10.2. временная стоимость потока на промежутке

10.2. временная стоимость потока на промежутке

В гл. 1 определено понятие нетто-стоимости (чистой стоимости) (дискретного) потока CF на промежутке / как алгебраическую сумму номинальных значений платежей потока:

NV(CF,J)= X С„.

k:tk є J

Говоря о номинальных значениях, имеем в виду, что платежи суммируются без учета временного фактора; т.е. просто складываются денежные суммы, относящиеся к разным моментам времени. Например, сложив сумму ежемесячных пенсий за год, мы получим общую величину годовых пенсионных выплат. Этот подход общепринят в бухгалтерском анализе. В таком виде записывается большинство балансовых соотношений между фондовыми и интервальными величинами. Общая схема такой связи имеет вид:

$(0-5(0 = ^(СЛгм/2)

или

S(t2) = S{t,) + NV(CF;^t1).

Здесь ^(/j) и S(t2) — состояния фондовой переменной в начале / и в конце t2 некоторого периода, а

NV(CF;tltt2) = NV(CF,J)

— нетто-величина внешнего потока СГна промежутке У = (/,, /2].

Эти уравнения полностью определяют динамику финансовой системы, состояние которой описывается фондовой величиной S(t), а внешние денежные потоки, аккумулируемые системой, — потоком CF. В частности, состояние такой системы в любой момент времени t задается уравнением

J(/) = S(/0) + JVK(CF;f„/)

или, в развернутом виде,

s(t)=s{tt)+ I ск.

k:ta<rk<t

Чистую стоимость потока можно сделать ориентированной величиной, если положить

NV(CF Ь, а) = -NV(CF; а, Ь) для Ъ > а.

Номинальный, или бухгалтерский, подход некорректен, поскольку не учитывает временного фактора, влияющего на стоимость (ценность) сумм, относящихся к различным моментам времени. Здесь мы определим понятие временной стоимости потока на промежутке, учитывающее этот фактор. Основной характеристикой, позволяющей осуществить такой учет, является нормированная эффективная ставка /.

Используя функциональное представление (дискретного) потока

CF = {C(t), гєТ},

его текущее значение в произвольный момент времени р є Т можно записать в виде

Обратим внимание, что формально суммирование в правой части проводится по всем t, т.е. для бесконечного числа моментов времени. Однако поскольку C(t) — 0 почти для всех значений t, за исключением конечного числа моментов из носителя supp CF, эта сумма на самом деле сводится к конечной, т.е.

w,(ct)= I с(/К'.

t є supp CF

Отметим теперь ряд простых свойств, связанных с понятием будущего и текущего значений потока. 1. Для любыхpvp2 из равенства

Vt-P2 -vr-PivP;-Pi

следует, что

PVpCF)^vp^PVp{CF). (10.12) 2. Для потока, сосредоточенного на отрезке [я, Ь), выполнено свойство

PVa(CF) = i/"FVb(CF).

Это свойство немедленно следует из (10.12) и из того факта, что для сосредоточенного на [а, Ь] потока

FV„(CF) = PVb{CF).

Так, для потока на рис. 10.1 и годовой процентной ставки 10\% имеем

PVQ{CF) = 459,35; FVA{CF) = 672,54

И 459,35 = (1+0,1)-4-672,54,

т.е.

PVa = v4FV..

Перейдем к определению временной стоимости TV (от time value) • потока CF на промежутке J. Определение 10.3. Пусть

CF = {C{t), гєТ}

— произвольный дискретный финансовый поток; / — фиксированная ставка; J сТ — произвольный конечный промежуток с концами а и Ъ. Тогда величина

7У(СТ;/;0 = ІС(/)(1 + іГ

называется временной (накопленной) стоимостью потока CF на промежутке J.

Для случая промежутка J = (а, Ь временную стоимость запишем в виде

7V(CF;a,b;i)= I C(t)( + if". (10.13)

a<!<b

Временную стоимость потока CFна промежутке / будем обозначать также TVj(CF) TV b](CF) TV(u b] и т.д. Значение процентной ставки при этом, как правило, опускается. Пример Ш.2. Для потока

CF= {(-!, 100), (1, -80), (2, 200), (4,150)} и годовой процентной ставки / = 20\% найти приведенные суммы для промежутков (-2,0], (-2, 31,(0, 41,(1,5].

Решение. Согласно формуле (10.13), получаем

TV(CF (-2, 0]) = 100(1+0,2) = 120; TV(CF; (-2, 3]) = 100(1+0,2)4 80(1+0,2)2 + 200(1+0,2) = 332,16; TV(CF; (0, 4]) = 80(1 +0,2)3 200(1+0,2)2 + 150 299,76; TV(CF; (1, 5]) 200(l+0,2)j + 150(1+0,2) 525,6.

Временная стоимость потока на промежутке (а, Ь совпадает с будущим, т.е. накопленным, значением потока CF ^ (a<b), полученного

сужением исходного потока на этот промежуток. Сужение потока получается отбрасыванием событий, моменты которых не входят в промежуток (а, Ь]. Формально для потока

CF = {c{t), /єТ}

cr-CF|M-tt. /вт}

определяется равенством

СЩ ДЛЯґє(<М>]; [О для/£(я,б].

Итак, для суженного потока CF' все суммы, не входящие в данный промежуток (а, Ь], игнорируются, т.е. считаются нулевыми. Тогда с использованием понятия сужения можно записать

W{CF;a,b)=FVb(cF\^. (Ю.14)

Пример 10.3. Для потока из примера 10.2 найти его сужение на промежуток (1,5] и накопленную стоимость к концу этого промежутка.

Решение. Сужение этого потока на промежуток (1, 5] имеет вид

CF = Cf|(15]={(2,200),(4,150)},

а, согласно (10.14), его накопленная к моменту t = 5 величина составляет

FK5(Cf')-/y5(cF|(lsl) = 2OO(l+O,2)3+15O(l+0,2) = 525,6 и совпадает с временной стоимостью исходного потока CF.

Выше определено понятие временной стоимости потока на промежутке. В нем была использована естественная (положительная) ориентация промежутков, связанная с естественной ориентацией временной шкалы. Иными словами, при вычислении временной стоимости промежуток «проходился» в положительном направлении от левого конца к правому, от прошлого к будущему. Именно поэтому временная стоимость потока на промежутке является будущей накопленной стоимостью части потока, сосредоточенного на этом промежутке.

Однако временные промежутки можно рассматривать как ориентированные объекты, если задавать направление обхода промежутка. Это делается с помощью обычного метода указания в заданном порядке концов промежутка. Так, отрезок [а, Ь] при а < b считается положительно ориентированным, а Ь, а] — отрицательно ориентированным. Для любого промежутка J обозначим через /~ двойственный промежуток, т.е. промежуток с теми же концами, но противоположно ориентированный. Например,

[a,b]~ = [b,a, {a,b)' = (b,a), [a, b)~ = (b, a], (a, b}~ = [b, а).

Теперь можно дать определение временной стоимости (дискретного) потока для любого ориентированного промежутка J = < a, b > с концами (любого вида):

7V[CF;<a,b>;i)=± £ C(t)(+i)^.

te<a, b>

Здесь «угловые» скобки означают скобки любого вида, так что промежуток <а, Ь> может быть любым промежутком, интервалом, отрезком, а также полуоткрытым слева или справа промежутком. Знак «плюс» выбирается в случае положительной ориентации, т.е. при а < Ь, знак «минус» в случае отрицательной (противоположной)ориентации, т.е. при а > Ь.

Как и выше, для промежутков вида {а, Ь] временную стоимость потока запишем в виде TV{CF а, Ь), т.е. в виде функции двух переменных. Заметим, что для отрицательно ориентированного промежутка J ~ (a, b], а> Ь,

TV(cf;a,b) = £ c(,)v'~b = -PvcfI

b<t«i

Таким образом, накопленная стоимость в исходном определении временной стоимости меняется на текущую стоимость. Кроме того, знак также меняется на противоположный.

Из свойства 2 текущей стоимости потока для любого промежутка J~<a,b> следует равенство

TV(CF; J) -v^TVlCF; J~),

связывающее временные стоимости потока на промежутке / — < а, Ь> Для случая взаимнопротивоположных ориентации.

150

Так, для потока из примера 10.2

200

7Y(C/s[5,l)) =

1+0,2 (1+0,2):

-253,47.

Умножая полученное значение на

-1

(1 + 0,2)

1-5

= -2,0736,

получим

TV(CF (1,5]) = 525,6,

что совпадает с ранее полученьгым значением временнбй стоимости по промежутку (1, 5].

Мы ввели понятие временнбй стоимости по промежутку (простому и ориентированному) для дискретного потока. Ниже оно будет обобщено на случай непрерывных потоков. Но прежде чем перейти к непрерывному случаю, покажем, как записать уравнение динамики фонда (т.е. счета с произвольным (дискретным) внешним потоком), используя понятие временнбй стоимости потока.