8.2. накопительная модель в схеме сложных процентов

8.2. накопительная модель в схеме сложных процентов

Выберем некоторый промежуток времени на временнбй шкале, который назовем периодом начисления, а процентную ставку за этот же период — ставной начисления. Примем сначала предположение о том, что базовый временнбй период (т.е. единица измерения временных промежутков) совпадает с периодом начисления.

Наша цель — построение простейшей накопительной модели, или модели накопительного счета, в схеме сложных процентов. Как и в аналогичной модели для простых процентов, нас будет интересовать состояние счета в произвольный момент времени. Однако в простей-тем случае состояния рассматриваются лишь в конце последовательных периодов начисления. При этом считаем, что для такой модели выполнены следующие предположения: Г. Начальная величина счета равна SQ.

2°. Проценты начисляются за каждый период начисления по заданной

ставке начисления і. 3°. Величина процентов за период начисления равна произведению

величины счета в начале периода на ставку начисления. 4е. В конце каждого периода начисления счет увеличивается на сумму

начисленных за этот период процентов (т.е. начисленные проценты

реинвестируются).

Как будет показано ниже, в этом случае модель накопительного счета в схеме сложных процентов будет описываться формулой

S=S0(+i)\% (8.2)

где п — число (целое!) периодов начисления; / — ставка начисления.

Эта простейшая формула совпадает с формулой (8.1), описывающей результат накопления в последовательности простых сделок, если период каждой сделки считать равным периоду начисления. Поэтому данную формулу легче интерпретировать как динамику накопления в постоянно возобновляемой одной и той же кредитной сделке между двумя лицами — кредитором и должником, например между вкладчиком и банком.

Прежде чем вывести формулу (8.2), рассмотрим простой пример. Пусть инвестор кладет в банк на год сумму /#500 под 8\% годовых. Это значит, что в конце года инвестор кроме вложенных денег получит добавочно проценты по вкладу, составляющие сумму

500-0,08 = 40(.^).

Следовательно, общая сумма вклада к концу 1-го года составит

500 + 40 = 540(^).

Реинвестирование вкладчиком этой суммы еще на один год под те же 8\% годовых даст ему в конце года проценты на сумму

5400,08 = 43,2(:^),

а полная сумма вклада станет

540 + 43,2 = 583,2(.-К>).

Заметим, что этот результат можно представить в виде суммы

583,2 = 500+80 + 3,2. Здесь ;^?500 — начальная сумма вклада; :^80 — проценты на эту сумму за два года; :#3,2 — проценты на .#40, инвестированных в конце 1-го года процентов за этот год.

Рассмотрим эту схему в общем случае. Для простоты считаем базовым периодом один год.

Пусть 5 — начальная сумма; / — годовая процентная ставка. Тогда за 1-й год проценты составят У! = SJ и величина счета увеличится до

S, = Su + j] = SQ + S„i = 50(1 + /). Проценты за 2-й год составят

а сумма вклада увеличится до . !

S2 = S] +J2 = S0 (1 +i) + S0 (1 +i)i = S{ (1 + /) = S0 (1 + /)2.

Для любого года можно получить аналогичные соотношения. Так, если величина вклада в конце к-го года равна Sk, то проценты за (к + 1)-й год

A+i = *V. (8-3)

а сумма вклада в конце (к + 1)-го года станет

Sk+]=Sk+jk+]^Sk( + i). (8.4)

Таким образом, за каждый год величина вклада увеличивается в (1 + 0 раз. Следовательно, начальный вклад S к концу /2-го года

s„ = s0 (и;)".

Величина Sn называется накопленным или будущим значением исходной суммы S. Множитель

годовой коэффициент (множитель) роста, а множитель

(1+0" = а"

коэффициент (множитель) роста за п лет по сложным процентам.

Различие между простыми и сложными процентами в модели накопительного счета состоит в том, что в первом случае проценты на исходный капитал не присоединяются к нему на каждом периоде начисления, во втором — присоединяются, т.е. инвестируются снова или, как говорят, реинвестируются на тех же условиях, что и основной капитал.

Уравнения

\% (8-5)

полученные выше, вместе с начальными условиями полностью описывают динамику накопления в схеме сложных процентов.

Важно различать величину/ процентов за п-й год и проценты /[0, п за п лет. Формально последняя величина определяется как прирост начальной суммы вклада за п лет:

К = I[0, я] = S. S, = S„ (1 + /)" 50 = S, [(1 + /)" -1]. (8.6)

Более общим образом можно определить проценты за любой период

[Ml: г п

I[ktn] = Sn-Sk, (8.7)

т.е. как прирост суммы вклада за этот период.

П р и м е р 8.1. Начальная сумма вклада составляет .#300, а ставка начисления за год 5\%. Найти:

а) накопленную сумму и проценты за первые 3 года;

б) проценты за третий год;

в) накопленную сумму за 6 лет;

г) проценты за последние 3 года.

Решение.

а) Накопленная сумма за 3 года, согласно формуле (8.2),

5,=300-(1,05)3=347,29(:-#),

а проценты за тот же период

/. = S, Sa = 347,29 300 = 47,29(..

б) По формулам (8.2) и (8.7) определяем проценты за 3-й год:

У, = S, S2 = 300Г(Ю5)3 (1,05)' 1 -16,54(,*').

в) По формуле (8.2) находим теперь накопленную сумму за 6 лет:

Sb = 300-(i,05)6 = 402,03 (.#). в) Наконец, по формуле (8.7) найдем проценты за последние 3 года:

/[3,6] = S(i S, = 402,03 347,29= 54,74 (.Я).

В проведенном анализе считалось, что период начисления совпадает с базовым периодом временной шкалы. Этого всегда можно добиться, выбрав единичный период шкалы, равный периоду начисления. Однако на практике их несовпадение встречается достаточно часто. Обобщим теперь описанную выше модель на случай, когда период начисления не обязательно совпадает с единичным промежутком шкалы.

Выберем временную шкалу с базовым (единичным) временным периодом е, а также произвольный период h, который назовем периодом начисления. Его длину относительно выбранного базового периода обозначим через И:

h = h:e.

Свяжем с выбранным периодом начисления некоторую процентную ставку, которую назовем ставкой за период начисления или просто ставкой начисления. Формально ставка начисления описывается в данной временной шкале парой

і-(Л,0.

Первая компонента есть длина периода начисления (относительно выбранной временнбй шкалы); Вторая — числовое значение ставки. Заметим, что величину И часто называют просто периодом начисления. В дальнейшем также для краткости будем использовать этот термин для h. Так, для годовой шкалы ставка

. ( ..л

і 2,10\%

означает ] 0\%-ную полугодовую ставку.

В том случае, когда период начисления h совпадает с базовым периодом временнбй шкалы е, т.е. h = 1, ставка начисления называется нормированной.

Чтобы не загромождать изложение, снабдим обозначение / ставки начисления индексом /г, указывающим период начисления, к которому она относится, т.е. будем использовать обозначение ih для числового значения ставки начисления.

Для нормированных ставок, т.е. при h = 1, соответствующее обозначение ставки начисления будет / Однако в этом случае, как правило, опускают индекс в обозначении ставки и пишут просто /.

Рассмотрим динамику вклада с начальным состоянием (t0,St^, периодом начисления h и ставкой начисления /А. Считая выполненными условия, аналогичные условиям Г — 4°, при которых была выведена формула (8.2), согласно логике итерационного инвестирования, получим, что состояние вклада в момент

t =t+nh,

п 0 '

являющийся концом /1-го периода начисления, задается выражением

5,,= 6; (1 + /„)" (8.8)

или,поскольку

ТО

5,, = ^1 + 0^(8.9)

Формула (8.8), по существу, тождественна формуле (8.2). Различие состоит лишь в том, что в (8.2) единица измерения временных промежутков совпадает с периодом начисления. Иными словами, временные промежутки в (8.2) выражаются в терминах периода начисления, а в (8.8) — в терминах единичного промежутка временной шкалы.

Для нормированных ставок начисления (Л= 1) формулы (8.8) и (8.9) превращаются, естественно, в (8.2).

Важно понимать, что формулы (8.8) и (8.9) определены лишь для моментов времени t = /0 + nh, п є N, образующих арифметическую прогрессию.

Содержательно эти точки представляют собой концы последовательных периодов начислений (относительно начальной точки /0). Назовем эти точки (моменты) кратными. Им соответствуют периоды длины

или в общем случае длины

T^k=tn-tk={n-k)h, k<n> MeN,

кратные периоду начисления. Таким образом,

Slr=SlлtTl=Sln( + ih)T^"^. (8.10)

Выбирая начальный момент инвестирования /0 совпадающим с начальным моментом временной шкалы, т.е. го = 0 и tn = Г, получим упрощенные выражения

s,h = s0(i + (S.8')

St=S0(l + ih)'"/h. (8.9')

Постоянство ставки начисления позволяет ввести коэффициент (множитель) роста за период начисления:

a=+ih. (8.11)

С помощью коэффициента роста динамика накопления описывается равенствами

19-5169

Slt=Sta: (8.12)

или

Ste=Stah* . (8.13)

Выше для накопительной модели с годовой временной шкалой мы определили понятие процентов за год и за п лет. Аналогичные определения имеют место и в общем случае, когда единица временной шкалы и период начисления не совпадают Величина

Л=54-5/м, *>1, (8.14)

называется процентами за к-й период начисления. Ясно, что

/,=^,(1 + 4)-^^=^/, (8.15)

Более общим образом можно определить проценты за любой кратный период [tk, /J, k < п:

/[ЪЛ]»^-^. (8.16)

Отсюда с учетом (8.8'), (8.11) и (8.12) следует, что

\%.'.]=(о+'* г* -l)=s" (аг* -1) • (8-17)

Исходя из равенств (8.14) и (8.15), легко показать, что проценты за любой кратный период являются суммой процентов за последовательные периоды начисления, составляющие этот период:

m=k+l

Пример 8.2. Начальная величина вклада составляет .#200. Период начисления 1 мес. Найти накопленную сумму и проценты за 5 лет и 3 мес, если месячная ставка начисления по вкладу 3\%.

Решение, Срок в месяцах составляет п = 63. Следовательно,

563 200(1 + 0,03)" 14 267,59( .-#), а проценты за этот период составят

/[0, 63] = SM S„ = 14276,59 200 = 14 067,59< .-#).