10.3. уравнение динамики фонда с дискретным потоком

10.3. уравнение динамики фонда с дискретным потоком

Рассмотрим некоторый фонд, т.е. финансовую систему (например, накопительный счет) S, состояние которого описывается фондовой переменной S(f)t t є Т. Эта система связана с внешним миром денежным потоком

CF = {C(t), ГеТ}.

Положительные значения

CF сумм означают приток средств в

> 

систему (рис. 10.2); эти суммы

сами составляют поток CF+t который интерпретируется каквходной. Аналогично отрицательные

значения сумм означают отток

Рис. 10.2 средств. Эти суммы составляют

выходной поток CF~. В§ ЮЛ сформулированы принципы динамики накопительного счета (фонда), состояния которого изменяются под действием двух факторов:

внутреннего (процентного) роста по нормированной эффективной ставке /;

за счет притока и оттока денежных сумм потока CF.

Если внешний поток отсутствует (т.е. нулевой), то фонд подчиняется автономному процентному росту

S(/) = 5(0(1+/)"'.

Более того, любые два состояния фонда в моменты /, и t2 связаны уравнением

5(Г2) = 5(0(1+/Г".

Если же фонд имеет внешний поток CF, то уравнение динамики, согласно уравнениям (10.5), (10.6), можно записать в виде

5(r) = 5(O(l+/)M"+XQ(l + 0'"".

k:ik<!

или

Co-'] /'

t>t0.

Используя введенное в предыдущем параграфе понятие временной стоимости потока, последнее уравнение перепишем в виде

S{f) = S(t0)( + i)^+TV{CFuQ.t), />/0. (Ю.І5)

Оно называется уравнением динамики фонда (с дискретным внешним потоком). Первый член правой части (10.15) описывает автономный процесс процентного роста на отрезке [/0, г], а второй — учитывает вклад внешнего потока, взвешенный с учетом процентной ставки. Уравнение (10.15) можно записать в несколько более общем виде:

Sr+h = S(f)( + if + TV(CFu,t + h), t>tQ. (10.16)

Это уравнение связывает любые два состояния фонда.

Заметим, что (10.15) и (10.16) определенным образом ориентированы, т.е. в них находим будущее состояние по прошлому или текущему состоянию фонда. Но уравнение (10.16) будет справедливо и в общем случае, когда допускаются отрицательные значения /?, т.е. если по данному состоянию находятся предшествующие ему состояния. В этом случае в (10.16) используется введенное в предыдущем параграфе понятие временнбй стоимости потока по ориентированному промежутку.

25-5169

Пример 10.4, Пусть порождающий поток CFимеет вид

CF= {(0, 100), (1,-200), (3, 150), (4, 130)}. Найти последовательно состояния для моментов от / = 0 до / = 5 при ставке / = 20\% годовых, проходя их в прямом и обратном порядке.

Решение. Поскольку поток CF — порождающий, то событие (0, 100) будем считать начальным. Тогда

5о=100;

S, = S0(1 + 0,2) 200 80;

52 = ^(1 +0,2) = -96;

53 = 52(1 +0,2) + 150 = 34,8;

54 = S3{ + 0,2)+ 130 = 341,76;

55 = SJ!1 +0,2) = 410,112.

Пересчитаем теперь эти состояния в обратном порядке:

Ss = 410, 112;

с =_^5_ = 341 76; ' 1+0,2

s s< зоо _^-зоо_34£,

3 1 + 0,2 1 + 0.2 1+0,2

1И_

2 1+0,2 1+0,2

1 + 0,2

5o=^ + ^L = ^l200 = 100. 1+0,2 1+0,2 1 + 0,2

Приведенные выше уравнения описывают модель динамики простой финансовой системы типа текущего счета или накопительного вклада с возможными пополнениями и изъятиями и т.п.

Пример 10.5. Инвестор открывает счет в момент / = 0 с начальной суммой Su = .Ж000. В конце каждого нечетного года он снимает со счета .#500, а в конце каждого четного года добавляет к счету .5?500. Если годовая эффективная ставка 50\%, то какова величина счета в конце 10-го года?

Решение, Согласно уравнению (10.15) динамики счета, имеем

S„=Sa(l + ir + W(0AU{(CF;i)

или

Slu =1000(1 +0,5)l0+f (-1)'-500(1 +/)1^=1000(l,5)",-500'M_d=46332,03U).