8.10. переменные процентные ставки

8.10. переменные процентные ставки

Основной чертой рассмотренных выше моделей было условие постоянства процентной ставки. Более точно, процентная ставка считалась независимой от времени. Так, для накопительного вклада предполагалось, что банк начисляет проценты за каждый период, например за первый, второй и последующие годы, по одной и той же ставке.

На практике такое редко встречается. Постоянство ставок может иметь место лишь в небольших временных диапазонах. В случае изменения темпов инфляции банковские процентные ставки также изменяются. Поэтому финансовые модели должны учитывать возможность изменения процентных ставок.

Возможны два подхода для учета изменения процентных ставок, которые можно условно назвать дискретным и непрерывным. При первом подходе рассматриваемый временной диапазон разбивается на конечное число промежутков, на каждом из которых процентная ставка считается постоянной.

При втором подходе процентные ставки могут изменяться непрерывно, так что у них, собственно, может не быть никаких промежутков постоянства. Ниже мы увидим, что второй подход в некотором смысле более общий и содержит в себе первый. Естественно, с математической точки зрения оба подхода различаются по сложности. В первом случае результаты, полученные для постоянных ставок, почти тривиальным образом обобщаются, во втором (непрерывном) случае приходится привлекать инструменты математического анализа. Правда, нам потребуются лишь самые первоначальные сведения о производных и интеграле, практически не выходящие за рамки даже школьного курса математики. Второму подходу, в силу его большей общности, будет полностью посвящена отдельная глава. Здесь подробно остановимся на дискретном подходе для переменных процентных ставок. Начнем изложение с простого примера.

Пример 8.22. Пусть банк выплачивал проценты по накопительным вкладам в размере 10\% годовых в течение 1-го года, 15\% годовых — в течение 2-го и 8\% годовых — в течение 3-го года. Все ставки — фактические. Если вкладчик имел на счете в начале 1-го года .??500, то каков размер вклада в конце каждого года?

Решение. В конце 1 -го года вклад

С, = 500(1 + 0,1) = 550(J?).

В конце 2-го года

С2 = 550(1 + 0,15) = 632,5(.#).

В конце 3-го года получаем

С3 = 632,5(1 + 0,08) = 683,1(.#).

Принцип решения задач такого рода вполне очевиден, поэтому перейдем к изложению общей схемы для дискретного случая.

Пусть [а, Ь с Т — произвольный диапазон из временнбй шкалы Т. Далее указана последовательность моментов /А из диапазона

которая разбивает промежуток [а, Ь) на промежутки [tk_]ytk],k ~ 1, 2,..., п, длины hk — tk — tk так что исходный диапазон представляется в виде объединения

Концы полученных промежутков разбиения, т.е. точки деления, назовем критическими точками (моментами). Пусть для каждого промежутка [tk_v tk] задана нормированная (т.е. относящаяся к выбранной единице времени) эффективная процентная ik или эквивалентная ей эффективная учетная dk ставка, действующая на этом промежутке. Подразумевается, что все полученные в предыдущих параграфах формулы без всяких изменений можно использовать в пределах данного промежутка, т.е. для любых двух моментов времени т,, т, из этого промежутка, tkX < г(, t2<tk справедлива любая из формул

где

1-4 1+'*

В частности, текущее значение любой суммы внутри промежутка определено, если известно одно из критических значений, Ск_^ или Ск, относящихся к концам этого промежутка. Так', для любого гтакого, что t <t<t имеем

С,=Ск_ха[:'^ (8.114)

или

С,=С>Г. (8.115)

Кроме того, сами критические значения, очевидно, связаны соотношениями

Ск=Ск_,а^=Сі_1(і+ік)1"

И

ck_,=ckv:>=ck(i-<tk)h>.

Из сказанного видно, что такая схема сложных процентов с переменными ставками позволяет однозначно определить значение суммы в любой момент времени, если было известно ее значение в какой-либо другой момент времени. Так, если С0 — начальное значение, то последовательность критических значений Ск определится выражением

Q=c0(i+0''(i+'2)",-('+4)4';

С, = С, (1-rf,Г (l-rf2)''-•(!-</*)'' (8.116)

или в сокращенной форме

с*=соП(1+'у)*';

Со=С,П(1-4)*'. (8.П7)

•. У=І

В частности, если промежутки [tk_v tk] единичные, т.е. равны базовому промежутку шкалы, например году, то h = 1, а формулы (8.116) приводятся к виду

с, =с0(щ)(і+/2 )■•■(!+'*); ^ = сДі-4)(і-4)--М.)

или

Ca=Ctf\{l-d,).

Именно этот случай и был представлен в разобранном выше примере. Приведенные выше формулы допускают обобщение, связывающее любые два критических значения Ск и С'

С, = С» (1+/4+1 )*'*' (1+1Ы )"*•• -(1+/,)''. к<1. (8.118)

В частности, для единичных (годовых) промежутков

с,=сД1+0(1+/м)---М).

Теперь, используя формулы (8.114) и (8.115), дающие связь между внутренними и критическими значениями, можем получить выражение для связи между значениями С и С для любых двух моментов времени из исходного диапазона. Для этого по значению С, где Л . <s<

сначала находится

ск=с,а'Г; ot = l+it.

Затем по Ск, согласно (8.118), определяется Сг где / удовлетворяет условию / 1 < t < /, и, наконец, по формуле (8.115) находится

Замечание. Говоря о значениях накопленных или текущих сумм для внутренних по отношению к промежуткам [гк_р tk] моментов времени, согласно принятому в § S.3 соглашению применяем непрерывную модель начисления по сложным процентам.

Пример S.23. При условиях из предыдущего примера найти величину вклада: а) через 15 мес; б) 34 мес. Решение.

а) Если / = /мсс = 15 мес, то в годовой шкале имеем, что

, 3 1 1<г<2, г-1 = — =-12 4

года и последовательно находим

С1=500(1+0,1) = 550(.^);

С,=С,(1+0Л5)*=569,5б(.-#).

б) Если s = = 34 мес, то в годовой шкале

^= 34 =25 = 5

12 6' 5 6

года, следовательно,

Cs = С2(1 + 0,08): =674,4(.#}.

В рассмотренной выше модели значения сумм С( зависят от времени tнепрерывно, тогда как процентные ставки меняются скачками в критические моменты /

Вопросы и упражнения

Дайте определение основных видов процентных ставок, связанных с накопитель-. Ной моделью в схеме сложных процентов.

Выпишите уравнение динамики накопительного счета в непрерывной модели с использованием ставок: а) начисления; б) номинальной с /я-кратным начислением; в) номинальной с непрерывным начислением; г) эффективной.

Выпишите соотношения, связывающие между собой эквивалентные пары ставок различных видов.

Выпишите уравнение динамики для смешанной накопительной модели с использованием номинальной ставки с m-кратным начислением.

5. Выпишите явные выражения для операторов будущей и текущей стоимостей

финансовых событий в схеме сложных процентов.

Дайте определение эквивалентности событий в схеме сложных процентов. Покажите, что относительная эквивалентность в этой схеме не зависит от выбора полюса.

Опишите стандартную схему сложных процентов. Перечислите свойства, которыми обладают финансовые законы в этой схеме.

8. Дайте определения номинальной и эффективной ставок для простой кредитной сделки. Как связаны между собой эти ставки?

Задачи

Вкладчик вносит в банк .#1000. Банк платит проценты по ставке 5\% в месяц. Какова будет сумма вклада через 2 года?

Начальная сумма вклада равна $500. Процентная ставка банка составляет 20\% годовых. Найти проценты, начисленные банком: а) за 3 года с момента открытия вклада; б) за 3-й год.

Какую сумму следует положить в банк, чтобы за 5 лет накопить .#20 000, если годовая ставка банка составляет 10\%?

За какой срок при ставке 24\% с ежемесячным начислением сумма вклада увеличится: а) в 2 раза? б) в 3 раза? в) в 10 раз?

За 5 лет сумма вклада увеличилась в 3 раза. Какова номинальная годовая ставка банка, если проценты начисляются: а) раз в квартал? б) ежедневно? в) непрерывно?

Два векселя с одинаковым номиналом и сроками погашения 6 и 9 мес. имеют цены, отличающиеся друг от друга на 10\%. Какова номинальная и эффективная доходности к погашению этих векселей на равновесном рынке?