7.4. непрерывные модели с переменным капиталом в схеме простых процентов

7.4. непрерывные модели с переменным капиталом в схеме простых процентов: Финансовая математика, Бочаров Павел Петрович, 2002 читать онлайн, скачать pdf, djvu, fb2 скачать на телефон Рассмотрены вопросы классической финансовой математики. Описаны математические модели финансовых операций, схемы этих моделей. Приведены две основные, чаше всего используемые на практике схемы простых и сложных процентов...

7.4. непрерывные модели с переменным капиталом в схеме простых процентов

Рассмотрим простейшие непрерывные бинарные модели, т.е. модели с разделенным основным и процентным счетом, для которых внешний поток платежей (довложений/изъятий) будет непрерывным (см. § 1.2). Такой поток платежей задается (кусочно) непрерывной плотностью }л(ї) . При этом величина V = VCf потока CF, представляющая собой аддитивную функцию промежутка, описывается интегралом

Г(/)=ф(г)ёг,

где /— произвольный промежуток временной шкалы.

Кроме непрерывного потока CF, задающего внешний поток, будем считать заданным финансовый закон роста, порождаемый непрерывной аддитивной функцией r(t, т) с (кусочно) непрерывной плотностью j(t). Таким образом,

т

r{t, r) = Jy(tt)dM

для любых Т> Л

Поскольку состояние бинарной модели определяется двумя фондовыми величинами — состояниями P{t) основного и I(t) = /(/0, I) процентного счета, то для нахождения состояния полного счета

S{t) = P(t) + /(О

необходимо найти закон изменения обоих составляющих (субсчетов). Будем считать, что начальное состояние задается условиями

№) = /> = £„; |/('о) = 0Поскольку модель непрерывная, то естественно ожидать, что ее динамика описывается дифференциальными уравнениями. Эти уравнения получаются простыми рассуждениями.

Пусть в момент / состояние счета известно и задается парой значений P(t), 1(f). Рассмотрим достаточно малый промежуток [?, t + Аг] (теоретически бесконечно малый: At ~ df). Состояние счета в момент t+ At, т.е. P(t + At), I(t+ At) определяется, во-первых, начисленными за текущий период [t, t + At] процентами

I(t + At) = P(t)r(i,t+Af) = P(t) j(u)6u (7.34)

и, во-вторых, внешним потоком CF. За период [f, / + At] в систему поступит (или уйдет из нее) сумма

V(t,t + At) = J n(u)du. (7.35)

Для малого At интегралы в (7.34) и (7.35) можно заменить их приближенными значениями

l{t,t + At) = P(t)j(t)At; V(t,t + M)~fi(t)At. (7-36)

Новое состояние I(t + At), V(t + Аг) зависит не только от текущих процентов /(/ + At) и внешней суммы V(t + At), но и от способа взаимодействия этих элементов с текущим (старым) состоянием P(t)y f(t). В гл. 4 рассмотрены две модели — коммерческая и актуарная, соответствующие двум способам такого взаимодействия, определяющего локальный переход от старого состояния к новому. Непрерывный аналог коммерческой модели получается очень легко, если вспомнить, что в ней внешний поток воздействует только на состояние основного счета, а процентный счет просто аккумулирует текущие проценты. Таким образом, для коммерческой модели локальный переход от старого состояния к новому описывается уравнениями

P(t + At) = P(t) + n(t)Af I{t + At) = l{t) + P(t)j(t)At. Эти уравнения можно переписать в виде

P(t + At)-P(t) =

At К '

и

I(t + At)-I(t)

At

= P(t)j(t). (7.38)

Переходя к пределу при At —» 0, мы получим систему линейных дифференциальных уравнений

Ql (7.39)

{ dt 1 JJy}

Система уравнений (7.39) легко решается. С учетом начальных условий получаем последовательно

P(t) = PQ+ц(т)йт;

( и

du.

'о '(Л 'О J

Учитывая, что

г t

r(t, т) = j(u)6u V(t0,t) = fi(u)6u

и меняя порядок интегрирования во втором интеграле, получим решение системы (7.39) в виде

P{t) = P, + V{tt,l);

/ ч Г , ч , ч <7-4°)

Следовательно,

= />(/) + /(/)=/> [l + г(/0, /)] + j,u(r)[ + г(т, 0]dr. (7.41)

'<»

Последнее равенство можно переписать в виде

5(/) = ^(/0,г) + {М(г)й(г,г)с1т, (7.42)

где

a(r,t) = +r(rj), />т

— коэффициент роста в общей схеме простых процентов.

Равенство (7.42) имеет вполне очевидную интерпретацию. Первое слагаемое есть будущая стоимость события (f0, Р), представляющего начальное состояние:

P,a{tqj) = FVt{t„P,). (7.43)

Второе слагаемое можно рассматривать как обобщение понятия будущего значения для непрерывных потоков:

)li{r)a{Tj)6r = FVt{CF,), (7.44)

где CF — начальный отрезок внешнего потока, т.е. непрерывного потока, порожденного плотностью, являющейся сужением плотности 14м) исходного потока на отрезок [ґ0, t. Если объединить начальное состояние (дискретный поток из одного события) и непрерывный поток CF , то получим смешанный поток, порождающий анализируемый счет

CF = {{t0,P0)} + CF. (7.45)

Тогда выражение для состояния счета можно представить окончательно в виде

S(t)=FV,(cF ). (7.46)

Пример 7.4. Найти состояние счета с переменным капиталом в коммерческой модели с начальным состоянием (г0, Р0), внешним потоком с постоянной плотностью п и постоянной процентной ставкой j.

Решение. Для постоянной процентной ставки коэффициент роста имеет вид

Подставляя выражение для коэффициента роста в (7.40), получим

P(i) = P0 + V{t0,t)=Pij+n{t~t{))

и

' і У

/(г)=М'„-0 + /М'-О^=М'и.0 + /іУ^:7^.

Формулу для состояния процентного счета можно переписать в виде

Таким образом, полное состояние счета в момент / равно сумме основной части, представляющей собой просто общую сумму средств, поступившую на счет, и процентной части, которая равна произведению «средней величины» состояния основного счета на процентную ставку за период [tCj, t].

Мы получили в общем виде выражение для состояния счета в коммерческой модели. Обобщение актуарной модели на непрерывный случай возможно, но существенно более сложно. Здесь мы не будем его рассматривать.

Приведенный выше анализ показывает, что в рамках общей схемы простых процентов можно обобщить понятия текущей стоимости для общих потоков, а не только для дискретных, как было сделано в предыдущем параграфе. Мы не будем приводить соответствующие определения и результаты. Заинтересованный читатель легко выполнит это самостоятельно.

Эту главу мы закончим небольшим параграфом, посвященным так называемым кратным кредитным сделкам или моделям с реинвестиро-

ванием капитала. Эти модели, по существу, выводят нас за рамки схемы простых процентов, и их развитие приводит к следующей важной теме — схеме сложных процентов, которой посвящена остальная часть книги.

Финансовая  математика

Финансовая математика

Обсуждение Финансовая математика

Комментарии, рецензии и отзывы

7.4. непрерывные модели с переменным капиталом в схеме простых процентов: Финансовая математика, Бочаров Павел Петрович, 2002 читать онлайн, скачать pdf, djvu, fb2 скачать на телефон Рассмотрены вопросы классической финансовой математики. Описаны математические модели финансовых операций, схемы этих моделей. Приведены две основные, чаше всего используемые на практике схемы простых и сложных процентов...