4.4. математико-статистические методы изучения связей

4.4. математико-статистические методы изучения связей

Эти методы пришли в микроэкономический анализ из экономической статистики, которая, в свою очередь, заимствовала их из статистики математической. Как и любые методы, разработанные в рамках математических наук, методы изучения связей сопровождаются целым рядом оговорок и допущений, которые в экономических исследованиях далеко не всегда выполняются. В частности, здесь, как правило, невозможен повтор требуемого явления или события в целях формирования совокупности, как это распространено в исследованиях, связанных с экспериментами, исключительно высока взаимосвязь между отдельными факторами, показателями, не всегда возможно смоделировать требуемую ситуацию, тем более с желаемыми характеристиками основных ее параметров, и т.п. Поэтому аналитик должен исключительно четко представлять себе всю условность количественных оценок, полученных с помощью подобных методов, и не абсолютизировать их.

Несмотря на существенную условность применения в экономическом анализе стохастических моделей, они достаточно распространены, поскольку с их помощью можно прогнозировать динамику основных показателей, разрабатывать научно обоснованные нормативы, идентифицировать наиболее значимые факторы. Многие методы, разработанные в математической статистике, базируются на понятии нормального закона распределения, введенного Карлом Гауссом. Это обусловлено следующими причинами. Во-первых, оказывается, что при экспериментах и наблюдениях многие случайные величины имеют распределения, близкие к нормальному. Во-вторых, даже если распределение некоторой случайной величины не является нормальным, то ее можно преобразовать таким образом, чтобы распределение преобразования, т.е. новой величины, было уже близким к нормальному. В-третьих, нормальное распределение мо

жет служить аппроксимацией для других распределений (например, биномиального).

Итак, для корректного использования методов математической статистики (например, корреляционно-регрессионного анализа) желательна проверка, хотя бы и достаточно формальная, основных предпосылок этих методов, что, как отмечалось выше, обычно сводится к проверке нормальности законов распределения переменных.

Приведем краткую характеристику методов изучения связей, получивших наибольшее распространение в микроэкономическом анализе.

4.4.1.

Корреляциоииый аиализ

Представляет собой метод установления связи и измерения ее тесноты между наблюдениями, которые можно считать случайными и выбранными из совокупности, распределенной по многомерному нормальному закону. Корреляционной называется такая статистическая связь, при которой различным значениям одной переменной соответствуют разные средние значения другой.

Основной особенностью корреляционного анализа следует признать то, что он устанавливает лишь факт степени тесноты связи, не вскрывая ее причин. Кроме того, не существует общеупотребительного критерия проверки нормальности совместного распределения анализируемых переменных, поэтому обычно ограничиваются проверкой нормальности частных одномерных распределений. В условиях малых выборок подобная проверка может быть осуществлена с помощью показателей асимметрии и эксцесса, рассчитываемых через показатели центральных моментов третьего и четвертого порядков и среднее квадратическое отклонение.

Коэффициент асимметрии рассчитывается по формуле

где

и

п — количество наблюдений.

Некоторое распределение симметрично в том случае, если As = 0. Чем больше величина As, тем более асимметрично распределение анализируемой переменной.

Крутизна распределения данных, или степень выпуклости его вершины, характеризуется показателем эксцесса:

Ех = Ц-3, а

_ 24л(я-2)(я-3) где вЕ*=І(п-1?(п+ЗХп+5У

Для нормального распределения Ех = 0. Большой положительный эксцесс означает, что в совокупности данных есть слабо варьирующее по данному признаку «ядро», окруженное редкими, сильно отстоящими от него значениями. Большое отрицательное значение показателя эксцесса свидетельствует об отсутствии такого «ядра».

Нормальность распределения подтверждается, если выполнены неравенства:

As\{3<jas и l&cjOo^.

В случае, если распределение существенно отличается от нормального, наиболее простой вариант действий — регулирование совокупности, например отсеивание аномально выделяющихся наблюдений или включение в рассмотрение дополнительных наблюдений. При невозможности это сделать следует отказаться от применения соответствующих методов математической статистики для данной совокупности, поскольку полученные оценки будут исключительно формальными.

В статистических исследованиях теснота связи может определяться с помощью различных коэффициентов (Фехнера, Пирсона, коэффициента ассоциации и т.д.), однако в анализе хозяйственной деятельности чаще используется линейный коэффициент корреляции.

Коэффициент корреляции между двумя признаками х и у определяется по формуле

г =

уже'о.

v1=] і=і

(4.12)

- 1А 1А

где п ы п м

Если коэффициент корреляции считается на калькуляторе, рекомендуется пользоваться не формулой (4.12), а ее модификацией (4.13), которая, несмотря на ее громоздкость, более удобна в вычислительном плане:

г = X*

141=1

г=1

/=1

(4.13)

Значения коэффициента корреляции изменяются в интервале [-1, 1]. Значение г = -1 свидетельствует о наличии функциональной обратно пропорциональной связи между изучаемыми признаками; если г = +1, имеет место функциональная прямо пропорциональная зависимость. Значение коэффициента г, близкое к нулю, предполагает отсутствие линейной связи между признаками. Другие значения коэффициента корреляции свидетельствуют о наличии стохастической связи, причем чем ближе абсолютная величина г к единице, тем связь теснее.

На практике достаточно распространено следующее условное правило: при |г| < 0,3 связь можно считать слабой; при 0,3 < г < 0,7 — связь

средней тесноты; |г| > 0,7 — тесная связь. Существуют и более дробные

градации, приводимые в стандартных пособиях по статистике (например, таблица Чэддока).

4.4.2. Регрессионный анализ

Регрессионный анализ — это метод установления аналитического выражения стохастической зависимости между исследуемыми признаками. Уравнение регрессии показывает, как в среднем изменяется результативный (зависимый) показатель у при изменении любого из независимых показателей (факторов) х,-, и имеет вид: у =f(x,, х2, ..., х„),

где у — зависимая переменная (следствие); х, — независимая переменная (фактор).

Если зависимая переменная одна, имеет место простой регрессионный анализ. Если же их несколько, т.е. п > 2, такой анализ называется многофакторным.

В ходе регрессионного анализа решаются две основные задачи:

построение уравнения регрессии, т. е. нахождение вида зависимости между результатным показателем и независимыми факторами

X/, х2 х„;

оценка значимости полученного уравнения, т. е. определение того, насколько выбранные факторные признаки объясняют вариацию признака у.

Применяется регрессионный анализ главным образом для прогнозирования, планирования, а также для разработки нормативной базы.

В отличие от корреляционного анализа, который только отвечает на вопрос, существует ли связь между анализируемыми признаками, регрессионный анализ дает и ее формализованное выражение. Кроме того, если корреляционный анализ изучает любую взаимосвязь факторов, то регрессионный — причинно-следственную зависимость, т.е. одностороннюю, показывающую, каким образом изменение факторных признаков влияет на признак результативный.

Регрессионный анализ — один из наиболее разработанных методов математической статистики. Строго говоря, для реализации регрессионного анализа необходимо выполнение ряда специальных требований (в частности, хі,Х2,...х№ у должны быть независимыми, нормально распределенными случайными величинами с постоянными дисперсиями). В реальной жизни строгое соответствие требованиям регрессионного и корреляционного анализа встречается очень редко, однако оба эти метода весьма распространены в экономических исследованиях.

Зависимости в экономике могут быть не только прямыми, но и обратными, и нелинейными. Регрессионная модель может быть построена при наличии любой зависимости, однако в многофакторном анализе чаще всего используют линейные модели вида.

у = а0 + a, Xi + а2х2 +... + а„х„ ■ >,;

Построение уравнения регрессии осуществляется, как правило, методом наименьших квадратов, суть которого состоит в минимизации суммы квадратов отклонений фактических значений результатного признака от его расчетных значений, т.е.: 5 = Х(у,-У)2^тіп,

где т — число наблюдений,

yJ =а0+а}х{ +а2х{+...+а„х1„ — расчетное значение результатного показателя.

Уравнения регрессии легко строятся с помощью персонального компьютера или специализированного финансового калькулятора. При отсутствии технических средств коэффициенты регрессии для простейшего случая — однофакторного линейного уравнения регрессии вида у = а + Ьх — можно найти по формулам:

т т

X У і ~bJ.xi j.xj І У] ~ "І*>Уj

a=l=i M , b=J=l J=i M

m

m 7-і

После построения уравнения регрессии необходимо сделать проверку его значимости: с помощью специальных критериев установить, не является ли полученная зависимость, выраженная уравнением регрессии, случайной, т.е. можно ли ее использовать в прогнозных целях и для факторного анализа. В статистике разработаны методики строгой проверки значимости коэффициентов регрессии с помощью дисперсионного анализа и расчета специальных критериев (например, ґ-критерия). Нестрогая проверка может быть выполнена путем расчета среднего относительного линейного отклонения (є), называемого средней ошибкой аппроксимации:

i=lyly*~*l.ioo\%,

«А=1 Ук

где у к — к-е фактическое значение результативного показателя;

ул — выравненное, т.е. рассчитанное по уравнению регрессии, fc-e значение результативного показателя.

Модель считается адекватной, т.е. пригодной для практического использования, если средняя ошибка аппроксимации не превосходит 15\%.

Распространенность линейных моделей объясняется относительной легкостью их интерпретации.

Уравнение регрессии может быть представлено двумя способами:

а) в натуральном масштабе:

у = а0+а1х1 + а2хг+... + аяхп ; (4.14)

б) в стандартизованном масштабе:

/0=/V'1+/V'2+«.+ A,-V (4.15)

В первом случае факторы входят в модель в виде исходных показателей, имеющих собственные единицы измерения; во втором случае они представлены в модели в виде относительных показателей, имеющих одинаковую размерность.

Факторы и коэффициенты регрессии в приведенных представлениях (4.14) и (4.15) связаны между собой с помощью соответствующих средних и дисперсий следующими соотношениями:

h = ак =рк—, аа =у-а1х, -...-а„х» .

<*х о"*

Коэффициент множественной корреляции можно найти через коэффициенты парной корреляции между факторами и результативным показателем и бета-коэффициенты по формуле

Я2=рУ/-0|+... + /Э„то,,.

Интерпретация коэффициентов и статистик: а„ — как правило, не интерпретируется;

коэффициент регрессии ак выражает средний прирост результативного показателя, обусловленный приростом факторного признака Хк на единицу (имеются в виду единицы измерения, в которых измерены показатели в модели);

квадрат коэффициента множественной корреляции (D = R1) называется коэффициентом детерминации и характеризует долю вариации зависимой переменной у, которая объясняется действием включенных в модель факторных признаков (например, D = 0,64 означает, что 64\% вариации объясняется включенными в модель факторами, а 36\% — другими причинами, т.е. факторами, не представленными в модели);

бета-коэффициент характеризует степень влияния вариации соответствующего фактора на вариацию результативного показателя; он является относительным показателем, и его абсолютное значение не превосходит единицу.

В анализе активно применяется коэффициент эластичности, показывающий, на сколько процентов изменяется в среднем результативный показатель у при изменении фактора хь на один процент, и рассчитываемый по формуле

Хк

У

Коэффициенты регрессии в (4.14) несопоставимы между собой, а ^-коэффициенты уже сопоставимы. Поэтому для аналитика именно стандартизованное представление уравнения регрессии имеет особую значимость, поскольку позволяет дать сравнительную характеристику значимости факторов: чем больше значение ^-коэффициента, тем более существен фактор с позиции влияния его на результативный показатель. Бета-коэффициенты могут использоваться для установления нормативов, разработки весовых коэффициентов при конструировании различных сложных аналитических показателей (например, уровень научно-технического прогресса).

Для примера приведем последовательность расчетных формул при построении линейной двухфакторной зависимости, если имеется « наблюдений результативного признака у и факторных признаков х и xf.

а) в натуральном масштабе:

у = а0 + а1х, +а2х2; (4.16)

б) в стандартизованном масштабе:

'„ = А-ч+А-'2(4.17)

Коэффициенты регрессии для представления (4.16) находятся с помощью системы нормальных уравнений (чтобы не загромождать запись, индекс к , по которому идет суммирование у результативного и факторных признаков, подразумевается, но не приводится; к = 1,2, и).

п-а0 +а2^х2 =Ху;

к к к

к к к к

<hJ,x2+alJ4xlx2+a2Jtx^=J4yx2.

к к к к

Бета-коэффициенты могут быть найдены из следующей системы:

{Рі+ПіРг-Пя', гпв + в2=Па,

где rot — коэффициент парной корреляции между у и х ; г02 — коэффициент парной корреляции между у и х2; г2 — коэффициент парной корреляции между Х и х2.

Напомним, что можно ограничиться решением лишь одной из приведенных систем уравнений, поскольку переменные и параметры в (4.16) и (4.17) связаны следующими соотношениями:

оу аХ{ аХ2 ау ау

где среднее квадратическое и средняя арифметическая, например, для у находятся по формулам:

В качестве упражнения предлагаем читателю составить условный пример нахождения зависимости между выработкой в целом по предприятию (результативный показатель) и двумя факторными признаками — фондовооруженностью (величина основных средств на одного оперативного работника) и долей оперативных работников в обшей численности, если имеются данные по п предприятиям.

Необходимо отметить, что в экономических исследованиях корреляционный и регрессионный анализы нередко объединяются в один — корреляционно-регрессионный анализ. Подразумевается, что в результате такого анализа будет построена регрессионная зависимость (т.е. проведен регрессионный анализ) и рассчитаны коэффициенты ее тесноты и значимости (т.е. проведен корреляционный анализ). В известном смысле корреляционная связь носит более общий характер, поскольку она не предполагает наличия зависимости «причина — следствие».

Практическая реализация корреляционно-регрессионного анализа включает следующие этапы:

а) качественный анализ (постановка задачи и выбор результативного

и факторных признаков);

б) сбор информации и ее первичная обработка (группировки, исключение аномальных наблюдений, проверка нормальности одномерных распределений);

в) определение вида модели (по возможности строятся аналитические

группировки и графики; чаще всего предпочтение изначально отдается

линейной модели; при наличии персонального компьютера могут быть

построены несколько видов моделей);

г) проверка однородности совокупности (наиболее простой вариант

действий таков: по каждому признаку рассчитывается коэффициент вариации; совокупность признается однородной по данному признаку, если

значение коэффициента вариации не превосходит 33\%; если данное условие не выполнено, следует повторить процедуру отсеивания наблюдений

с аномальными значениями признака);

д) проверка нормальности распределений признаков (например, путем расчета показателей асимметрии и эксцесса);

е) отбор факторов в модель, имея в виду, что число наблюдений должно, как минимум, в 6—8 раз превосходить число факторов в модели;

ж) устранение мультиколлинеарности (взаимозависимости) факторов

и уточнение набора показателей (наиболее простой вариант действий таков: рассчитываются парные коэффициенты корреляции по всем анализируемым признакам; любые два фактора не могут одновременно включаться в модель, если они связаны между собой теснее, чем каждый из них

с результативным показателем; иными словами, два фактора включаются

в модель, если для абсолютных значений парных коэффициентов корреляции одновременно выполнены неравенства roi > r-,j и r0j > r$ , где г у —

коэффициент корреляции между факторными признаками, г0, — коэффициент коррелляции между /-м фактором и результативным показателем;

в противном случае в модель включается лишь один из этих двух факторов — тот, который более тесно связан с результативным признаком);

з) построение уравнения регрессии с помощью системы нормальных

уравнений;

и) проверка значимости полученного уравнения (расчет коэффициента множественной корреляции и других статистик);

к) оценка результатов анализа и подготовка рекомендаций по их практическому использованию.

Мы привели достаточно подробное изложение процедуры действий в том случае, если построение уравнения регрессии осуществляется без применения технических средств. Если имеется в наличии персональный компьютер или специализированный калькулятор, то большая часть приведенных действий возлагается на техническое средство. Следует отметить, что в среде персональных компьютеров имеются специализированные пакеты, которые выполняют большую часть приведенных действий в полном объеме (например, пошаговый регрессионный анализ позволяет автоматически отсеивать незначимые факторы). Что касается специализированных финансовых калькуляторов, то в этом случае происходит лишь «механический» расчет коэффициентов регрессии и статистик в соответствии с заданными алгоритмами; никаких проверок мультиколлинеарности и отсеивания факторов не делается, т.е. эти процедуры возлагаются на исследователя.

Каким бы способом ни строилось уравнение регрессии, исследователь должен понимать логику его построения и те условности, которые сопровождают этот процесс. Нередко условия проведения корреляционно-регрессионного анализа в полном объеме не выполняются, поэтому следует помнить, что чем существеннее нарушение формальных требований анализа, тем менее приложима полученная модель на практике. Аналитик не должен вводить в заблуждение пользователей результатами своего анализа, поэтому в случае невозможности более или менее обоснованного применения корреляционно-регрессионного анализа следует отказаться от него и воспользоваться другими методами, даже если они выглядят слишком простыми. Сложность — не всегда гарантия качества. Безусловно, многое зависит от цели и условий анализа; достаточно строгое следование формальным предписаниям должно иметь место, например, при тематическом анализе, выполняемом однократно и/или нерегулярно и предполагающем наличие достаточного ресурса по временному, информационному, техническому и другим параметрам. Что касается использования корреляционно-регрессионного анализа для текущего планирования, то в этом случае требования в отношении формальных предпосылок могут быть менее жесткими.

' 4.4.3.

Методы современного факторного анализа

В эту группу входят методы анализа многофакторных зависимостей в условиях, когда факторы существенно коррелируют между собой. Дело в том, что практическое применение классических регрессионных моделей в экономическом анализе сопряжено с необходимостью преодоления ряда трудностей, основная из которых — мультиколлинеарность факторов. Особенность экономического анализа заключается в тесной взаимосвязи и взаимообусловленности показателей, поэтому бездумное и необоснованное включение в регрессионную модель бессистемно отобранных показателей нередко приводит к искусственности модели, невозможности ее использования на практике. Если пытаться следовать формальным требованиям регрессионного анализа в полном объеме, то, например, устранение мультиколлннеарности нередко сводится к отбрасыванию существенно коррелирующих факторов. В этом случае, во-первых, имеет место потеря информации и, во-вторых, анализ чаще всего выхолащивается, в некотором роде теряет смысл, поскольку модель сводится к одноили двухфакторной.

Предположим для примера, что анализируется влияние различных факторов на изменение производительности труда. Среди этих факторов — показатели, связанные с техническим обеспечением производственной деятельности, технологическим уровнем производства, уровнем организации производства, уровнем квалификационной и общеобразовательной подготовки работников и т.п. Все факторы влияют на изменение производительности труда, но вместе с тем они, без сомнения, не являются независимыми друг от друга. В рамках классического корреляционно-регрессионного анализа методом пошаговой регрессии можно отбросить коррелирующие и незначимые факторы, однако не исключено, что модель существенно упростится, причем значимые (по логике) направления (например, факторы, связанные с технологией производства) могут вообще быть не представлены в модели.

Особенность современного факторного анализа заключается в том, что он дает возможность совместной обработки большого числа взаимосвязанных (коррелирующих) факторов. Аппарат современного факторного анализа позволяет свести десятки исходных признаков (факторов) к нескольким обобщенным, которые не наблюдаются непосредственно при исследовании, но, тем не менее, появляются в модели как линейные комбинации исходных признаков и поддаются определенной интерпретации. Важная особенность подобных обобщенных факторов состоит в том, что они не коррелируют между собой и потому их удобно использовать ДЛЯ построения уравнения регрессии.

В зависимости от того, какие исходные признаки входят в обобщенные факторы, последние можно интерпретировать как обобщенные характеристики сложных факторов, каждый из которых, с одной стороны, имманентно присущ изучаемому явлению или процессу, а, с другой стороны, с позиции количественной оценки не сводится к какому-то одному экономически понятному показателю. В качестве примера подобных обобщенных факторов можно привести размер предприятия, его технический уровень, уровень организации труда и т.п. Очевидно, что каждое из приведенных понятий чрезвычайно емко в содержательном плане и вряд ли может быть охарактеризовано каким-то конкретным, очевидным показателем. Например, можно ли отдать предпочтение какому-то одному показателю (величина основных средств, уставный капитал, число работников, объем производимой продукции и т.п.) как характеристике величины предприятия? Ответ вряд ли будет утвердительным.

Методы современного факторного анализа предназначены для решения следующих задач:

отыскание скрытых, но объективно существующих закономерностей между факторами и оценка их влияния на результативные показатели;

описание изучаемого явления значительно меньшим числом обобщенных факторов (например, исходных факторов было 20, а обобщенных — 3—4, ио они объемлют информацию всех или почти всех исходных факторов);

выявление стохастической связи между исходными и обобщенными факторами (например, зависимость между обобщенным фактором «технический уровень предприятия» и частными факторами, его образующими: фондовооруженность, фондообеспеченность и др.);

построение уравнения регрессии на обобщенных факторах (в качестве результатного показателя может использоваться, например, некоторый показатель эффективности финансово-хозяйственной деятельности).

Наибольшее распространение среди методов данной группы получили два: метод главных компонент и собственно современный факторный анализ. Различие между ними заключается в следующем:

современный факторный анализ дает возможность свести исходные факторные признаки к меньшему числу обобщенных факторов (было п исходных факторных признаков, а в результате преобразований получается к обобщенных факторов, каждый из которых представляет собой линейную комбинацию исходных признаков, причем к < я);

в методе главных компонент число обобщенных факторов (они и называются главными компонентами) в точности равно числу исходных факторных признаков, но они упорядочены по убыванию вклада каждой компоненты в исходную дисперсию факторов (например, первая компонента учитывает 38\% общей дисперсии, вторая — 26\%, третья — 17\%, четвертая — 9\% и т.д.; для построения уравнения регрессии анаїитик может ограничиться первыми тремя обобщенными факторами, которые в сумме покрывают 81\% дисперсии, т.е. эти факторы в значительной степени объясняют вариацию результативного признака).

Основными недостатками описанных методов являются существенная сложность математического аппарата, необходимость использования для расчетов специализированных пакетов, сложность иитерпретации обобщенных факторов и др. Поэтому методы применяются лишь в тематическом анализе. Подробную характеристику и опыт приложения данных методов можно найти в эконометрической литературе и соответствующих узкоспециализированных монографиях.

4.4.4.

Дисперсионный анализ

Дисперсионный анализ — это статистический метод, позволяющий подтвердить или опровергнуть гипотезу о том, что две выборки данных относятся к одной генеральной совокупности. В применении к анализу деятельности предприятия можно сказать, что дисперсионный анализ позволяет определить, относятся группы разных наблюдений к одной и той же совокупности данных или нет.

Дисперсионный анализ часто используется совместно с методами группировки. Задача его проведения в этом случае состоит в оценке существенности различий между группами. Для этого определяют групповые дисперсии <т,2 и а. а затем по статистическим критериям Стьюдента или Фишера проверяют значимость различий между группами.

4.4.5. Кластерный анализ

Кластерный анализ — один из методов многомерного анализа, предназначенный для группировки (кластеризации) совокупности, элементы которой характеризуются многими признаками. Значения каждого из признаков служат координатами каждой единицы изучаемой совокупности в многомерном пространстве признаков. Каждое наблюдение, характеризующееся значениями нескольких показателей, можно представить как точку в пространстве этих показателей, значения которых рассматриваются как координаты в этом многомерном пространстве. Расстояние между точка-ми р и q, характеризующимися к координатами, определяется как

Основным критерием кластеризации является то, что различия между кластерами должны быть более существенны, чем между наблюдениями, отнесенными к одному кластеру, т. е. в многомерном пространстве долж-i но соблюдаться неравенство

■И- ГР-Ч К Г1-2'

I где гц — расстояние между кластерами 1 и 2.

* Процесс кластеризации, как и процедуры регрессионного анализа, 1 достаточно трудоемок, его целесообразно выполнять на компьютере. ,

4.4.6. Методы обработки пространственно-временных совокупностей показателей

В ходе любого экономического анализа с неизбежностью приходится сталкиваться с информационными массивами в виде совокупностей показателей. В общем виде они подразделяются на три группы:

временная, т.е. ряд динамики (например, динамика доходности акций некоторой компании, динамика запасов товарно-материальных ценностей и др.);

пространственная, т.е. совокупность показателей по группе объектов на определенную дату или за определенный период (например, данные о товарообороте за некоторый период по ряду предприятий);

пространственно-временная, т.е. совокупность показателей по группе объектов за ряд периодов (например, данные о доходности облигаций нескольких эмитентов в динамике); очевидно, что данный тип совокупности показателей обобщает два предыдущих.

Техника аналитической обработки информационных массивов для первых двух ситуаций достаточно проработана и сводится чаще всего к корреляционно-регрессионному анализу. Что касается последней ситуации, то она более сложна как в техническом, так и в процедурном планах. Heft обходимость использования пространственно-временных совокупностей показателей обусловлена следующими основными причинами. Во-первых, очевидно, что такая совокупность более информативна по сравнению с пространственной или временной совокупностями. Во-вторых, как отмечалось выше, для реализации одного из наиболее распространенных методов анализа — корреляционно-регрессионного анализа — нужна совокупность достаточного объема. В экономике достичь этого удается не всегда, например, число объектов анализа может быть естественным образом ограничено сверху (число торговых организаций, регионов, типов ценных бумаг и т.п.). Именно в этом случае и рекомендуется расширять совокупность за счет временного аспекта. В-третьих, статистики, характеризующие закономерности, выявленные в результате обработки пространственно-временных совокупностей, более устойчивы, т.е. полученные формализованные зависимости в большей степени применимы на практике.

Аналитическая обработка подобных информационных массивов осуществляется с помощью специальных методов, которые мы условно назовем статистическими методами обработки пространственно-временных совокупностей показателей. Общая постановка задачи в этом случае такова.

Имеются наборы частных показателей (факторов) за к периодов (чаще всего это годы), представленные в виде матриц

где л:^ — значение і-го показателя дляу-го объекта в f-м периоде, / =1,2, ... , л; j = 1,2,..., w; ( = 1,2,..., к.

Кроме того, задано к векторов значений некоторого результативного показателя:

где г — номер периода, г = 1, 2,... , к;

j — номер предприятия,у = 1, 2,... , т.

Требуется построить модель, которая отражала бы взаимосвязь между факторами и результативным признаком в среднем за к периодов:

y = f(xl,x2,...,x„).

Для количественной обработки пространственно-временных структур в экономической статистике разработан ряд методов.

Метод предварительного усреднения данных заключается в следующем: усредняются исходные данные по каждому показателю и каждому объекту, т.е. если были данные, например, по годам, то после усреднения вместо к матриц значений факторных показателей и к векторов значений результативного показателя получают одну матрицу и один вектор из усредненных по периодам показателей. Иными словами, пространственно-временная совокупность сведена к пространственной, которую можно подвергнуть обычному корреляционно-регрессионному анализу.

Метод обьекто-периодов (заводо-лет) используется, когда исследуемая

совокупность мала по объему: в этом случае весь массив данных рассматривается как одна совокупность, единицами наблюдения которой являются так называемые «объекто-периоды». Далее проводится корреляционно-регрессионный анализ. <:■, ■ '■■■( ■> .,..з^•■■r.vi ■■.{■ущ <>п

Метод усреднения параметров одногодичных уравнений регрессии предусматривает построение уравнения регрессии для каждого года, т.е. формируется к уравнений регрессии; далее простым усреднением параметров этих уравнений (коэффициентов регрессии) находят усредненное уравнение, которое и используется как характеристика связи пространственно-временной совокупности.

Ковариационный анализ, сочетающий свойства дисперсионного анализа, предназначенного для изучения влияния на результативный признак качественных признаков1, и регрессионного анализа, предназначенного для изучения связей количественных признаков, обеспечивает построение по специальным алгоритмам так называемой средней формы уравнения регрессии.

Проведенный О. П. Крастинем сравнительный анализ эффективности применения данных методов показал, что именно ковариационный анализ дает наилучшее усреднение в пространственно-временном аспекте, т.е. уравнение регрессии, полученное по этому методу, более устойчиво, свободно от ряда статистических парадоксов, которые возможны при применении других методов, и, следовательно, дает более достоверное описание закономерной связи, присущей изучаемой совокупности показателей [Крастинь]. Опыт применения ковариационного анализа в различных отраслях народного хозяйства описан в научной литературе, в частности упомянем об исследованиях в области сельского хозяйства [Крастинь] и оценке эффективности научно-технического прогресса в торговле [Ковалев, Смирнов]. В заключение отметим, что все методы этой группы достаточно трудоемки с позиции как информационного обеспечения, так и алгоритмов расчета, поэтому они рекомендуются к применению в тематическом анализе!

Напомним, что дисперсионный анализ позволяет констатировать наличие связи между результативным и факторным признаками, но в формализованном виде эту связь не устанавливает.