2.4. оценка характеристик аннуитетов

2.4. оценка характеристик аннуитетов

Параметры рент определяют в том случае, когда заданы все параметры этой ренты, включая наращенную сумму или современную стоимость, кроме одного. Этот неизвестный параметр и подлежит определению.

При определении величины годовой выплаты ренты используются полученные выше формулы для расчета наращенной суммы (2.19) и современной стоимости различных рент (2.21). При этом должны быть заданы все параметры ренты кроме годовой выплаты. Для /ьсрочной ренты с начислением процентов т раз в году величина годовой выплаты определяется по формулам:

»- s .

R~JF) ' (2.23)

тп; j/m

R~~[i) ' (2.24)

тп; j/m

где S и А — наращенная сумма и современная стоимость ренЛр) . Лр) mn;j/m' mn;j/m

ты соответственно;

— коэффициенты наращения и приведения ренты

соответственно;

р — количество выплат в году;

т — количество начислений процентов в году;

j — номинальная процентная ставка;

п — срок ренты в годах.

t> Пример 2.12. В фонд ежегодно в конце периода поступают средства в течение семи лет, на которые начисляются проценты по ставке 15\% годовых, причем выплаты производятся поквартально, а проценты начисляются ежемесячно (раз в году). Наращенная сумма к концу срока составит 100 тыс. руб.

Определить коэффициент наращения ренты и годовую выплату. Решение. Коэффициент наращения ренты при поквартальных выплатах и начислении процентов ежемесячно находится по формуле (2.20):

s(p)

тп j/m

12-7

0,15 12

12/4

0Л5 12 J = 12,10876.

Коэффициент наращения ренты при поквартальных выплатах и начислении процентов раз в году (т = 1) определяется модифицированной формулой (2.20) при т = 1:

(Р) (1 + /У-1 _ (1 + 0,15)7-1

si. =

+ 4{(l + 0,15),/4-l]

= 11,67118.

Годовые выплаты при начислении процентов ежемесячно в соответствии с (2.23) составят

R

= 8258,48 руб.

12,10876

Годовые выплаты при начислении процентов раз в году

Д =

100 000

s(p) 11,67118

:8568,11руб. ^

В практической деятельности возникают задачи определения срока ренты при прочих известных параметрах. Срок ренты определяется из формул для наращенной суммы и современной стоимости ренты (2.19)—(2.22). Для наиболее общего случая постоянной ренты с начислением процентов по номинальной процентной ставке и неоднократными выплатами в году при известной наращенной сумме формула для определения срока имеет вид

п =

НТ

+ 1

(2.25)

win 1 +

т

При расчете по формуле (2.25) срок получается, как правило, дробным. Поэтому количество периодов пр округляется до целого числа. Затем уточняется значение разового платежа по формуле

1 + (2.26)

-1

t> Пример 2.13. В фонд поступают средства, на которые начисляются проценты по ставке 15\% годовых, причем выплаты производятся в конце каждого квартала, а проценты начисляются ежемесячно. Величина фонда на конец срока составит 100 тыс. руб., годовая выплата — 10 тыс. руб. Определить срок ренты.

Решение. Срок ренты находится по формуле (2.25):

In

п =

10^ 104 .4.

12

+ 1

In 2,518828 12-In 1,0125 = 6,197 лет.

Количество кварталов в полученном сроке составит пр = 6,197 • 4 = = 24,788. Округляем полученное число до 25, т.е. количество лет ренты принимается равным 6,25. Подставив данное значение в формулу (2.26) дня расчета разовой выплаты, получим величину ежеквартальной выплаты:

12

*=105.

1+

0,15 12

12-6,25

1

= 2467,56 руб. ^

При известной современной стоимости ренты имеем

п = -

НТ

(2.27)

Формула для уточнения величины разового платежа

, 1 +

1

1-І 1 + ^-m

(2.28)

Важной проблемой при анализе потоков платежей является задача расчета процентной ставки ренты. Если известны все параметры ренты кроме процентной ставки, то расчет процентной ставки можно трактовать как определение доходности финансовой операции. Процентная ставка определяется из соотношений для расчета наращенной суммы и современной стоимости. В отличие от определения годовой выплаты ренты или ее срока, выражение для расчета процентной ставки, как правило, нельзя представить в виде формулы. Поэтому процентную ставку ренты рассчитывают цифровыми способами. Рассмотрим один из способов, называемый методом Ньютона—Рафсона.

где / — номер итерации (шага); f(x) — производная функции f(x).

Для годовой ренты наращенная сумма определяется формулой

* 0 + 0"-' (2.29)

R і

Искомые функции для годовой ренты имеют вид

/(*) = *"-fx+4-I; (2.30)

К к

f{x) = m*-l-j9 (2.31)

где X = 1 + /.