8.3. расширение модели накопительного счета

8.3. расширение модели накопительного счета

Формулы (8.2) — (8.18) определены для кратных точек Тп = /0 + nh . Учитывая этот факт, описанную в предыдущем параграфе модель

назовем дискретной. Выбрав ґ = 0 и / = nh, можно записать динамику накопительного счета в дискретной модели в виде

(8.19)

График функции St при этих условиях изображается дискретной последовательностью точек, соответствующих моментам t — kh (рис. 8.1).

s

5г„

<2

Рис. 8.1

Вопрос о состоянии счета в промежутках между моментами начисления kh (т.е. моментами, когда счет меняет свое состояние) в рамках такой модели является некорректным. На практике вкладчик может закрыть счет в любой момент времени, так что банк тем или иным способом должен определить возвращаемую сумму вклада.

Формально проблема состоит в доопределении функции St для моментов времени не кратных периоду начисления. С математической точки зрения имеется бесчисленное множество способов доопределения iS", однако на практике используются в основном три способа.

Первый способ состоит в том, что изменение состояния счета происходит только в моменты начисления. Иными словами, проценты в промежутках между ними не накапливаются, что выражается равенством

kh<t<(k + )h,

т.е. St является непрерывной справа кусочно-постоянной функцией. Динамика изменения счета, т.е. график функции St , показан на рис. 8.2.

Используя понятие целой части числа, можно записать Уравнение динамики этой модели для любых t формулой

S,=S0(1+,;)'"'!, ,>0, (8.20)

где [х — целая часть числа х.

s3i

s2i

So

Рис. 8.2

Модель накопления в схеме сложных процентов, описываемую равенством (8.20), назовем кусочно-постоянной или с начислением по полным периодам.

Второй способ состоит в анатитическом продолжении формулы (8.20) на произвольные значения t. Получаемая модель называется непрерывной моделью накопительного счета в схеме сложных процентов.

Геометрически непрерывная модель накопления изображается графиком непрерывной функции (рис. 8.3).

St=S0(l+ihft (8-21)

S

s3x

S2 •Рис. 8.3

kh'

Третий способ состоит в комбинировании схем простых и сложных процентов. Поэтому соответствующую модель называют смешанной. В ней накопление процентов внутри периода начисления происходит по схеме простых процентов. В конце такого пе-* риода накопленная сумма процентов присоединяется к основному счету (счету накопления). С формальной точки зрения это правило приводит к кусочно-линейной функции Sf, получающейся линейной интерполяцией дискретных значений S Динамика счета в смешанной модели описывается равенством

f>0.

(8.22)

)

Здесь [х] — целая, {х} — дробная части числах. При этом

х=[х] + {х}.

Геометрически S изображается кусочно-линейной кривой на плоскости время деньги (рис. 8.4).

Поскольку ах — выпуклая функция, то для всех трех моделей имеют место соотношения

s*-° < s;np < .

Таким образом, в пределах периода начисления наиболее быстрый рост обеспечивает смешанная модель. Естественно, что в точках на

s3_L

s2..

Si'1

Рис. 8.4

числения, т.е. в точках вида kh, где Л — период начисления, все три модели дают одинаковые значения. Хотя на практике используются все указанные модели, с чисто математической точки зрения наиболее простой и естественной является непрерывная модель. Она часто применяется на практике, особенно в схемах финансовых расчетов для сделок с различными финансовыми инструментами. Поэтому в дальнейшем именно непрерывная модель будет играть роль базовой модели накопительного вклада в схеме сложных процентов.

Пример 8.3. Пусть начальный вклад составляет >?1000, ставка начисления за год 8\%. Найти накопленную сумму вклада за 2 года и 3 мес. с использованием следующих схем начисления: а) по полным периодам (кусочно-постоянная); б) непрерывной; в) смешанной.

Решение. Выбирая шкалу с годовым базовым промежутком, получим

/ = 2-^ = 2,25, и = [г]=2, (4-0.25.

Следовательно, для рассмотренных схем имеем: а) для кусочно-постоянной

б) непрерывной

в) смешанной

5';;, = 1000(1 +0,08 )J = 1166,4 (:#?); = 1000(1+0,08)"" = П89,06(.'Я); 5;; = 1000(1 + 0,08)' (1 + 0,080,25)= 1166,4-1,02 = 1189,73(.»).