2.2. процентные ставки
2.2. процентные ставки
Простая процентная ставка наращения
—
Простая процентная ставка наращения — это ставка, при которой база начисления всегда остается постоянной.
Проценты / за весь срок ссуды вычисляются по формуле
I = Pni, (2.2)
где п — срок ссуды в годах;
/ — простая годовая ставка наращения (десятичная дробь).
Подставив выражение для процентов (2.2) в соотношение (2.1) получим формулу наращенной суммы ссуды с использованием простых процентов:
S = P(l+w). (2.3) Множитель q = (1+ пі) называется множителем наращения простых процентов.
t> Пример 2.1. Ссуда в 25 ООО руб. выдана на срок 0,7 года под простые проценты 18\% годовых.
Определить проценты и наращенную сумму.
Решение. Рассчитаем проценты и наращенную сумму по формулам (2.2), (2.1):
/ = Pni = 25 ООО • 0,7 • 0,18 = 3150 руб. S = P + /=25000 + 3150 = 28 150руб. ►
Срок ссуды рассчитывается по формуле
t
П = 5
К
где t — число дней ссуды;
К — временная база или число дней в году.
В зависимости от принятой методики используют два типа временных баз: К = 360 — обыкновенные проценты; К = 365 (366) — точные проценты.
Сложные процентные ставки наращения
Сложная процентная ставка наращения — это ставка, при которой база начисления является переменной, т.е. проценты начисляются на проценты.
Предположим, что мы имеем Р руб., которые можно инвестировать по процентной ставке наращения /. Через один год мы будем иметь Р(1 + /) руб. Если повторить этот процесс, инвестировав ^сю сумму Р(1 + 0, то к концу второго года будем иметь сумму, равйую [Р(1 + /)](1 4/)] = ^(1 + j)2. Продолжая процесс, видим, что показатель степени в формуле для наращенной суммы равен количеству лет наращения. Положив это число равным я, получим формулу сложных процентов:
5 = Д1+*У, (2.4)
О Пример 2.2. Какой величины достигнет долг, равный 6000 руб., через 4 года при росте по сложной ставке наращения 18,5\% годовых? Решение. 5 = Р( + if = 6000 • (1 + 0,185)4 = 11 831,09 руб. ►
t> Пример 2.3. Какой величины достигнет долг, равный 8000 руб., через 4,6 года при росте по сложной ставке наращения 20\% годовых? Решение. S=P(+i)n = 8000 • (1 + 0,2)4-6 = 18 506,48 руб. ►
При дисконтировании вычисляют современную стоимость будущего платежа. Другими словами, находят современное Р будущего платежа 5, который будет выдан через срок п по ставке дисконтирования /. Используя формулы для наращения, получим соотношения дисконтирования для рассмотренных типов (простых и сложных) процентов:
Р=Т7^ <2-5> р=-^г' <2б>
Множители v = —і—; v = —-— называются дисконтными множи1 + ш (1 + zY1
телями. v '
Разность
D = S-P (2.7) называется дисконтом с суммы S.
О Пример 2.4. Через 159 дней должник уплатит 8,5 тыс. руб. Кредит выдан под простые проценты 19\% годовых.
Какова первоначальная сумма долга и дисконт при условии, что временная база равна 360 дням?
Решение. Первоначальную сумму долга рассчитаем по формуле (2.5):
Р = —= 7841,93 руб.
1 + — 0,19 360
Величина дисконта в соответствии с (2.7) составит: D = 8500-7841,93 = 658,07 руб. ►
[> Пример 2.5. Сумма 12 ООО руб. выплачивается через два года. Сложная ставка процентов — 16\% годовых.
Определить современную стоимость.
Решение. Рассчитаем современную стоимость по формуле (2.6):
Р = 120002 =8917,95РУб. ► (1 + 0,1 б)2
Таким образом, проценты и дисконт вычисляются по формулам I=S — PwD^S — Р. Эти формулы не отличаются по форме, но различны по содержанию.
Учетные ставки
При расчете характеристик, например, кредита или инвестиций используются ставки наращения, а при учете векселей — учетные ставки.
Учетными называются ставки, используемые при учете векселей.
Банк может учесть вексель до наступления срока платежа с дисконтом, т.е. купить его у владельца по цене, которая меньше номинала 5, указанного в векселе. Размер дисконта при учете по простой учетной ставке определяется по формуле
D = Snd9 (2.8)
где d — простая учетная ставка;
п — срок от момента учета до момента погашения.
Подставив (2.8) в соотношение D = S — Р, получим формулу для расчета суммы, выплачиваемой владельцу векселя при учете по простой процентной ставке:
P = S(-nd). (2.9)
Множитель (1 — nd) называется дисконтным множителем.
[> Пример 2.6. Вексель, имеющий номинальную стоимость 8000 руб., учтен в банке по простой учетной ставке 18,5\% годовых за 132 дня до его погашения.
Определить сумму, полученную владельцем векселя при учете. Решение. Р = 5(1-wt/) = 8000 (1 -0,185'132/360) = 7457,33 руб. ►
При использовании сложной учетной ставки каждый раз эта ставка применяется не к первоначальной сумме, как при простой учетной ставке, а к сумме уже дисконтированной на предыдущем шаге во времени. Поэтому сумма, выдаваемая банком при учете векселя, рассчитывается по формуле
P = S(l-d) (2.10) где d — сложная учетная ставка.
О Пример 2.7. Вексель на сумму 20 000 руб., срок платежа по которому наступает через 1,8 года, учтен по сложной процентной ставке 18\% годовых.
Определить сумму, полученную владельцем векселя при учете, и дисконт.
Решение. Сумму, полученную владельцем векселя при учете, рассчитаем по формуле (2.10):
Р = 20 000 • (1 0,18)18 = 13 992,49 руб.
Величина дисконта при ежегодном дисконтировании в соответствии с (2.7):
D = 20 000 13 992,49 = 6007,51 руб. ►
Определение доходности финансовой операции
Рассмотрим следующую задачу. Пусть инвестируются Р руб. Через п лет инвестор получит S руб. Определить доходность финансовой операции в виде сложной процентной ставки.
Для решения этой задачи необходимо определить процентную ставку наращения из формулы (2.4):
I
t> Пример 2.8. Финансовый инструмент куплен за 25 000 руб., его выкупная цена через 1,8 года составит 35 000 руб.
Определить доходность операции в виде годовой сложной процентной ставки наращения.
Решение.
і JL 35 000>,8
25 000
-1 = 0,2055417, или 20,55\%. ^
В общем случае доходность финансовой операции может быть задана в виде любой другой ставки из рассмотренных выше. А инвестору важно знать доходность в виде сложной процентной ставки. Для пересчета доходностей используется понятие эквивалентных процентных ставок.
Эквивалентные процентные ставки
Эквивалентными процентными ставками называются любые две ставки, которые при замене одной на другую приводят к одинаковым финансовым результатам, т.е. отношения сторон не изменяются в рамках одной финансовой операции.
Определим соотношения эквивалентности между простой и сложной процентными ставками наращения. При этом полагаем, что начальные и наращенные суммы при применении рассматриваемых ставок одинаковы. Поэтому для решения поставленной задачи приравняем множители наращения друг к другу. В результате получим
1+ш = (1+а)я, (2.12)
где і — простая процентная ставка наращения; a — сложная процентная ставка наращения; и — срок операции в годах.
Решив уравнение (2.12) относительно а и /, получим
а = ^1 + я/-1; (2.13)
. = 0±^-1. (2Л4) п
Обсуждение Финансовый менеджмент
Комментарии, рецензии и отзывы