2.3. денежные потоки. аннуитеты

2.3. денежные потоки. аннуитеты

Потоки платежей — это платежи, последовательные во времени (например, выплаты по купонам облигаций, пенсии и т.д.).

Регулярным потоком платежей (финансовой рентой, аннуитетом) называются платежи, у которых все выплаты направлены в одну сторону (например, поступления), а интервалы (периоды) между платежами одинаковы.

Нерегулярным потоком платежей называются платежи, у которых часть выплат являются положительными величинами (поступления), а другая часть — отрицательными величинами (выплаты сторонним организациям).

Интервалы между платежами в этом случае могут быть не равны друг другу.

Наращенная сумма потока платежей — это сумма всех выплат с начисленными на них к концу срока сложными процентами.

Современная стоимость потока платежей — это сумма всех выплат, дисконтированных на начало срока этого потока по сложной процентной ставке.

Рассмотрим общий случай потока платежей. Пусть

Rk — ряд платежей, имеющих знак «+» или «-»; tk — время выплаты под номером к = 1, 2, К; К — количество выплат; tK — общий срок выплат;

і — сложная процентная ставка наращения, начисляемая один раз в году;

а выплаты производятся в конце периода (рис. 2.1).

R R2 R3 Rk Rk

і 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ►

О г, t2 h tk tK t

Рис. 2.1

В соответствии с определением наращенная сумма такого потока платежей рассчитывается по формуле

5=£л*0 + 0'*-'*. (2.15)

Современная стоимость потока платежей определяется соотношением

^ttV <2Л6>

D> Пример 2.9. Имеется следующий график платежей во времени:

1 января 2003 г. — 20 тыс. руб.;

1 июля 2003 г. — 30 тыс. руб.;

1 января 2004 г. — 10 тыс. руб.;

1 января 2005 г. — 40 тыс. руб.

Определить сумму задолженности на 1 января 2005 г. и ее современную стоимость на момент выплаты первой суммы при ставке наращения 15\% годовых.

Решение. Схематично график платежей представлен на рис. 2.2.

і 1 1 1 f

20 000 30 000 10 000 40 000 '

01.01.2003 01.07.2003 01.01.2004 01.01.2005

Рис. 2.2

Наращенную сумму при ставке наращения 15\% годовых определим по формуле (2.15):

S =(201,152 + 301,15і'5 + 101,15 + 40)1000 = 114 947,13 руб.

Современная стоимость потока платежей в соответствии с (2.16):

А =

1,150'5 1,15 1,152

1000 = 86916,54 руб. ►

При вычислении наращенной суммы и современной стоимости потоков платежей нужно пользоваться только схемой с исходными данными (см. рис. 2.1, 2.2), формулой (2.4) для сложной процентной ставки наращения и формулой (2.6) для дисконтирования по сложной ставке.

Годовая постоянная рента

Постоянной называется рента, выплаты которой не изменяются во времени.

По моменту выплат в пределах между началом и концом периода ренты делятся на следующие типы:

постнумерандо (обыкновенные), когда выплаты производятся в конце периода;

пренумерандо, когда выплаты производятся в начале периода;

ренты с платежами в середине периода.

Наращенная сумма годовой ренты к концу срока вычисляется по формуле

S = (2.17)

0 + 0"-1

где sn;i = ; — коэффициент наращения ренты, табулированная

1 функция.

Современная стоимость годовой ренты

A = Ra,

(2.18)

1-0+0

коэффициент приведения ренты, табулированная функция.

D> Пример 2.10. В фонд ежегодно в конце года поступают средства по 10 ООО руб. в течение семи лет, на которые начисляются проценты по ставке 15\% годовых.

Определить коэффициенты наращения и приведения ренты, а также величину фонда на конец срока и его современную стоимость.

Решение. Коэффициент наращения ренты находится по формуле

(l + 0--l,U5^1=11>066799 / 0,15

Наращенная сумма в соответствии с (2.17):

S= 10 00011,066799 = 110 667,99 руб.

Коэффициент приведения ренты

Современная стоимость определяется соотношением (2.18): А = 10000-4,16042 = 41 604,2 руб. ►

р-срочная рента с начислениями процентов несколько раз в году

Если выплаты производятся р раз в году, то такая рента называется р-срочной, или рентой с неоднократными выплатами в году.

Разовая выплата такой ренты равна R/p, где R — годовая выплата.

При начислении процентов т раз в году ставку наращения называют номинальной. Обозначим номинальную ставку через у.

Наращенная сумма /ьсрочной ренты с начислениями процентов несколько раз в году вычисляется по формуле

S = Rs(p)

(2.19)

где

Лр)

тп; j/m

/ . тп

Н) иг

(2.20)

— коэффициент наращения ренты. Современная стоимость

A = Ra(p) ., ,

тп; jjmy

(2.21)

где

тп; j/m

HI

(2.22)

т

— коэффициент приведения ренты.

t> Пример 2.11. В фонд ежегодно поступают средства по 10 ООО руб. в течение семи лет, на которые начисляются проценты по ставке 15\% годовых, причем выплаты производятся в конце квартала, а проценты начисляются ежемесячно.

Определить коэффициенты наращения и приведения ренты, а также величину фонда на конец срока и его современную стоимость.

Решение. Коэффициент наращения ренты находим по формуле (2.20):

s(p)

тп; j/m

o^f7 1

12 J

0Л5^4 12 , = 12,10876.

Наращенная сумма исходя из формулы (2.19):

5= 10 000 • 12,10876= 121 087,6 руб.

Коэффициент приведения ренты находим по формуле (2.22):