Глава 8. сложные проценты

Глава 8. сложные проценты

8Л. Формула сложных процентов для модели последовательных простых кредитных сделок

В конце предыдущей главы мы рассмотрели модель сложных кредитных сделок, представляющих собой последовательность простых кредитных сделок с реинвестированием, когда основная сумма долга очередной сделки совпадает с полной (накопленной) суммой предыдущей сделки. В этом случае инвестор, выдавший кредит в начальный момент t — 0 на сумму S, в конце серии из п последовательных периодов одинаковой продолжительности при условии постоянства процентной ставки (за кредит) на каждом периоде получит накопленную сумму

£я = 50(1 + і) (8.1) где / — ставка за период (каждой из очередной сделок).

Формула (8.1) — простейшая версия так называемой формулы сложных процентов. Она определяет сумму, получаемую кредитором в серии простых сделок при указанных ниже условиях:

одинаковой продолжительности составляющих простых сделок;

постоянства процентной ставки за период для всех составляющих простых сделок.

Вывод (8.1) предполагал реальное завершение одной сделки и реинвестирование полученной суммы (кредита и процентов) в новую кредитную сделку. Отметим, что в этой серии сделок кредитор, т.е. инвестор, представлен одним лицом, тогда как его должники, т.е. контрагенты сделок, могут быть разными лицами.

Итерация простой сделки связана с тем, что реальная кредитная сделка всегда срочная, т.е. имеет вполне определенный срок, после которого кредитор получает отданные взаймы деньги. Получив назад одолженные средства, кредитор снова может дать их в долг, начав тем самым новую сделку. Таким образом, перед инвестором, обладающим свободными средствами и размещающим их на срок меньший того, в течение которого средства остаются свободными, возникает проблема нового размещения капитала при возврате выданной ссуды. При этом каждый раз инвестор (кредитор) ищет наиболее эффективный способ размещения своего капитала. Это значит, что он желает при прочих равных условиях разместить средства по возможно большей ставке и на как можно более короткий срок.

В самом деле, допустим, что на рынке имеется минимально допустимый срок кредитной сделки. Будем считать этот срок базовым (единичным) периодом. Если / — ставка за этот минимальный период, то, имея свободные средства на срок/7 периодов, инвестору при прочих равных условиях выгоднее выдавать ссуду л раз на минимальный срок, чем размещать их на весь промежуток из п периодов. Это немедленно следует из неравенства

(1 + if > 1 + пі

для / > 0 и п > 0.

Поэтому, в частности, вкладчики банков будут стремиться размещать средства на возможно более короткие сроки с последующим размещением накопленных сумм в другом или в этом же банке, если банк не поощряет инвестора к вложению на более долгий срок (под простые проценты) с большей процентной ставкой. Но такое поощрение должно давать доход кредитору не ниже того, который он может получить за счет реинвестирования на последовательность минимальных сроков. Безусловно, инвесторы, придерживающиеся такой стратегии, принимают определенный риск, связанный с возможным падением процентных ставок, т.е. с обстоятельством, когда к концу очередной сделки ставка за минимальный период снизится.

Именно неопределенность будущих ставок позволяет банкам по-разному оценивать ставки за различные сроки сделок. Но на равновесном рынке в условиях полной определенности описанная выше тенденция к максимальному сокращению сроков сделок со стороны кредиторов будет безусловно преобладать. Поэтому банк, предполагающий одну и ту же простую нормированную ставку (для всех срочных вкладов), столкнется либо с потерей вкладчиков, либо вынужден будет переоформлять вклад каждого своего клиента по прошествии минимального срока. Такие операции предполагают дополнительные издержки, которые будут либо затратами банка, либо, будучи переложенными на клиента, приведут к снижению ставок. На конкурентном рынке это может привести к потере клиента.

Таким образом, возможность реинвестирования, а такая возможность всегда существует на свободном кредитном рынке, приводит к определенному «давлению» со стороны предложения свободных кредитных средств, выражающемуся в требовании дополнительной по сравнению со схемой простых процентов компенсации за предоставление кредитных ресурсов на сроки, превышающие типичные сроки простых сделок. Иными словами, долгосрочный кредитный рынок должен иметь схему накопления инвестиций, отличную от рассмотренных в предыдущих главах.

Напомним, что в модели накопительного вклада в схеме простых процентов рост инвестиции определялся линейным законом

где / — простая нормированная ставка. Из приведенных выше рассуждений следует, что для сроков существенно больших, чем срок типичной краткосрочной кредитной сделки, зависимость накопленной стоимости St должна иметь более быстрый рост. В частности, для срока, равного продолжительности п типичных краткосрочных периодов, при реинвестировании накопленной к концу каждого периода суммы накопленная к концу всего срока стоимость будет расти по показательному закону вида (8.1).

Наши рассуждения имеют неформальный характер, но они подводят нас к построению новой модели роста инвестиции на долгосрочном кредитном рынке, известной как модель или схема сложных процентов.