8.8. будущая и текущая стоимости денежных сумм в схеме сложных процентов

8.8. будущая и текущая стоимости денежных сумм в схеме сложных процентов

Изменение со временем состояния накопительного счета в непрерывной модели сложных процентов, описываемое выражением

где ih — ставка начисления за период Л; = Щ — соответствующая эффективная нормированная ставка, представляет собой финансовый процесс в смысле, определенном в § 1.4. Этот процесс однозначно определяется начальным состоянием (/, St) и внутренним параметром — одной из процентных ставок (начисления, номинальной или эффективной). Выбор вида ставки, по существу, безразличен, так как каждая из ставок однозначно определяет другую.

Для упрощения будем использовать в основном (эффективную) нормированную ставку, которую обозначим символом /. Тогда, применив обозначения § 1.4, можно записать уравнение для инвестиционного процесса, соответствующего непрерывной модели накопительного счета, в виде

Sr=S(t;tQ,Sfo) = S[a( + i)'/>/0. (8.100)

Мы уже говорили, что такой процесс задает преобразование финансовых событий или (датированных) денежных сумм. Так, начальное событие (t, St) преобразуется (переносится вдоль траектории процесса) в событие (/, S). При этом сумма S называется будущим или накопленным (к моменту /) значением суммы 5, . В операторной форме (8.100) записывается в виде

S^FK^S.^S^ + i)'-" (8.101)

или даже просто

$=/ф„) = 5;/ (8.102)

где а = 1 + / — нормированный (эффективный) коэффициент роста. Строго говоря, оператор /У преобразует, конечно, не суммы, а события:

FV

{t„Sta)4(ttSt)t

но на практике, как уже неоднократно отмечалось, обычно говорят о суммах.

Нахождение будущих (накопленных) сумм связано с движением вперед вдоль временной шкалы от прошлого к будущему. Однако часто приходится решать в некотором смысле обратную задачу, например об определении требуемого размера инвестиций. Иными словами, имея целевое значение будущих накоплений, необходимо узнать, каков должен быть объем начальных инвестиций S, , чтобы при заданной (например, эффективной нормированной) ставке / их будущее значение к моменту t в точности совпало с требуемым значением S. В некотором смысле мы уже решали обратную задачу подобного типа (см. гл. 2) при анализе кредитной сделки, а также (см. гл. 3) для схемы простых процентов.

Как мы помним, искомое значение S, называется приведенным или дисконтированным значением суммы Sr Этот факт записывается в виде

S,o=PK0M), t0<t. (8.103)

Сумму St называют также текущим (сегодняшним, настоящим) значением суммы S.

Как уже отмечалось ранее, обозначение PVt используется в современной финансовой литературе для приведения событий не только к прошлым (по отношению к ним), но и любым, в том числе, и будущим, моментам. Поэтому в тех случаях, когда требуется подчеркнуть тот факт, что речь идет именно о дисконтировании, употребляют также обозначение DV . В этом параграфе будем использовать для оператора текущего (дисконтного) значения символ PV, в следующем, посвященном формальному описанию схемы сложных процентов, — обозначение DV.

Поскольку равенство

равносильно по определению равенству

то нахождение St сводится к решению последнего уравнения относительно S, .

Рассмотрим пример. Допустим, что вы желаете накопить вполне определенную сумму за несколько лет. Пусть речь идет о сумме .#1000 и 5 годах. Банк, которому вы вполне доверяете, принимает срочные вклады с ежегодными начислениями процентов по ставке 8\% в год. Не желая откладывать больше денег, чем это необходимо для поставленной цели, вы хотите знать, какую сумму вам необходимо положить в банк, чтобы осуществить вашу цель. Обозначив через S искомую сумму, получим для нее уравнение

50(1+0,08)3 = 1000,

откуда

юоо jopo, и

' (l + 0,08)s 1,4693 1 '

Рассмотрим теперь вопрос о нахождении текущего значения в общем виде. Пусть St — известное или требуемое состояние счета в некоторый будущий момент времени. Из (8.101), принимая во внимание (8.100), имеем, что

PVt(S,) = S'tt. (8.104) Л } (1 + /р

В упрощенной форме, если нет неоднозначности толкования, равенство (8.104) будем записывать в виде

S, - Sft!. (8.105) 0 (1 + /р

Формулу (8.105) можно переписать в виде

PVh{St) = Sta=Stv'(8.106)

где

1

V—1+;

— нормированный дисконтный множитель, соответствующий нормированной ставке /. Если вместо нормированной ставки задана ставка начисления или номинальная ставка, то для использования выражений (8.101), (8.106) необходимо сначала перейти от этих ставок к соответствующей эффективной ставке. Естественно можно переписать формулы для будущей и текущей стоимостей непосредственно в терминах заданных ставок, если подставить в (8.101), (8.106) вместо нормированной (эффективной) ставки / ее выражение через заданные ставки. Мы не будем выписывать соответствующие формулы. Читатель может легко сделать это самостоятельно.

Приведенные выше формулы (8.101), (8.102) для оператора будущей стоимости FVt и (8.105), (8.106) для оператора текущей стоимости PVt выражены в терминах процентных ставок. Однако их можно выразить и в терминах учетных ставок. Для этого достаточно в (8.101), (8.106) выразить нормированные коэффициенты роста и дисконтирования через учетные ставки:

v = -d; а--v 1-d

Здесь d— нормированная (эффективная) учетная ставка. Тогда получим

S

FVis, ) = 5/flWo= ^тЛ ><>! 'о (i_</p' (8.107)

PV,a{S,) = S,v'->=Sjl-dp, (8.108) где нормированные коэффициенты дисконтирования v и роста я выражены через нормированную учетную ставку d.

Если же задана учетная ставка за период или номинальная учетная ставка, то можно либо вычислить сначала соответствующую эффективную учетную ставку и затем, применив (8.107), (8.108), либо подставить в эти формулы выражения для эффективной учетной ставки через исходные ставки и, получив соответствующее выражение, применять его непосредственно к исходным данным.

Таким образом, нахождение будущих значений связано с движением вперед по временнбй шкале, а настоящих значений — с движением назад.

Пример 8.20. Пусть банк платит 12\% годовых (эффективно) по сложным процентам. Какую сумму нужно положить в банк, чтобы накопить .#1000: а) за 2 года; б) за 2,5 года при непрерывной схеме начисления?

Решение. Считаем, что ta = 0. Кроме того, из условия примера следует, что h — 1 год.

а) В этом случае t— 2 и, следовательно, имеем

S0 = 1000 .=797Л9р?). (]+0,12)а 1

б) Здесь Г = 2,5, поэтому получаем

753.28W.

(1 + 0,12)

П р и м е р 8.21, Банк начисляет проценты по учетной ставке 10\% годовых раз в 6 мес. Вкладчик за 10 лет накопил ;#10 000. Какую сумму вложил вкладчик, если ни новых вложений, ни изъятий со счета за 10 лет не производилось?

Решение. Считая f0 = 0, для годовой шкалы будем иметь

m = 2, da)=