Глава 2. риск и доходность

Глава 2. риск и доходность

Анализ доходности и риска активов в портфеле

Ожидаемая доходность портфеля — набора активов представляет собой взвешенную среднюю из показателей ожидаемой доходности отдельных активов, входящих в данный портфель:

Яр = X х-, а,-, (2.1)

где ар — ожидаемая доходность портфеля; хі — доля

стоимости портфеля, инвестированная в /-й актив; щ — ожидаемая доходность /-го актива; / — порядковый номер актива, п — число активов в портфеле; значком X обозначено суммирование по всем п активам.

Пример. Ожидаемая доходность акций А, которые образуют 40\% стоимости портфеля, составляет 10\%, а акций В, образующих оставшиеся1 60\% портфеля, — 20\%. По формуле (2.1) определяем ожидаемую доходность портфеля, которая составит: ар = 0,40 • 10\%+ 0,60 • 20\% = 16\%.

Риск портфеля в большинстве случаев меньше риска входящих в его состав активов. Для измерения риска портфеля необходимо вычислять среднее квадратическое отклонение его доходности. При дискретном распределении доходности его легко может подсчитать, определив дисперсию доходности портфеля следующим образом:

l&pt-aP)2-Pi> (2-2)

i=-f-m

где Стр2 — дисперсия доходности портфеля; Ор — среднее квадратическое отклонение доходности портфеля; ар — ожидаемая доходность портфеля; а . — ожидаемая доходность портфеля при /-м состоянии экономики; Р{ — вероятность /-го состояния экономики; т — число возможных

состояний экономики; значком X обозначено сумми/=1+/я

рование по всем т возможным состоянием экономики.

Ковариация и коэффициент корреляции являются основными понятиями, используемыми для анализа риска портфеля. Напомним, ковариация — это мера, учитывающая дисперсию, или разброс индивидуальных значений доходности акции либо других активов, и силу связи между изменением доходности данной акции и других акций. Например, ковариация между акциями Ли В показывает, существует ли взаимосвязь между увеличением или уменьшением значения доходности этих акций, а кроме того, силу этой взаимосвязи. Ковариация рассчитывается так:

Cov{A, В) = £ (aAi -аА). (аш ав) ■ Ph (2.3) /=1+я

где Cov {А, В) — ковариация доходности акций А относительно доходности акций В; аА — ожидаемая доходность акций A; aAi — ожидаемая доходность акций А при /-м состоянии экономики; ав — ожидаемая доходность акций В; ат — ожидаемая доходность акций В при і-м состоянии экономики; Р. — вероятность /-го состояния экономики; п — число возможных состояний экономики.

Содержательно интерпретировать численное значение ковариации довольно сложно, поэтому для измерения силы связи между двумя переменными используется другая статистическая характеристика, называемая коэффициентом корреляции. Напомним, что корреляцией называется тенденция двух переменных к совместному изменению. Сила этой тенденции и измеряется с помощью коэффициента, который лежит в пределах от +1,0 (что означает тождественное изменение переменных) до —1,0 (что означает изменение значений двух переменных абсолютно противоположным образом). Равенство коэффициента корреляции нулю указывает отсутствие связи между переменными. Коэффициент корреляции между переменными А и В рассчитывается следующим образом:

гАВ =Cov(A,B)/aAaB, (2.4)

где rA в — коэффициент корреляции между доходностью акций А и В; аА — среднее квадратическое отклонение доходности акций А; ав — среднее квадратическое отклонение доходности акций В.

Пример. В табл. 2.1 приведены экспертные оценки распределения вероятностей доходности акций А и В. По формуле (2.3) посчитаем ковариацию между акциями Аи В:

Cov(A,В) = (6-10) (14-10) 0,1 + (8-10) (12-10)-0,2 + +(10-10) (10-10) 0,4 + (12-10)-(8-10) 0,2 + + (14 -10) (6 -10) 0,1

По формуле (2.4) подсчитываем коэффициент корреляции между доходностью акций А и В: гАВ =—4,8/ /(2,2 • 2,2) = -1,0.

Полученный результат свидетельствует о том, что между доходностью рассматриваемых акций существует тесная отрицательная связь — рост доходности акций А происходит при падении доходности акций В.

Теоретически можно подобрать две акции, каждая из которых имеет определенный уровень риска, характеризуемый показателем среднего квадратического отклонения, и составить из этих рисковых активов портфель, который окажется абсолютно безрисковым, т.е. имеющим а/; = 0. Для этого нужно прежде всего, чтобы гАВ = —1,0. Практически это невозможно.

Применение компьютеров и глобальной сети. Для вычисления ковариации и коэффициента корреляции двух переменных, как и для вычисления дисперсии и среднего квадратического отклонения одной переменной величины, можно использовать фактические данные — имеющиеся временные

ряды данных о доходности активов для получения объективных, а не субъективных оценок. Здесь мы не будем приводить формулы для таких расчетов, поскольку на практике определение статистических характеристик выполняется на персональных компьютерах в автоматическом режиме. Обычно используют электронные таблицы, из которых наиболее популярными в настоящее время являются Microsoft Excel, а также специальные статистические пакеты. Они содержат средства обработки данных, позволяющие буквально в считанные секунды определять различные простые статистические характеристики. Временные ряды показателей, характеризующих различные финансовые инструменты на различных российских и иностранных рынках, легко можно найти в сетевых ресурсах Интернета.

Портфель, состоящий из нескольких активов. Если распределения доходности отдельных ценных бумаг являются нормальными, то для определения риска портфеля, состоящего из нескольких активов, используют следующую формулу:

°Р2= X Х/20/2+ £ £ Xj Xj О/ Gj -Гц, (2.5)

; = 1+и /=1+и j=+n

где ар — дисперсия доходности портфеля; ор — среднее квадратическое отклонение доходности портфеля; х(. и Xj — доли 1-го и У-го активов в портфеле; о-, и ау — средние квадратические отклонения доходности /-го и у-го активов; п — число возможных состояний экономики; значками X и X обозначено суммирование по всем п

активам, причем во втором слагаемом * ф j; г^ — коэффициент корреляции между доходностью актива і и актива j.

В случае двух активов в портфеле формула (2.5) примет следующий вид:

с 2 = х2 ■ а а2 + (1 х)2 ■ с в2 + 2 ■ х ■ (1 х) • аА ■ ав ■ гАВ. (2.6)

Эффективные портфели

Выбор эффективных портфелей, т.е. таких портфелей, которые обеспечивают максимальную ожидаемую доходность

зо

при определенном уровне риска или минимальный уровень риска для определенной ожидаемой доходности, является важной задачей финансового менеджмента. При решении этой задачи учитывают статистические взаимосвязи доходности активов.

Пример. Необходимо вложить капитал в ценные бумаги А к В, причем распределение капитала между этими ценными бумагами может быть любым. Ожидаемая доходность

ценной бумаги А аА-