7.5. реинвестирование в схеме простых процентов

7.5. реинвестирование в схеме простых процентов: Финансовая математика, Бочаров Павел Петрович, 2002 читать онлайн, скачать pdf, djvu, fb2 скачать на телефон Рассмотрены вопросы классической финансовой математики. Описаны математические модели финансовых операций, схемы этих моделей. Приведены две основные, чаше всего используемые на практике схемы простых и сложных процентов...

7.5. реинвестирование в схеме простых процентов

Вернемся к постановке задачи для переменных ставок простых процентов, несколько видоизменив ее. Будем считать, что в первый критический момент tv т.е. когда нормированная ставка меняется с / на /2, заканчивается первая кредитная сделка. В результате получена наращенная сумма 5, . Эта сумма является начальной для «второй» сделки под простые проценты с нормированной ставкой /2, которая заканчивается в следующий критический момент /2, а наращенная к этому моменту сумма снова вкладывается под простые проценты с нормированной ставкой /3 и т.д. Последовательность кредитных сделок такого типа отражает процесс так называемого реинвестирования или капитализации процентов.

Покажем, что при инвестиции в момент t суммы S и при реинвестировании наращенных сумм в критические моменты гА., к — 1, 2,..., п 1, наращенная сумма на всем промежутке [tQi /J, определяется по следующей формуле:

=^ Л D+('»-'»-! К} <7-47>

Доказательство этой формулы проведем, используя снова метод математической индукции.

При п = 1 имеем схему простых процентов на промежутке [/0, t с процентной ставкойур а формула

получаемая из (7.47) для п = 1, совпадаете основной формулой простых процентов (3.2).

Предположим, что формула (7.47) справедлива для случая, когда рассматривается т промежутков, 1 < т < п, т.е. что наращенная сумма к моменту tm имеет вид

т

Докажем теперь, что формула (7.47) верна также и в случае, когда рассматривается т + 1 промежуток, и может использоваться для определения наращенной суммы S к моменту tm+l.

Согласно процессу реинвестирования в момент / сумма S, снова вкладывается под простые проценты с нормированной ставкой Z^, т.е. теперь сумма S. является начальной в новой кредитной сделке. Тогда по формуле (3.2) получаем

Подставляя в это равенство выражение (7.48) для 5, , получаем

т

m+i

^..-•ШСИ'»-'»-.)'»}

к=]

Таким образом, формула (7.47) доказана.

Пример 7.5. По договору на сумму ;^?3000 в течение четырех лет начисляются простые проценты но ставке 6\% годовых в первом полугодии, 7\% во втором полугодии. 10\% за второй год и 12\% за оставшиеся 2 года. При этом накопленные к концу очередного периода начисления суммы реинвестируются. Найти наращенную сумму к конпу срока сделки, процентную ставку за период сделки и нормированную годовую процентную ставку.

Решение. Пусть начальный момент сделки равен rQ. Накопленная по ставке i[ = 0,06 к моменту времени г() + 0,5 сумма вкладывается на следующие полгода по ставке /, = 0.07. затем накопленная к моменту t(i + 1 сумма вкладывается на год по ставке i3 ~0,1 и, наконец, сумма, накопленная к моменту г, + 2, вкладывается на 2 года по ставке /4 = 0,12. Тогда по (7.47) получаем

S,^4 = 3000(1 + 0,06.0,5)(1+0,07-0,5){1 +0.1-1)(1 + 0,12-2) = 4362.28(.#).

(Результат получен с точностью до копеек:)

Теперь по формуле (2.5) вычислим процентную ставку за период сделки

4362,28-3000

г = = 0.4541, или 45,41\%.

3000

Далее, по формуле (2.9) найдем нормированную годовую процентную ставку, соответствующую периоду сделки Т4 года:

0 4541

/ — __1—_ = 0 1135, или 11,35\%. 4

Вопросы и упражнения

Что такое кривая доходностей? Какой «типичный вид» имеет кривая доходи остей? Что такое плоская кривая доходностей?

В чем состоят динамический и структурный подходы к анализу изменчивости процентных ставок?

Опишите схему простых процентов с дискретной структурой процентных ставок. Какой вид имеют операторы будущей и текущей стоимостей события в этой схеме?

Выпишите рекуррентные формулы для определения состояния в дискретной коммерческой модели в схеме простых процентов с переменными ставками; в актуарной модели.

Опишите общую схему простых процентов. Определите оператор приведения финансовых событий и потоков в общей схеме простых процентов.

Опишите рсинвестиционную модель (модель кратных сделок) в схеме простых Процентов, Приведите выражение для накопленной стоимости для инвестированной суммы в этой модели.

Выпишите дифференциальное уравнение для состояний основного и процентного счетов в непрерывной коммерческой модели.

Задачи

Инвестор в начале года открывает в банке накопительный счет на сумму .#10 ООО. Начальная годовая ставка счета равна 20\%. В конце 2, 6 и 8-го годов инвестор вносит на счет соответственно ;4'500, .'-#1000 и :-#2000. Какая сумма будет на счете в конце 10-го года, если годовая ставка счета ежегодно снижалась на 2\% первые 5 лет, а затем ежегодно повышалась на 1\%.

Решить задачу 7.1 при условии ежегодного реинвестирования начисленных за год процентов.

Инвестор открывает в начале года счет с начальной суммой .-#10 000. В конце каждого нечетного года он снимает со счета .#500, а в конце каждого четного года вносит .#500. Годовая ставка меняется по закону = 8 + 2;, где t — номер года (/=1,2,...). Каково состояние счета в конце 10-го года: а) в коммерческой модели? б) в актуарной модели?

Накопительный счет в непрерывной коммерческой модели порождается непрерывным потоком с постоянной плотностью pt = 2. Пусть в момент t (в годовой шкале) годовая ставка счета_/'(/) = 0,2 — 0,1/. Найти состояние основного и процентного счетов в конце года (/ = 1).

Решить задачу 7.4 при условии, что порождающий поток имеет плотность /1(0= 1000(0,5 -/), Ь</<1,

Решить задачи 7.4 и 7,5 для актуарной модели.

Пусть временная структура ставок задана в годовой шкале соотношением

t1 -т1

г(/,т) = 5(г-/) —.

Найти приведенную к моменту / ~ 10 стоимость потока

CF= {(0, 100), (4, -100), (8, 100)}.

Финансовая  математика

Финансовая математика

Обсуждение Финансовая математика

Комментарии, рецензии и отзывы

7.5. реинвестирование в схеме простых процентов: Финансовая математика, Бочаров Павел Петрович, 2002 читать онлайн, скачать pdf, djvu, fb2 скачать на телефон Рассмотрены вопросы классической финансовой математики. Описаны математические модели финансовых операций, схемы этих моделей. Приведены две основные, чаше всего используемые на практике схемы простых и сложных процентов...