Глава 12. специальные классы потоков. ренты

Глава 12. специальные классы потоков. ренты

На практике часто встречается особый вид денежных потоков, представляющих собой последовательность регулярно повторяющихся платежей. Арендная плата, выплаты процентов, дивидендов, пенсий, ежегодные страховые взносы и т.д. служат примерами таких потоков. Если поток состоит из ежегодных выплат, то он обычно называется аннуитетом. В общем случае платежей может быть несколько раз в году, например каждый квартал, каждый месяц и т.п. Такой регулярный поток платежей называется рентой. Все формальные определения, связанные с рентами, приведены в § 1.2. Здесь же для удобства читателя дадим краткую сводку этих определений.

Хотя платежи по ренте связаны с моментами времени, по своему смыслу они являются платежами за период. Так, пенсия выплачивается за месяц, дивиденды за год и т.д. Поэтому ренту часто рассматривают как ряд платежей за последовательные периоды времени. Конкретный платеж за период может осуществляться как в конце, так и авансом, в начале периода.

С формальной точки зрения рента есть денежный поток второго рода (см. гл. 1);

С?={(УРС1),(У2,С2),...,(УЙ,СЙ)},

где п — срок ренты, т.е. число периодов ренты; Jk — k-й период ренты; Ск — платеж за к-1л период. Если число периодов конечно, т.е. п < со t то рента — срочная.

Бессрочная (вечная) рента описывается бесконечным потоком платежей

СТ = {(У„С,),(У2,С2),...>(/„,С„),...}.

Регулярность ренты заключается в том, что длина всех ее периодов одинакова. Значение длины периодов также называется периодом (числовым) ренты; обозначим его через И. Указанное свойство регулярности ренты означает, что концы периодов (промежутков) ренты или ее критические моменты составляют арифметическую прогрессию /0, t,..., t, где

При этом момент /0 называется началом (начальным моментом), а момент tn — концом ренты.

Для постоянной ренты все платежи одинаковы:

Ск. = С — const, к= 1, 2,п.

Хотя по своему финансово-экономическому смыслу рента есть поток 2-го рода, на практике она реализуется в виде последовательности платежей — событий, т.е. сумма, относящаяся к данному периоду ренты, должна быть выплачена в некоторый момент времени из этого периода. Такое преобразование потока 2-го рода в поток 1 -го рода или поток событий (см. гл. 1) можно осуществить многими способами, но на практике чаще всего используются два: в первом случае платеж осуществляется в конце, во втором — вначале периода.

Рента, в которой все платежи осуществляются в конце соответствующих периодов, называется обыкновенной или рентой постнумерандо, а рента, в которой платежи осуществляются в начале периодов, — авансированной или рентой пренумерандо. Наконец, для полного уточнения временнбй последовательности выплат необходимо указать первый период, на который приходится ненулевой платеж. Если начало га этого периода совпадает с началом t0 ренты, т.е. т0 = 1(У то рента называется немедленной. Если т0 > t0 — отложенной.

Таким образом, первый платеж немедленной обыкновенной ренты осуществляется в момент

Ti = 'o + A.

а первый платеж немедленной авансированной ренты осуществляется в момент г0 = tQ.

Дальнейшее изложение будет в значительной мере опираться на алгебру потоков (см. гл. 11). Поскольку ренты представляют собой частный случай потоков платежей, для них будем использовать специальные обозначения. Произвольную ренту, рассматриваемую как поток платежей 2-го рода, обозначим СЛ , а ренты, представляемые потоками 1-го рода (т.е. потоками событий), — СЛ. Замена F на А в обозначении потока платежей CF означает, что речь идет именно о рентах или аннуитетах.