10.1. дискретная накопительная модель в схеме сложных процентов

10.1. дискретная накопительная модель в схеме сложных процентов

В гл. 4 для простых процентов были рассмотрены некоторые модели, учитывающие поступления и изъятия средств. Этот параграф посвящен изучению аналогичных моделей для сложных процентов.

Пример ЮЛ. Пусть вкладчик открывает в банке счет (например, текущий), для которого возможны как пополнения, т.е. новые поступления, так и снятие сумм со счета. В этом случае возникает понятие остатка (остаточного баланса) счета, т.е. коли-чсства денег, имеющегося в данный момент на счете. Остаток (или сальдо) счета — это его финансовое состояние. Состояние в данный момент времени t обозначим Sir). Условимся также, что на остаток счета ежегодно начисляются проценты по ставке.

например 10\% годовых. Наконец, 4qq г qq 200

пусть история нашего счета описы- | ^ | |

вается событиями, изображенными

нарис. 10.1. 0 1 2 3 4

Иными словами, в момент t = 0 рис ^ ]

инвестор открывает счет с начальной суммой .#400, через год снимает со счета .^100, а спустя 3 года вносит дополнительно ./?200. При таких условиях найдем состояния счета в моменты t = 1, 2, 3 и 4.

Решить эту задачу можем последовательно, прослеживая развитие счета с нулевого момента. Так, в момент времени / = 1, т.е. в конце 1-го года на начальную сумму счета будут начислены проценты за год в размере

4000,1 = 40(:#)

и счет станет равным

400 + 40 = 440(У/(\%

Затем следует вычесть сумму, снятую вкладчиком, т.е. остаток счета на момент / = 1 станет

S{ = 440 100 = 340(3?). С моментом т = 2 все ясно, поскольку S есть просто накопленное за год значение S

Далее очевидно,что или

И наконец,

S2 = 340(1 + 0,1) = 374(.#).

5, = 5"2(1 + 0,1) + 200 5з -414,4 + 200 = 614, 4(.'#).

S4 = 614,4(1 + 0,1) = 672,54(.#). В наших рассуждениях есть одно довольно тонкое место, относящееся к понятию значения счета в данный момент времени. Оно связано с тем, что, например, в момент /= 1 приходится выполнять одновременно две операции: начисление процентов и снятие суммы со счета. Поскольку по соглашению начисление происходит на остаток счета, то, строго говоря, следовало бы договориться о том, что понимать под остатком в момент г = 1, когда происходит снятие суммы со счета, т.е. какая операция выполняется сначала: начисление процентов, а потом снятие суммы или наоборот. В любом случае к моменту / = 1 относятся две суммы: полученная после начисления и после изъятия. Например, если, как это подразумевалось в наших вычислениях, сначала происходит начисление процентов, а потом изъятие, то возникают две суммы: ^?440 и .#340, при обратном порядке — .^300 и .^330. Поэтому возникает «неопределенность: каково собственно настоящее значение остатка в данный момент времени. Вопрос этот не имеет смысла без указания правила вычисления остатка для любого момента времени.

Аналогичные вопросы возникали и при изложении моделей с переменным капиталом для простых процентов. Там уточнение операции довложения и изъятия осуществлялось за счет разделения полного счета либо на систему субсчетов (модель мультисчета), либо на два счета (бинарная модель). Это разделение было связанно с тем, что в схеме простых процентов начисление процентов осуществляется Только на основной капитал, а проценты на проценты не начисляются.

Это приводит к необходимости введения двух отдельных счетов — счета капиталов и счета процентов.

В схеме сложных процентов в таком разделении нет необходимости, поскольку по самому смыслу сложные проценты означают начисление и на накопленные проценты, так что, по существу, имеется всего один полный счет, к которому постоянно присоединяются накопленные проценты (либо в конце периодов начисления, либо непрерывно в зависимости от модели). При этом, как отмечалось в гл. 1, мы в нашем изложении придерживаемся концепции завершенного состояния, т.е. под состоянием счета всегда понимается окончательный результат всех действий над счетом, относящихся к моменту определения его состояния.

Хотя выше говорилось о традиционном понимании накопительного счета, в соответствии с которым вкладчик (инвестор) открывает счет с некоторой положительной суммой, а последующие платежи в зависимости от знака являются либо довложением (поступлением) капитала, либо его изъятием, возможна и двойственная трактовка счета, с точки зрения должника, когда счет интерпретируется как ссудный, начальное состояние — как выдача ссуды, а остальные платежи в зависимости от знака — либо как погасительные платежи, либо как дополнительные кредиты. Строго говоря, такая строгая интерпретация счета как накопительного или ссудного возможна лишь при конкретном ограничении. Так, в накопительном счете изъятия не должны приводить к отрицательному (дебетовому) сальдо, а в ссудном счете погашения к положительному (кредитовому) сальдо, поскольку тогда смысл счета меняется на противоположный, т.е. в первом случае накопительный счет переходит в ссудный, а во втором — наоборот, ссудный переходит в накопительный.

Допущение таких переходов «размывает» границу между счетами различных типов. В этих случаях стороны, связанные со счетом, попеременно являются кредиторами и дебиторами. Конечно, никаких формальных трудностей в анализе динамики таких счетов нет, за исключением того, что на практике смена знака счета обычно приводит к изменению ставки, поскольку дебетовая и кредитная ставки обычно различаются. Так, ставка по депозитам, которую банк платит вкладчику, обычно меньше, чем ставка по ссуде, которую банк взимает за временный овердрафт, т.е. за снятие сумм, превышающих остаток счета.

С этой ситуацией мы сталкивались при изучении счетов с переменным капиталом в схеме простых процентов (см. гл. 4). Там мы ограничились так называемым симметричным случаем, для которого упомянутые ставки совпадают. Изучение счетов с переменным капиталом для сложных процентов также ограничим анализом симметричного случая.

Прежде чем переходить к непосредственному описанию дискретной накопительной модели с переменным капиталом, напомним основные понятия и обозначения, связанные с определением дискретного финансового потока в его общей форме (см. гл. 1).

В традиционном определении финансового потока как последовательности финансовых событий

С/= {(/1,С1),(^,С2),...,(гя,С(1)} (ЮЛ)

рассматриваются лишь моменты времени, относящиеся к событиям, составляющим поток. В некоторых случаях события с нулевой суммой, т.е. события вида (/., 0) можно считать несущественными и свободно присоединять их к потоку или, наоборот, удалять из него, не меняя, по существу, самого потока. Так поступают, например, при анализе различного типа «входных» и «выходных» потоков, относящихся к некоторому фонду. В частности, для рассмотренного выше примера вклада в банке поток поступлений/изъятий обладает указанным свойством, т.е. отсутствие поступления или изъятия можно интерпретировать как нулевое событие.

Сделанное выше соглашение позволяет каждый (дискретный) поток считать определенным для любого момента времени ї из временной шкалы Т (см. § 1.2). Это значит, что поток можно представить в виде (платежной) функции времени С(/), где C{t) — сумма, соответствующая моменту t. При этом почти для всех значений t C{i) = 0.

Более точно для потока заданных как последовательность событий (10.1) соответствующая функция C(t), представляющая поток, задается соотношениями

c(t)=Ck При'=^;

U |0 приг^ґ,.

Тогда поток CF описывается функцией C(t) времени г, определенной для всех моментов /:

CF = {C{t) ГєТ, С(ґ)єМ}. В дальнейшем для краткости используем упрощенную запись потока

CF = {C(t), tzT}.

Поскольку почти для всех моментов t суммы C{t) нулевые, то моменты /, для которых C(t) Ф 0, играют определяющую роль. Совокупность этих моментов времени есть носитель потока, обозначаемый как supp CF, т.е.

suppC/r = {^T|C(r)^0}.

Невыписанные суммы всегда будем считать нулевыми.

Напомним также, что поток задан или сосредоточен на промежутке / с Т, если его носитель содержится в этом промежутке, т.е. supp CFq J. Иными словами, вне этого отрезка поток нулевой: C(t) = 0 для /.

В частности, для потока из примера 10.1

suppCT={0, U3}.

При этом поток сосредоточен на любом промежутке, содержащем отрезок [0, 3].

Вернемся теперь к построению дискретной накопительной модели.

ПуСТЬ CF = {(r0,C0),(r„C,),...,a,C„)}

— поток платежей, порождающий некоторый счет. Говоря о порождающем счет потоке, имеют в виду, что нет никаких других платежей, связанных со счетом, помимо платежей из потока.

Событие (Г0, С0) будем трактовать как начальное состояние или открытие счета: S(tQ) ~ С0, а последующие платежи — как внешний поток поступлений/изъятий капитала. Динамика счета определяется нормированной эффективной ставкой /. Наша цель — определить состояние счета S(t) в любой момент времени t.

Согласно сказанному, состояние счета в начальный момент равно S(tQ). Дальнейшее изменение состояния счета определяется, во-первых, автономным, или внутренним, процентным ростом и, во-вторых, внешними платежами Ck — C{tk) в момент tk.

Динамика процентного роста была подробно изучена выше. В общем виде (для нормированной ставки 0 она описывается уравнением

S(t + h) = S(t)(l + i) t>t, h>0 (10.2)

при условии, что на промежутке (1, t + h] нет никаких поступлений или изъятий капитала. Если же на интервале (t, t + h) не было ни поступлений, ни изъятий, но в момент / + h на счет (или со счета) был осуществлен платеж С(Г + /і), то, согласно принципу завершенного состояния,

S(t+h) = S(t + h-0) + C(t+h), (10.3)

где

S{t + h-0)=imS{t + h-r)1

— предел (слева) состояния S(t) в точке / + И.

Равенства (10.2) и (10.3) можно записать в виде единой формулы

S(t+h) = S(t)(+i)h +C(t + h) (10.4)

для любых t > tQ, h > 0 при условии, что на интервале (t, t + h) нет платежей потока CF. Заметим, что если в момент t + h нет ненулевых платежей, т.е. С(/ + h) — 0, то формула (10.4) переходит в (10.2).

Исходя из изложенного можно выписать рекуррентные уравнения, определяющие состояния счета в критические моменты tk.

S{tktl) = S(it)(l+i)T'+C{tk) (10.5)

или в индексных обозначениях Sk = S(tk)

Skrt = St( + i)T'+Ck, (10.5')

где Tk = tk -tk[ — длина k-го критического промежутка. Разворачивая эти формулы, последовательно находим

5, =S„(l + l)T' +q =C0(l + /),i +C, =C„(1+ /)''"'"+С,; 52 =5,(1+/)7І +C, =С0(і+/)7;+Гі + C,(l+<)'! +Сг = = C0(l+/)'!"'"+C,(l+/)';"'' + C2;

=c0(i+/)'--'" +CO+0'-"" + ...+c„_,(i+/)'•-'■ +c„.

Естественно, что состояние счета для некритического момента t определяется, согласно, (10.3) состоянием в ближайший предшествующий критический момент tk, если tk<t< t при этом

S(t) = S(tk)(l + i)'(10.6)

При решении примера 10.1 мы проделали вычисления в «естественном» порядке, по ходу финансовых событий в соответствии с приведенными выше рекуррентными формулами. Эти вычисления можно продолжать неограниченно и тем самым найти состояние вклада для любого будущего (целого) момента /. Однако, если нас интересует просто состояние счета в некоторый будущий момент времени, незачем находить все промежуточные состояния. Можно поступить по-другому. Для нахождения величины вклада в момент времени / достаточно определить накопленные к этому моменту времени значения всех поступлений/изъятий (с учетом знака) и полученные значения сложить. Иными словами, мы должны «перенести» с помощью процентной ставки все суммы к одному моменту и найти их алгебраическую сумму.

Рассчитаем по такому правилу состояние вклада в момент / = 4. Последовательно находим будущие значения:

начального вклада

400(1 + 0,1)4 = 585,64(#);

первого изъятия (в момент t — 1)

-100(1 -Ю,1)* = -1ЭЗ,Н.-#);

поступления (в момент / = 3)

200(1 + 0,1) = 220(.#). Складывая все значения, получим

54 = 585,64 133,1 + 220 = 672,54(.-#),

т.е. то же значение, что и полученное ранее при последовательном вычислении.

Сказанное выше приводит нас к следующему важному определению. Определение 10.1. Пусть

= {(г,, С,), (г2, С2) (г,,, Ся)}

некоторый денежный поток. Тогда в схеме сложных процентов его будущим (накопленным) значением для момента f > tv Л,,..., tn относительно нормированной ставки / называется величина

где а — 1 + /— нормированный коэффициент роста.

Так, для приведенного выше примера денежный поток вложений/ изъятий имеет вид

CF= {0, 400), (1,-100), (3, 200)};

FVA{CF) -400(1+0,1 У 100(1+0,1)3 + 200(1+0,1) = 672,54(:-#). Таким образом, будущее или накопленное значение потока есть просто алгебраическая сумма накопленных значений составляющих этот поток сумм:

ЩСҐ) = \%ЩС„). (10.7)

Jt=l

Аналогично можно определить текущее значение потока для момента /< Тп.

Определение 10.2, Пусть

cf = {(f„c1),((2,cj),-,('»,c„)}

некоторый денежный поток. Тогда в схеме сложных процентов величина

PV,{CF,i) = Yfk^-, (10.8)

где

B=fl-'=Jнормированный дисконтный множитель, называется текущим значением в момент времени і относительно нормированной ставки /.

Таким образом, текущая величина потока есть просто сумма текущих значений составляющих поток сумм:

PVCF)^PVCt). (10.9)

Так, для потока из рассматриваемого примера

PVQ(CF) = 400 -100(1 +0,1)"1 + 200(1 +0,1 )~3 = 459,35( &.).

Не следует удивляться, что полученное текущее значение в момент t~ 0, т.е. приведенная к начальному моменту времени величина потока, не совпадает с начальным вкладом ;#400, тогда как для будущих значений потока (/> 3) такое совпадение имеет место. Ниже подробно объяснена связь между будущими и текущими величинами для потока и значениями соответствующей фондовой переменной.

Как и для отдельной суммы, можно говорить о текущем относительно заданной процентной ставки значении потока в произвольный момент времени t безотносительно к его ориентации по отношению к событиям из потока. В этом случае используется та же формула (10.7):

PV,(CF) = ^Ckv^', t>t„ (10.10)

но уже не обязательно выполнение неравенствам г,, Г2,..., / Например, в случае tv /2,..., tk< t < tk+x,..., tn для моментов t предшествующих моменту /, будут находиться будущие значения соответствующих сумм, а для моментов tk, следующих за этим моментом, буд>т находиться приведенные значения соответствующих им сумм. Возвращаясь к потоку из примера, получим

PV2(CF) = 400(1,1)2100(1,1)! + 200(1,1Г1 585,883( #),

что опять не совпадает со значением ^2 = 374( М), полученным выше.

Введенные характеристики потока (будущая и текущая стоимости) позволяют записать состояние £(0 накопительного счета, порожденного потоком CF, в виде

S(t)=FV,(CF,)= X C,(l + «f (ю П)

где

CF,={(tk,Ck)eCF k<t}

— часть потока CF, состоящая из составляющих его событий вплоть до момента t включительно.

Таким образом, для нахождения состояния в момент / счета, порожденного потоком CF, необходимо привести к этому моменту все платежи потока, предшествующие моменту г, включая и платеж в момент г, если таковой имеется. Этот результат полностью аналогичен результату, полученному для коммерческой модели накопительного счета в схеме простых процентов. Различие состоит лишь в используемой схеме процентов.

Приведенные определения будущих и текущих значений для потока имеют смысл лишь при указании процентной ставки, определяющей скорость процентного роста. Поскольку будущие и текущие значения потока зависят от ставки, строго говоря, ее необходимо указывать в выражениях для этих величин, т.е. писать FVt(CF, і) и PV(CF, і). Для упрощения записи процентную ставку часто опускают, считая ее заданной по умолчанию. Однако об этом следует всегда помнить.

Мы определили текущее значение с помощью дисконтирования платежей потока по нормированной процентной ставке /. Однако

в определении (10.8) или (10.10) дисконтный множитель V можно выразить и через учетную нормированную ставку d:

u=-d

и получить выражение для текущей стоимости потока в терминах учетной ставки.

Выражения для будущей и текущей стоимостей можно получить не только для нормированных, но и любых других ставок (процентных и учетных). Для этого достаточно выразить нормированные коэффициенты a, v через заданные ставки и подставить полученные выражения в (10.7) (10.9).