2.3. денежные потоки. аннуитеты
2.3. денежные потоки. аннуитеты
Потоки платежей — это платежи, последовательные во времени (например, выплаты по купонам облигаций, пенсии и т.д.).
Регулярным потоком платежей (финансовой рентой, аннуитетом) называются платежи, у которых все выплаты направлены в одну сторону (например, поступления), а интервалы (периоды) между платежами одинаковы.
Нерегулярным потоком платежей называются платежи, у которых часть выплат являются положительными величинами (поступления), а другая часть — отрицательными величинами (выплаты сторонним организациям).
Интервалы между платежами в этом случае могут быть не равны друг другу.
Наращенная сумма потока платежей — это сумма всех выплат с начисленными на них к концу срока сложными процентами.
Современная стоимость потока платежей — это сумма всех выплат, дисконтированных на начало срока этого потока по сложной процентной ставке.
Рассмотрим общий случай потока платежей. Пусть
Rk — ряд платежей, имеющих знак «+» или «-»; tk — время выплаты под номером к = 1, 2, К; К — количество выплат; tK — общий срок выплат;
і — сложная процентная ставка наращения, начисляемая один раз в году;
а выплаты производятся в конце периода (рис. 2.1).
R R2 R3 Rk Rk
і 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ►
О г, t2 h tk tK t
Рис. 2.1
В соответствии с определением наращенная сумма такого потока платежей рассчитывается по формуле
5=£л*0 + 0'*-'*. (2.15)
Современная стоимость потока платежей определяется соотношением
^ttV <2Л6>
D> Пример 2.9. Имеется следующий график платежей во времени:
1 января 2003 г. — 20 тыс. руб.;
1 июля 2003 г. — 30 тыс. руб.;
1 января 2004 г. — 10 тыс. руб.;
1 января 2005 г. — 40 тыс. руб.
Определить сумму задолженности на 1 января 2005 г. и ее современную стоимость на момент выплаты первой суммы при ставке наращения 15\% годовых.
Решение. Схематично график платежей представлен на рис. 2.2.
і 1 1 1 f
20 000 30 000 10 000 40 000 '
01.01.2003 01.07.2003 01.01.2004 01.01.2005
Рис. 2.2
Наращенную сумму при ставке наращения 15\% годовых определим по формуле (2.15):
S =(201,152 + 301,15і'5 + 101,15 + 40)1000 = 114 947,13 руб.
Современная стоимость потока платежей в соответствии с (2.16):
А =
1,150'5 1,15 1,152
1000 = 86916,54 руб. ►
При вычислении наращенной суммы и современной стоимости потоков платежей нужно пользоваться только схемой с исходными данными (см. рис. 2.1, 2.2), формулой (2.4) для сложной процентной ставки наращения и формулой (2.6) для дисконтирования по сложной ставке.
Годовая постоянная рента
Постоянной называется рента, выплаты которой не изменяются во времени.
По моменту выплат в пределах между началом и концом периода ренты делятся на следующие типы:
постнумерандо (обыкновенные), когда выплаты производятся в конце периода;
пренумерандо, когда выплаты производятся в начале периода;
ренты с платежами в середине периода.
Наращенная сумма годовой ренты к концу срока вычисляется по формуле
S = (2.17)
0 + 0"-1
где sn;i = ; — коэффициент наращения ренты, табулированная
1 функция.
Современная стоимость годовой ренты
A = Ra,
(2.18)
1-0+0
коэффициент приведения ренты, табулированная функция.
D> Пример 2.10. В фонд ежегодно в конце года поступают средства по 10 ООО руб. в течение семи лет, на которые начисляются проценты по ставке 15\% годовых.
Определить коэффициенты наращения и приведения ренты, а также величину фонда на конец срока и его современную стоимость.
Решение. Коэффициент наращения ренты находится по формуле
(l + 0--l,U5^1=11>066799 / 0,15
Наращенная сумма в соответствии с (2.17):
S= 10 00011,066799 = 110 667,99 руб.
Коэффициент приведения ренты
Современная стоимость определяется соотношением (2.18): А = 10000-4,16042 = 41 604,2 руб. ►
р-срочная рента с начислениями процентов несколько раз в году
Если выплаты производятся р раз в году, то такая рента называется р-срочной, или рентой с неоднократными выплатами в году.
Разовая выплата такой ренты равна R/p, где R — годовая выплата.
При начислении процентов т раз в году ставку наращения называют номинальной. Обозначим номинальную ставку через у.
Наращенная сумма /ьсрочной ренты с начислениями процентов несколько раз в году вычисляется по формуле
S = Rs(p)
(2.19)
где
Лр)
тп; j/m
/ . тп
Н) иг
(2.20)
— коэффициент наращения ренты. Современная стоимость
A = Ra(p) ., ,
тп; jjmy
(2.21)
где
тп; j/m
HI
(2.22)
т
— коэффициент приведения ренты.
t> Пример 2.11. В фонд ежегодно поступают средства по 10 ООО руб. в течение семи лет, на которые начисляются проценты по ставке 15\% годовых, причем выплаты производятся в конце квартала, а проценты начисляются ежемесячно.
Определить коэффициенты наращения и приведения ренты, а также величину фонда на конец срока и его современную стоимость.
Решение. Коэффициент наращения ренты находим по формуле (2.20):
s(p)
тп; j/m
o^f7 1
12 J
0Л5^4 12 , = 12,10876.
Наращенная сумма исходя из формулы (2.19):
5= 10 000 • 12,10876= 121 087,6 руб.
Коэффициент приведения ренты находим по формуле (2.22):
Обсуждение Финансовый менеджмент
Комментарии, рецензии и отзывы