: это точка приведения (полюс, момент валоризации). Но какую роль играет переменная Гп? В формулах текущей стоимости она — момент последнего платежа. Это означает, согласно формуле (6.15), служащей основой для определения текущей стоимости потока, что именно в /я достигается нулевой баланс. Выбор нулевого баланса в момент tn последнего платежа потока лишь один из возможных вариантов. Выбирая в (6.15) точку /для будущей стоимости произвольным образом, лишь бы выполнялось условие / > /я, получим различные варианты определения текущей стоимости, которые будут согласованы с основным принципом ее определения.

Определение 6.3 (обобщенной текущей стоимости). Величина Кявля-ется текущей стоимостью потока CF, сбалансированной относительно точки/?, т.е.

K = PKt—M(Cf), T<trt2,...J„<p, (6.22) тогда и только тогда, когда

FV;od(*CF) = Q, (6.23)

где

'CF = {(r,-V)} + CF. (6.23')

Это определение обобщенной текущей стоимости, т.е. текущей стоимости потока, сбалансированной относительно точки р, дает для нее, согласно (6,19), при tn = р и /0 — т явное выражение в случае коммерческой модели;

СРУУЧсП--р^-^0у (6.24)

Используя введенный выше коэффициент дисконтирования, (6.24) можно записать в виде

CPV^CF) = ±Ctv{tk,x,p). (6.25)

Определение 6.3 приводит к парадоксальному на первый взгляд

свойству обобщенной «коммерческой» текущей стоимости CPVJJl].

Так, если взять две различные точки нулевого баланса/7, ґ", следующие за всеми платежами потока, т.е. tn < Ґ < t", то, несмотря на то, что никаких платежей после момента t поток CF не содержит, все три значения текущей стоимости: основное

CPVt(CF)^CPVT{Q(CF) и два обобщенных CPV}'} (CF) и CPVJr) (CF) будут попарно различны.

Пример 6.6. Для потока СТиз примера 6.5 найти значения текущей стоимости для точек нулевого баланса t= 5, 6, 7,

Решение. В примере 6.5 мы нашли основное текущее значение потока CF:

CPVa (CF) = CPV^ (CF) = 393,94 (;■*?)

относительно точки т = 0 и ставки і' = 8\% с нулевым балансом в момент t 4 последнего платежа. Смещая точку баланса на один, два и три шага вперед, по формуле (6.24) последовательно получим

CPF0(5,(CF) = 3428,52(J?); CPK0(6,(CF) = 3459,46(.#); CPV™ (СТ) = 3487,18(.#).

Легко доказать линейность введенного обобщенного оператора текущей стоимости:

CPVT{p) {aCF) = aCPVT{p) (CF) (6.26)

и

CPV}P) (CFX+CF2) = CPVT{P) (CF{) + CPVTip) (CF2), (6.27)

если все платежи лежат в промежутке [т, г]. Эти свойства немедленно следуют из (6.22), (6.23) и (6.3), (6.9).

Свойство (6.27) позволяет рассматривать текущую стоимость потока для коммерческой модели как сумму текущих стоимостей его платежей. Это кажется на первый взгляд неожиданным и противоречащим сказанному выше о нелинейности ранее определенной основной текущей стоимости, сбалансированной в момент последнего платежа. Однако следует помнить, что здесь речь идет не о стандартной текущей стоимости, привязанной к последнему платежу, и в случае отдельного платежа к нему самому, а текущей стоимости с моментом приведения г и моментом нулевого баланса р.

Для отдельного платежа, т.е. события (/, С), коммерческий оператор текущей стоимости дает приведенное к моменту гзначение

СРУ}РС^С(] + І1Р~Ґ, r<t<p. (6.28)

Выражение справа есть результат композиции двух стандартных операторов приведения:

V,=FV,(C,) = C,(H-i(p-t))

И

Таким образом,

CPV!fCt) = PVzoFVp{Ct), r<t<p, (6.29) В § 3.4 указанную композицию мы назвали приведением к моменту

тотносительно заданного полюса р и обозначили через PVJPK Следовательно,

CPV}p)(Ct) = PV}p)(Ct), x<t<p. (6.30) С учетом этого факта можно записать для произвольных потоков

CPV[/CF) = ^PV[/Ck r<tl<t2<...<t„<p. (6.31)

к=

Сумму справа можно рассматривать как определение операции приведения потока CFk моменту г относительно выбранного полюса/?;

ру(р) (с/г) = £ PV[TP) (Ck). (6.32)

Мы вернемся к этой конструкции в заключительном параграфе, посвященном общему анализу потоков платежей в схеме простых процентов. Здесь отметим лишь одно обстоятельство. Распространение относительного приведения событий на потоки не зависит от взаимного расположения момента приведения, полюса и критических моментов потока, тогда как введенное определение коммерческого оператора текущей стоимости предполагает взаимное расположение перечисленных параметров, указанное в (6.31).

В заключение нашего анализа текущей стоимости потока для коммерческой модели отметим два «предельных» свойства. Для любого конечного потока CF

lim CPVT{p)(CF) = TCk (6.33) при фиксированных /, т, и

lim PV}P)(CF) = Q (6.34)

при фиксированных /, р.

Эти свойства являются непосредственным следствием аналогичных свойств коэффициента дисконтирования:

/ . . +i(p~s)

lim ф,г,/>) = lim —~ г = 1 (6.35)

р->+°° P^-^l + lip — T)

И

, ч . +i(p-s)

hmv (s,T,p )= іші7-7 7 = 0. (6.36)

Перейдем к актуарной модели. Построение операторов текущей стоимости для актуарной модели строится на общем принципе, задаваемом уравнениями (5.3) и (5.4). Иными словами, в качестве текущего значения потока CF в момент т относительно балансовой точки р и ставки / берется величина

VT=APV}P)(CF), T<t{,t2,...Jn<p, (6.37)

такая, что где

AFVp(*CF) = Q, (6.38) *CF = {(t,-V)}+CF (6.38')

— расширенный поток, полученный добавлением начального события

Здесь возникает одна тонкость. Известно, что условия (6.15) и (6.15') действительно определяют текущее значение в коммерческой модели, поскольку балансовое уравнение (6.16) допускает явное решение (6.17), (6.18). Но для актуарной модели мы не можем явно решить (даже явно записать) балансовое уравнение (6.38). Заметим, что даже если поток знакоопределенный, т.е. CF> О или CF< 0, то хотя для такого потока мы можем записать выражение его будущей стоимости, тем не менее расширенный поток *CFбудет обязательно разнознаковым, поскольку знак начального состояния — V будет обязательно противоположен знакам платежей потока CF. Это именно тот случай, когда актуарное правило дает результат, существенно отличный от коммерческого. Тем не менее для некоторых случаев можно получить явное выражение для текущей стоимости потока в актуарной модели. Это касается так называемых рент, т.е. регулярных потоков с одинаковыми платежами. В частности, для регулярного потока

CF = {(l,C),(2,C),...,{n,C)}

с постоянными платежами, т.е. ренты, будет показано, что текущая стоимость в точке т= 0 и с нулевым балансом в точке р = п

APV!?CF) = ^Ck{ + i)-k. (6.39)

*=1

Итак, мы определили для актуарной модели «обобщенный» оператор текущей стоимости относительно произвольной точки нулевого баланса. Ранее было показано, что изменение точки нулевого баланса меняло значение текущей стоимости потока в коммерческой модели. Это связано с единственностью точки нулевого баланса для фиксированного потока. Известно, что для актуарной модели все точки, следующие за точкой нулевого баланса, сами являются точками нулевого баланса. Таким образом, конкретный выбор этой точки в определении текущей стоимости для актуарной модели несуществен, т.е. для любого потока CF

APV{rp){CF) = APVx{CF), P>tn, где t — момент последнего платежа потока. Это позволяет в обозначе-нии текущей стоимости не указывать верхний индекс, отмечающий выбранную точку баланса, и писать просто APVT(CF). Пример 6.7. Рассмотрим трехлетнюю ренту

CF ={(1, 100), (2, 100), (3, 100)}.

Найдем актуарную текущую стоимость этой ренты в момент т = 0 при ставке 20\% годовых.

Решение. Согласно формуле (6.39),

100 100 100

APVJCF) = + г+ 7 = 210,65.

аК 1 1 + 0,2 (1 + 0,2)2 (1 + 0,2)'

6.3. Относительная приводимость и эквивалентность потоков платежей в схеме простых процентов

Выше мы определили модельные операторы приведения потока к выбранному моменту времени. Отметим, что во всех моделях будущая стоимость определялась для момента времени, следующего за всеми платежами потока, а текущая соответственно для момента, им предшествующего. Таким образом, модельные операторы приведения не являются всюду определенными относительно моментов приведения, поскольку приведение к промежуточным моментам по отношению к платежам потока не было определено.

С другой стороны, в гл. 3 мы определили стандартные операции приведения денежных потоков. Эти операции получались в результате формального распространения операций приведения событий на потоки. Говоря о формальности такого распространения, мы имеем в виду лишь то, что для него не требуется содержательная интерпретация.

Это, конечно, не значит, что получающиеся операторы приведения «бессмысленны». Мы уже отмечали, что в ряде случаев модельные операторы приведения совпадают с формально определенными стандартными операторами приведения. Равенство (6.29) подтверждает тесную связь между содержательными (модельными) и формальными операторами. В этом параграфе более подробно рассмотрены финансовые потоки в схеме простых процентов и, в частности, связи между различными вариантами операций приведения финансовых потоков.

Прежде всего напомним, что введенная в § 3.4 операция приведения потока основывалась на операции приведения событий:

PVp(C,) = C,v(t,p), (6.40)

где i+t(p-t), річ

иМ = ї 1 ... (6.41)

I-W('-P)'

— обобщенный коэффициент приведения (дисконтирования) в схеме простых процентов.

Формальное распространение этой операции на потоки приводит к определению

pv, (CF)=tpv, (с*)=їс»°('». р), (6.42)

к= к=1

где

CF = {(r1JC1),(f2fC2),...,(/J,,C1I)}

— произвольный поток.

Таким образом, операция приведения потоков является линейным продолжением операции приведения событий.

Этот факт очевидным образом влечет линейность операции формального приведения потоков платежей:

PV, {CF, + CF,) = PV, {CF,) + PV„ (CF2)

и PVf(aCF) = aPVf{CF).

Выражение (6.42) можно записать в развернутом виде

;(^)=ісл.+/(^))+іі-^

k:tk<p к:1к>р^11к Р)

FVp{CF[p) + DVp{CF\ (6.43)

где CF р — часть потока CF, включающая платежи до моментар CF содержит платежи из CF после момента р.

Таким образом, приведенная стоимость потока платежей равна сумме стандартной будущей стоимости части потока, предшествующей моменту приведения, и стандартной текущей стоимости части потока, следующей за моментом приведения.

Формальное текущее значение

V = PV(CF)

р ру '

потока CFопределяет событие (р,У), которое является эквивалентным (в формальном смысле) представлением потока CF, т.е.

(p,V)~CF.

Более общим образом можно определить формальную эквивалентность любых потоков платежей в стандартной модели.

Определение 6.4. Пусть р — фиксированный момент приведения (полюс). Потоки CFj и CF2 в стандартной модели называются формально эквивалентными в схеме простых процентов относительно полюсар и процентной ставки /, если их текущие стоимости в момент р совпадают:

PV^CF^Py^CF,). (6.44)

Формальную эквивалентность назовем стандартной или простой эквивалентностью (в схеме простых процентов), если это не будет приводить к недоразумениям.

Данное определение эквивалентности потоков представляет собой простое обобщение соответствующего определения эквивалентности событий в схеме простых процентов (см. § 3.4). Оно действительно является отношением эквивалентности, т.е. это рефлексивное, симметричное и транзитивное отношение. Факт эквивалентности потоков запишем в виде

р,<

CFX~CF2.

Ставку / (параметр схемы) обычно опускают в обозначениях операторов приведения и отношениях эквивалентности событий и потоков.

Эквивалентность событий и потоков связана между собой естественным свойством.

Если события

(tltc2) и (/2',q);

('..с.) и (г;,с;)

попарно эквивалентны относительно р:

р

Ск~Ск, к = 1,2,...,я, то будут эквивалентны и составленные из них потоки:

CF-CF'.

Обратное, вообще говоря, неверно, т.е. эквивалентность потоков не влечет эквивалентности событий.

Пример 6.8. Доказать эквивалентность относительно момента времени р = 3 и процентной ставки / = 20\% следующих потоков:

С/;={(1, 100), (5, 700)}; CF2 = {(-2, 250), (4, 168)}; С/;=К0, 200), (6, 512)}.

Решение. Заметим, что

(1,100)~(4,168),

так как

100(1 + 0,2-2} = 140 = -^~

1 ' 1 + 0,2

и

(-2,250)~(5,700),

так как

700

250(1 + 0,2-5) = 500 =

1 ' 1+0,2-2

Таким образом, события потоков CFt и CF2 соответственно эквивалентны и, следовательно, будут эквивалентными сами потоки. При этом текущая относительно р = 3 стоимость обоих потоков

PV^CF) = PVi (CF2) 140 + 500 640.

Поскольку

PV. (CF,) = 200 (I + 0,2 ■ 3) + ——— = 640, A 3/ v - ; 1 + 0,2-3

To CF3 эквивалентен потокам CF] и CFr Заметим также, что события потока СРг неэквивалентны никаким событиям потоков CFi и CFr

16-5169

Мы распространили на потоки операцию приведения событий в схеме простых процентов. В предыдущем параграфе при определении текущей стоимости в коммерческой модели были получены важные соотношения (6.31), (6.32). Они означают, что еще один формальный оператор приведения потоков имеет содержательное значение. Этот оператор основан на операции относительного приведения событий, которая, в свою очередь, непосредственно связана со свойством эквивалентности (замещаемости) событий относительно заданного полюса.

Операция относительного приведения событий в схеме простых процентов подробно рассматривалась в § 3.4. Напомним ее определение:

^)(С>С,4Ц(6-45) v(t, р)

Формальное распространение этой операции на потоки приводит к следующему определению.

Определение 6.5. Приведенным к моменту г значением потока CF относительно полюсар (и ставки /) называется величина

V, = PV" (CF) = ± PV? (Ск ) = ±Ск (6.46)

Заметим, что знаменатель в (6.36) не зависит от элементов потока CF. Учитывая это, формулу (6.36) можно переписать в виде

pVM{CF) = ~±-±Ckv(tk,p). (6.46.,

v

В тех случаях, когда момент приведения следует за всеми критическими моментами потока, соответствующее относительное приведенное значение называется будущим значением потока относительно полюса р и обозначается как

Пример 6.9. Пусть задан поток CFследующего вида:

CF= {0, 200), (2, -100), (4, 300)}.

Найти приведенное к моменту т= 5 значение потока относительно полюса р = 0. если нормированная процентная ставка 20\% годовых. Решение. Согласно формуле (6.46'), получим

^•.(Cf) 1 /V„(CT)-(l + 0.2.S)f-^ ™_+_»U

5 v 1 ф,0) оУ- > 1+0,2-1 1+0,2-2 1 + 0,2-4 J

= 523,81.

Формула (6.46') — аналитическое представление разложения оператора относительного приведения в композицию стандартных операторов приведения (см. § 3.4);

PV}P) = РУтоРУр. (6.47)

Заметим, что именно нерасщепляемость финансового закона v(t, р) в схеме простых процентов приводит к невыполнению свойства поглощения

PVzoPyp=pyt. (6.48)

Однако для относительного оператора приведения имеет место специальный закон поглощения

РУ{р) о РУ{р) = РУ}р). (6.49)

Подчеркнем, что полюс р для всех операторов в (6.49) должен быть одним и тем же.

Равенство (6.49) основано на легко проверяемом тождестве

РУроРУтсРУр^рур. (6.50)

В самом деле, применяя оператор слева к произвольному событию (ґ, С) и учитывая самосопряженность финансового закона v(t, р), получим

С>(/, р)и(р, т)у(т, р) = С>(г, р),

что доказывает (6.50), а значит, и (6.49).

Обобщенный закон поглощения (6.49) означает, что относительный оператор приведения не порождает нового отношения эквивалентности событий и потоков. Более того, речь идет о том, что совпадение приведенных к моменту т значений относительно полюса р потоков CFj и CF2 означает их простую (стандартную) эквивалентность.

В самом деле, применяя к равенству

PV}p)(CF1) = PVr{p)(CF1)

оператор приведения PV, на основании (6.50) получим равенство

PVp(CFl) = PVp(CFI),

т.е. простую эквивалентность потоков относительно полюса/?.

Остановимся на связи модельных (содержательных) операторов приведения потоков в схеме простых процентов. Выше было показано, что для потока

С/= {(г„С1),(г2,С2),...,(?„,С„)} При условии p>tv /2,..., tn имеют место соотношения

W;om (CF) = frult (CF) = FVp (CF).

Если к тому же выполняется условие г < г,, f2,..., ґи, то выполняется равенство

FVTmu]t (CF) = FVX(CF).

Для коммерческой модели имеет место более тонкое соотношение

FVT[p)'com{CF) = FVr(p){CF).

Здесь мы временно вернулись к более выразительным обозначениям модельных операторов приведения CFVp и CPV.

Модельные операторы приведения также отражают связанные с ними отношения эквивалентности. Эквивалентность такого рода определяется выбором точки приведения ти модели, относительно которой она определяется. При этом важно положение точки приведения г относительно сравниваемых потоков. Эта точка либо следует за всеми платежами потока, либо предшествует им. В том случае, когда точка т следует за платежами потоков, говорят о постэквивалентности.

Определение 6.6, Потоки CF{ и CF2 постэквивалентны относительно момента р и ставки /, если

FVpmoA(CF,) = FVpmoA(CF2),

где р следует за всеми платежами обоих потоков.

Если точкар предшествует платежам потоков, то говорят о предэкви-валентности.

Определение 6.7. Потоки CF{ и CF2 — предэквивалентны относительно моментар и ставки /, если

где р предшествует всем платежам обоих потоков.

В обоих определениях фигурируют модельные операторы приведения, согласованные с динамикой модели.

Строго говоря, для определения предэквивалентности в коммерческой модели необходимо уточнить выбор точки нулевого баланса. Если потоки имеют разные моменты последних платежей, то можно в качестве такой точки брать более поздний из них, но в любом случае предэквивалентность в коммерческой модели существенно зависит от выбора точки нулевого баланса. В то же время из сказанного выше следует, что предэквивалентность в коммерческой модели равносильна постэквивалентности относительно точки нулевого баланса. Формально это выражается утверждением

CPVJP)(CFX) = CPVT(p)(CF2)<=>FVp(CFX)FVp(CF2).

Таким образом, определение предэквивалентности в коммерческой модели попросту излишне; ее полностью заменяет постэквивалентность, которая равносильна стандартной эквивалентности относительно точки нулевого баланса р.

В актуарной модели текущая стоимость не зависит от выбора точки нулевого баланса и, как легко показать, пости предэквивалентность в этой модели различаются.

П р и м е р 6.10. Показать, что потоки

С^ = {(1, 100), (2,-100)}; СРг = {(3,75)}

в актуарной модели для ставки / = 50\% постэквивалентны относительно точки р = 3, но не предэквивалентны относительно точки р = 0.

Решение. Найдем сначала AFV3(CF), В этом случае

^ = 100; /, = 0; /2 = 1000,5 = 50.

Учитывая, что

У2+С2 = 50 100 --50 < 0,

имеем

/2 = 0

и

Тогда

У3 = 50 • 0,5 = 25

и

Ря Р2 + Ji 50 + 25 75.

Следовательно,

AFV^CFJ = 75.

Поэтому потоки CF] и CF7 эквивалентны относительнор = 3. С другой стороны, легко убедиться, что

APV^CFJ 22,222.

Действительно, в этом случае

/>„ =-22,222; /0 = 0; /, =-22,222 ■ 0,5 =-11,111.

Так как

/, + 0, = -!!, 111 +100 = 88,889 > 0,

то

/, = 0

и

Р = Р + J + С = 66,667.

Іогда

J2 = 66,667 • 0,5 = 33,334

и, учитывая, что

У2 + С, = 33,333 100 = -66,667,

имеем

/2 = 0

и

Р2 = Р, + Уг + С3 = 66,667 66,667 0. (Заметим, что вычисления здесь проводились с точностью до тысячных долей.) Таким образом, для потока

*СР, = {{-22,222; 0)} + CF{

выполняется равенство

AFV/CFJ = О,

что и требовалось доказать.

С другой стороны, очевидно, что

APVJCF)^—^— = 30. 0V 2> 1 + 0,5-3

Таким образом,

APV0(CFt)*APV0(CF2) и, следовательно, потоки CP, и CF2 не эквивалентны относительнор = 0.

Итак, приходим к выводу, что в коммерческой модели постэквивалентность равносильна предэквивалентности, а в актуарной модели эти два вида эквивалентности различаются.

Из сказанного следует, что коммерческая и мультисчетная модели являются естественным образом «встроенными» в схему простых процентов. Все содержательно определяемые операции и отношения для этих моделей имеют простые формальные аналоги в рамках абстрактной схемы простых процентов. С другой стороны, актуарная модель, определенная в рамках схемы простых процентов, имеет ряд существенных черт, относящихся скорее к схеме сложных процентов. Так, выражение (6.39) для текущей стоимости ренты в актуарной модели в точности совпадает с выражением для стоимости ренты в схеме сложных процентов. Такая двойственность актуарной модели означает, что использование только тех средств схемы простых процентов, которые были описаны выше, недостаточно. Разработка же «адекватных» для этой модели средств неизбежно приведет к схеме сложных процентов. Поэтому мы вернемся к некоторым аспектам актуарной модели в главах, посвященных схеме сложных процентов.

На этом закончим изложение различных операций приведения потоков и связанных с ними эквивалентностей в стандартной схеме простых процентов.