11.3. общая схема сложных процентов

11.3. общая схема сложных процентов

Рассмотрим элементы алгебры потоков в более общем контексте, чем это было сделано выше. Обобщения касаются двух аспектов, связанных с денежными потоками. Во-первых, рассмотрим непрерывные, а также общие потоки платежей. Во-вторых, откажемся от условия постоянства процентных ставок. В итоге получим достаточно общие результаты, касающиеся общих потоков платежей в рамках общей схемы сложных процентов.

Прежде чем перейти к определению общей схемы сложных процентов и ее обсуждению, напомним кратко понятие общей финансовой схемы (см. гл. 1).

Общая финансовая схема в качестве базовых элементов включает финансовые события и финансовые потоки, финансовые законы капитализации и дисконтирования и индуцированное ими отношение эквивалентности. Определяющими элементами являются заданные финансовые законы капитализации (роста)

и дисконтирования

V=D(p,t,C), P<t.

Смысл этих законов состоит в нахождении для любого события (г, С) его накопленного или будущего значений

К = С) = Л(р t, С), p>t, (11.2)

а также приведенного, текущего или дисконтированного к моменту р значения

Vp=DVp(t,C) = D(p tC)t p<t. Такая пара законов задает оператор преобразования или приведения событий к любому моменту времени р (полюсу, фокальной точке, моменту валоризации), обозначаемый PV:

PVp:(t,C)->(p,Vp),

rFVp(t,C), если р>Г; DVp(t,C) если p<t.

где

Законы капитализации и дисконтирования удовлетворяют ряду постулатов (условий). Эти постулаты и следствия из них достаточно подробно обсуждались в гл. 1. В гл. 8 показано, что финансовые законы в стандартной схеме сложных процентов обладают свойствами однородности, стационарности, непрерывности и взаимной сопряженности. Эти свойства следовали из конкретной (показательной) формы финансовых законов. Ниже некоторые из них примем в качестве постулатов, определяющих общую схему сложных процентов. Выполнение свойств (постулатов) приводит к специальной форме финансовых законов в общей схеме сложных процентов.

Определение общей схемы сложных процентов. Будем считать, что для общей схемы сложных процентов выполняются следующие постулаты.

Г. Законы роста и дисконтирования являются однородными относительно сумм, связанных с событиями. Иными словами,

A(p;t, С) = СА(р; t, 1);

D(p;t,C) = CD(p;t, 1). (П.З)

Тем самым законы однозначно определяются своими функциями (или коэффициентами) роста

a(t,p)=A(p;t, 1), р>ї,

и дисконтирования

d(t, р) = D{p;t, 1), p<t,

Из Г следует, что

FV(t,C) = Ca(t,p), p>t 

DVp(t,C) = Cd(t,p), p<L

Функции роста и дисконтирования можно объединить, введя так называемую обобщенную функцию, или коэффициент дисконтирования

a(t,p), если р > Г,

yd ,p), eamp<t.

С помощью коэффициента дисконтирования обобщенный оператор приведения (текущей стоимости) запишется в виде

PV(t,Q = Cv(t,p)

для любых f, р.

2°. Законы роста и дисконтирования непрерывны относительно временных параметров, иными словами, функции a(t, р) и d(t, р) непрерывны в своей области определения.

Из 2°, в частности, следует, что всюду определенная функция u(t, р) является непрерывной в области / ф р. Полная ее непрерывность гарантируется следующим условием.

3°. Финансовые законы роста и дисконтирования взаимно сопряжены, т.е.

a(t,p)d(t,p) = 1

для любых р > t и удовлетворяют краевому условию

a(t,t) = d(t,t)=.

Из свойства сопряженности и непрерывности следует, что функции ait, р) и d(t, р) знакопостоянны, а краевое условие означает, что a(t, р) и d(t, р) положительны в своих областях определенности. Это означает, что обобщенная функция дисконтирования v(t,p) положительна, всюду непрерывна и удовлетворяет условию

для всех t. Кроме того, функция v(t, р) является самосопряженной, т.е.

v(t,p)v(p,f)=

для любых t, р.

4°. Законы роста и дисконтирования транзитивны, т.е. для любых t< г<р

a(t,T)a(r,p) = a(t,p)

и любых p<r<t

d(t,r)d(T,p) = d(t, р). Это свойство также нъшваютрасщешяемостью финансовых законов. Транзитивность законов роста и дисконтирования ведет к транзитивности обобщенной функции дисконтирования:

v(t, r)d(T,p) = v(t,p)

для любых t, г, р.

Заметим, что это утверждение — прямое следствие соответствующих свойств функции роста и дисконтирования лишь в случае, если точка тлежит между точками / и р. В остальных случаях выполнение этого свойства основано также на упомянутой выше взаимной сопряженности законов роста и дисконтирования (см. постулат 3). Так, если t < р < г, то транзитивность функции v фактически означает выполнение свойства

a{t, f)d(T,p)=a(t,p), следующего из транзитивности функции роста

a(t,p) а(р, r) = a(t, т) и условия сопряженности

d(t,p)

Остальные случаи рассматриваются аналогично.

В терминах операции приведения событий транзитивность финансовых законов в схеме сложных процентов означает выполнение равенства

РУ,{РУЛ*>С))=РУ№) (11.4) для любых г, г, р. Свойство 4° называют свойством поглощения оператора приведения. Оно означает нечувствительность операции приведения событий к заданному полюсу р от внутренних или промежуточных преобразований этих событий.

Этим свойством мы неоднократно пользовались в данной главе при доказательстве ряда утверждений (теорем 11.2 и 11.3), касающихся потоков платежей, естественно, в рамках стандартной схемы сложных процентов с фиксированной нормированной ставкой /'. Свойство транзитивности играет центральную роль в теории сложных процентов, С его помощью можно установить общую форму финансовых законов и связанных с ними преобразований событий и потоков.

Поскольку функция v(U р) положительна, то можно определить функцию

v(/,/») = lnu(/,p).

Свойство транзитивности функции v трансформируется тогда в свойство аддитивности функции v:

v(Up) = v(/, г) + v(r,/?) для всех ї, г, р. В частности, отсюда следует, что если непрерывную функцию v рассматривать как функцию промежутков J = < f /, >, полагая

v(/)= vU,,g, tt<tv то v является непрерывной аддитивной функцией промежутков.

В гл. 1 введено понятие плотности для аддитивной функции промежутков. Плотность функции v (в том случае, когда она существует) будем называть интенсивностью и обозначать через S(t):

Можно показать, что если аддитивная функция v имеет кусочно-непрерывную плотность S, функция vдопускает интегральное представление

27-5169

v('„f2) = |5(/)df.

В свою очередь, это означает возможность представления обобщенной дисконтной функции v (t,p) в виде

(р

v(t,p) = exp J6(t)dt

Мы будем всегда предполагать существование и кусочную непрерывность интенсивности <5(Г).

Заметим, что в литературе интегральное представление для дисконтной функции принято записывать в виде

v(t,p) = txp -J8(t)dt

Знак «минус» в показателе должен напоминать, что говорится о дисконтировании (хотя и в обобщенном смысле).

В схеме с постоянной интенсивностью 5(t) = д — const дисконтная функция v{t, р) принимает вид

v(t, р) =

= е

Если р — 11 = 1, т.е. значение дисконтной функции рассматривается на единичном промежутке, то определяются величины

1

<з = е =1+/; и = е"' =

1 + /

нормированные коэффициенты роста и дисконтирования соответственно, где

/=е51

нормированная процентная ставка. Тем самым мы приходим к описанной в § 8.4 стандартной схеме сложных процентов.

В финансовой литературе вместо двумерной дисконтной функции v(t,p) часто используют ее одномерные аналоги. Обозначим функцию v(tt 0) одного аргумента t через v(t) (хотя и это не совсем корректно). Используя транзитивность и самосопряженность v(t,p), можно записать

v(t,0) v(t)

v(p,0) v(pY

v(tt p) = v(t,0)v(0,p) =

u(f) = exp -J<5(s)ds .

V о )

На этом закончим обсуждение финансовых законов в общей схеме сложных процентов и перейдем к обсуждению вопросов, связанных г с непрерывными и общими финансовыми потоками в рамках этой схемы. Непрерывные и общие финансовые потоки в общей схеме сложных процентов. Выше в этой главе мы ограничились анализом дискретных, или более точно, конечных потоков платежей. Финансовый поток CF в дискретном случае задается своей платежной функцией C(t), г є Т і на дискретном множестве точек, называемом носителем этого потока (см. гл. 1):

E = sappCF=[teT C(t)*0].

Дискретность носителя означает, что в любом конечном промежутке /содержится лишь конечное число точек носителя. В частности, носитель — конечное или счетное множество, т.е. его элементы можно занумеровать:

E = {tkk = l, ...,л},л<~.

Это приводит к обычному представлению дискретного потока CF в виде множества

CF = {(tktCk)k = „.n}tn<oonCk = C{tk).

Если поток конечен, то носитель также конечен и, следовательно, функция С(г) отлична от нуля лишь для конечного числа моментов времени.

На дискретные потоки тривиально переносится операция приведения событий к полюсу р в общей схеме сложных процентов:

рг, (cf )=£c>(r, р)=-1, £cXr). (,, .6)

ГєТ VP)teT

Если поток конечен, то суммы в (11.5) конечны, для бесконечных дискретных потоков они представляют собой суммы рядов; возможность приведения потока обусловливается сходимостью соответствующего ряда.

Определенный выше оператор приведения (или текущей стоимости) является линейным оператором:

PV, Щ + CF2) = PV, (CF,) + PVp [CF2)

И

PVp(XCF) = XPVp(CF).

Хотя ряд результатов этой главы для дискретных потоков не выполняется для схемы с переменной интенсивностью, в частности, это касается лемм, связанных с операторами сдвига (см. леммы 11.2 11.4 и теорему 11.1), тем не менее в общей схеме остается справедливым свойство поглощаемости оператора приведения для дискретных потоков (см. лемму 11.5)

PV,(PV,(Cti)) = PVf(CF),

являющееся тривиальным следствием этого свойства для событий (см. (11.4)).

Остаются также справедливыми свойство ассоциативности текущей стоимости (см. теорему 11.2) и основные определения и факты, касающиеся эквивалентности потоков (см. § 11.2), поскольку все эти результаты опираются лишь на свойство поглощаемости оператора приведения. При этом определение эквивалентности потоков переносится на случай схем с переменной интенсивностью, т.е. потоки считаются эквивалентными, если их приведенные значения в некоторой (а тогда и в любой) точке совпадают.

В силу сказанного не будем переформулировать и снова доказывать упомянутые факты, а перейдем к обсуждению непрерывных и общих потоков платежей в общей схеме сложных процентов.

В гл. 1 мы ввели понятие общего потока платежей CF, задаваемого аддитивной функцией промежутков V= V , которая каждому конечному промежутку / временной шкалы сопоставляет значение V(J) потока на этом промежутке. При этом был выделен класс так называемых непрерывных потоков CF, имеющих плотность ju(f), определяющей значение потока на промежутке У согласно формуле

v(j)=!(,(()&.

j

Зафиксировав любую точку tQ временной шкалы, можно определить функцию (аналог функции распределения в теории вероятностей):

'о

которая также определяет значение потока на любом промежутке J=-<a,b>:

V(J) = V(a, b) = M(b) M{a). Функция M(t) является первообразной для непрерывной плотности

M )= МО-Понятие текущей стоимости потока в общей схеме сложных процентов легко переносится на непрерывные потоки. . Определение //.5. Пусть CF — непрерывный поток с плотностью ju(0Текущей стоимостью этого потока в точке р относительно интенсивности 5(0 в общей схеме сложных процентов называется величина, определяемая равенством

PVp{CF)=»(t)v{t,p)ut = -^ii{t)v(t)uL (1]7)

Заметим, что интеграл справа на самом деле собственный (конечный), если поток CF — сосредоточен на некотором отрезке а, Д, иными словами, вне этого отрезка его плотность равна 0:

/і(ґ) = 0, te[at0.

Тогда очевидно, что

J ц(s)v(s, p)ds = jfj(s)u(s, p)ds.

Если это не является необходимым, мы не будем указывать конкретные границы интегрирования а, Д

Можно обобщить данное выше определение и на случай бесконечных (по времени), точнее, нефинитных потоков, если понимать интеграл в (11.7) как несобственный.

Пример 11.8. Пусть непрерывный поток сосредоточен на отрезке [0, 2] и имеет постоянную плотность pi{t) = fj — const. Найти текущую стоимость этого потока в точках а) р = 0; б) р = 1; в) р — 2 относительно постоянной интенсивности 3(f) = д — const.

Решение. Коэффициент дисконтирования имеет вид

J6>d

v(t,p) = f =е^".

Тогда для случаев:

a) ^JCO = l/ica(Md/ = /iJe-*d/ = -^e-*[=^(]-e-");

б) ^(Cf) = j^e^d/ = /ie5]e^d/=:^e5(l-e35) = ^(e5-e^);

о о

2 2

в) FV, (CF) = |uesil-'} dt = uеи Je"*dt = £tu(l -e2S) = £(e13-1).

Пример 11.9. Пусть CF~ непрерывный поток, сосредоточенный на промежутке

[-1, <=°), с плотностью . . ...

л^(0 = е ■

Найти текущее значение этого потока в точке р~0 относительно постоянной интенсивности 5=1.

Решение. Как и в предыдущем примере, коэффициент дисконтирования

v(t,p) = cp4.

і

= 1+1 =1,5. 2

Поскольку поток нефинитный (бесконечный), то интеграл (11.7) будет несобственным: FV0(CF) = Jен 11 є"' dt = ]dt + ]V2'dt = £ '

Из приведенного выше определения текущей стоимости непрерывного потока непосредственно следует ее линейность относительно сложения потоков:

PY, (С/5 + CF2) = PVt (CFt) + PV, (CF2) и умножения потока на число:

PVp(XCF) = XPVp(CF).

В самом деле, если р.х и fi2 — плотности потоков CFX и CF2 соответственно, то функция

будет плотностью суммарного потока CF{ + CFV а поскольку интеграл (11.7) является линейным функционалом относительно подинтеграль-ной функции, то

PVr {CF, +CF2) = J(rt (/)+ft (t))v(t, p)dt =

—CO

= j ft (t)v(l, p)d,+ j fr(t)v{t, p)dt = PVf {CFt) + PVp [CF2).

Аналогично доказывается и однородность текущей стоимости, т.е. формула (11.4). Действительно, если pt(t) — плотность потока CF, то AjA(t) будет плотностью потока ACT7 и, значит,

+■»

PVp (ACF) = *ji{t)v(tt p)dt = kjfi(t)v(t, p)dt.

Для непрерывных потоков в схеме сложных процентов с постоянной интенсивностью верны аналоги лемм 11.2 — 11.4. Чтобы сформулировать эти утверждения, необходимо определить оператор сдвига для непрерывных потоков.

Определение 11.6. ПустьCF— непрерывный потоке плотностьюju(t). Тогда сдвигом потока с шагом Т называется непрерывный поток LT(CF) с плотностью

Теперь можно сформулировать аналог леммы 11.2. Лемма 11.2'. Пусть CF— непрерывный поток. Тогда для постоянной интенсивности S имеет место равенство

PVp(LT(CF)) = vTPVp(CF), (И.8)

где

v = е~5

— нормированный коэффициент дисконтирования, соответствующий интенсивности S.

Доказательство. Поскольку интенсивность постоянна, то функция (коэффициент) дисконтирования имеет вид

(р v(t,p)~exp jdsds =е5^р~'

V/ J

Текущая стоимость сдвинутого потока

+ 00

P^f(LT(CF))=j^-T)^6r.

Заменой переменных ґ'= /Т, получим

PVp (LT (CF)) = |м<'к('-'-г) *' = e-5r PVP(CF),

—СЮ

что и требовалось доказать.

Еще проще доказывается аналог леммы 11.4 о сдвиге момента (полюса) приведения.

Лемма 11.4'. Пусть CF — непрерывный поток с плотностью jx{t). Тогда для постоянной интенсивности S имеет место равенство

PV^T{CF) = u-T PVp{CF), (11.9)

где

— нормированный коэффициент дисконтирования, соответствующий интенсивности 8.

Доказательство. Соотношение (11.9) получается на основе равенств

PVlI+T (CF) = j>)e^'> dt = eST ]n(t)eiP~r) & = ейг PVp (CF).

Заметим, что доказанные утверждения выполняются лишь при постоянстве интенсивности (силы процентов) <5, т.е. в условиях постоянства процентной ставки / и соответствующих ей коэффициентов роста а и дисконтирования v.

Заметим, что соответствующие утверждения для дискретных потоков доказывались при этом же условии постоянства ставки. Изменчивость ставок приводит к невыполнению приведенных утверждений. В этом случае нарушается даже возможность корректно сформулировать утверждение, поскольку нормированный коэффициент роста перестает быть постоянным.

Пример 11.10. Пусть непрерывный ноток CF с постоянной плотностью ц = 1 сосредоточен на отрезке [0, 1], а интенсивность 5{t) задается равенствами

т-А5",S0;

Найти: а) текушую стоимость потока в точках р = 0 и р = 1; б) текущую стоимость в точке р = 0 сдвинутого на Т= -1 потока.

Решение. Найдем сначала дисконтную функцию, порождаемую интенсивностью 8:

[е^' /,/;>0;

{, ) |е^', /<0,/,>0;

е ,!V "Л />0,/»<0.

а) Текущая стоимость потока в точке р = 0 и р = 1 соответственно

і і

PV0(CF)^jv(t,Q)dt = je^dt =

1-е"

о

1 : е*= 

/'К (С/7) = jv(t,)di = Je5?n"') dr = cs

«5,

0 I)

б) Поток L {{CF) сосредоточен на [1,0) и имеет на нем единичную плотность. При этом

-я,<

са -1 «5,

В примере 11.10, несмотря на то, что имеет место пропорциональность между текущими стоимостями потока в точках 0 и 1:

PV]{CF) = ^ PK0(CF),

двойственное соотношение для сдвига потока уже не выполнено, поскольку нет никакой естественной связи между значениями

PK0(L,(CF)) = ^1;

1-е-*1

В частности, для потока из примера 11.10 не выполнено свойство

PV„T(LT{CF)) = PVf(CF),

например, для р — 1, Т— -1.

Дня непрерывных потоков в общей схеме сложных процентов выполняется фундаментальное свойство поглощаемости оператора приведения:

PV,(PVf(CF)) = PVf(CF).

В самом деле, для потока CFc плотностью jj(t)

PVt(CF)=jfi(f)v(t,T)dt.

Таким образом, поток СУ7 преобразовался в событие (т, У), где

V^PV,(CF).

Приведенное к полюсу р значение этого события

РУТ(К) = УТи(т,р), откуда, используя транзитивность функции и, получаем

PVp(PVx(CF)) = v(r, р) ц(t)v(t,z)dt =

— ро

= jv(t)v(tt гЦт, p)dt = jv(t)v{t, p)dt = Pyp(CF).

Определив понятие текущей стоимости непрерывных потоков, можно ввести понятие эквивалентности. Это определение дословно совпадает с соответствующим определением 11.4 для дискретных потоков.

Все свойства введенного отношения эквивалентности автоматически переносятся на случаи непрерывных потоков, В заключение рассмотрим общие потоки.

Общий поток задается произвольной аддитивной функцией промежутка V, называемой представляющей функцией потока (см. гл. 1). Ограничимся рассмотрением практически важного случая, когда представляющая функция ^допускает разложение в сумму

где — дискретная; К(с) — непрерывная с конечной плотностью fi(t) составляющие.

Дискретная составляющая представляет собой дискретный поток

С/^={с(/)|/єТ},

где C(t) — платежная функция, определяемая как значение У в точках г, по сути являющихся вырожденными отрезками {/} = ї]. При этом носитель потока СЯЛ) есть дискретное множество

£ = suppCF(?)={/|C(/)^0} = {/„ ikeN},

где tk — критические точки потока. Поэтому для любого конечного промежутка/число критических точек потока конечно, и, следовательно, значение дискретной составляющей потока на этом промежутке представляется в виде суммы

И"(/)=£с(г).

Для непрерывной составляющей V{c) считаем плотность pi(t) интегрируемой функцией. Тогда для любого конечного промежутка J значение непрерывной составляющей У{с) на этом промежутке определяется равенством

=/Л (f) А.

Таким образом, для любого конечного промежутка J величина потока представляется в виде

г(-0=Хс(')+И')«"/є/ у

Данная формула позволяет выполнять различные действия с общими потоками, сводя операции над ними к соответствующим операциям над дискретной и непрерывной составляющими потоков.

В частности, на общие потоки тривиально переносятся все изложенные в этой главе определения и результаты, которые получаются их применением к дискретной и непрерывной частям общего потока.

Вопросы и упражнения

Дайте определение текущей стоимости дискретного потока платежей в схеме сложных процентов.

Как меняется текущая стоимость потока: а) при сдвиге потока? б) при сдвиге точки приведения?

Сформулируйте свойства ассоциативности для операции приведения потока платежей.

Докажите свойство поглощения для операторов приведения в схеме сложных процентов.

Докажите, что эквивалентность потоков платежей в схеме сложных процентов не зависит от выбора потока.

Опишите общую схему сложных процентов. Какими свойствами обладают финансовые законы этой схемы?

Приведите формулу текущей стоимости произвольного потока платежей в общей схеме сложных процентов.

Задачи

Пусть интенсивность процентного роста имеет вид (в годовой шкале)

[0,02, ,<Ю; 1 ; (0,04, />10.

Найти: а) общий коэффициент дисконтирования v(t, т); б) текущую стоимость непрерывного однородного потока, сосредоточенного на промежутке [0, 10], с плотностью :^?2000 в год в моменты /= 0; —1; 1.

Пусть сила процентов задается выражением

5(f) = 0,01+ 0,05r + 0,001/2, 0<t<