7.2. метод монте-карло

7.2. метод монте-карло

Для учета влияния неопределенности на эффективность проекта используется способ имитационного моделирования. Одним из методов имитационного моделирования является метод Монте-Карло. Для анализа имитационных моделей могут быть использованы современные ЭВМ.

Описание метода Монте-Карло появилось в 1949 г. Название методу дал известный своими казино город Монте-Карло в княжестве Монако, так как именно рулетка является простейшим механическим прибором по реализации процесса получения случайных чисел, используемых в данном методе.

При использовании метода Монте-Карло строится математическая модель результирующего показателя как функции от переменных и параметров. Математическая модель пересчитывается при каждом новом имитационном эксперименте, в течение которого значения основных неопределенных переменных выбираются случайным образом на основе генерирования случайных чисел. Результаты всех имитационных экспериментов объединяются в выборку и анализируются с помощью статистических методов с целью получения распределения вероятностей результирующего показателя и определения статистических параметров объекта.

73. Коэффициент бета

Широкое применение при анализе характеристик инвестиционного проекта и ценных бумаг нашел коэффициент бета. Этот коэффициент вводится как одна из характеристик портфеля ценных бумаг и используется для оценки р#ска различных активов.

Определение коэффициента бета

При использовании показателя рыночного риска для оценки эффективности портфеля применяют апостериорную бету (Р) портфеля, полученную из следующих соображений.

Оценка эффективности портфеля проводится на основе сравнения характеристик портфеля с характеристиками рынка в целом. Пусть временной интервал, на котором оценивается эффективность портфеля, разбит на Т периодов. Например, если временной интервал равен четырем годам, а период — кварталу, то Т= 16. Средняя доходность портфеля за этот интервал времени вычисляется по формуле

1 т 1 /=1

где / = 1,2, Г — номер периода;

aPt t — доходность портфеля за период L

Доходность портфеля сравнивается с доходностью аналогов рыночного портфеля, например, с индексом РТС в России или с индексом S&P 500 (фондовый рыночный индекс Standard & Poor's 500) в США. Эти индексы рассчитываются по формуле взвешенной арифметической средней. Индекс РТС (Российской торговой системы) имеет совокупность компаний, равную 24, базисный момент — 01.09.1995 г., начальное значение — 100. Standard & Poor's 500 имеет совокупность компаний, равную 500, базисный момент — конец 1943 г., начальное значение — 10.

Для анализа портфеля введем следующие обозначения:

аРл t — доходность портфеля за период /;

ат\% t — доходность аналога рыночного портфеля за период t9

at — безрисковая ставка за период /;

Уі ~ Opj — a,-— избыточная доходность портфеля за период ty

xt — amt — Qt — избыточная доходность аналога рыночного портфеля за период t.

Полученные в результате анализа точки можно построить в прямоугольной декартовой системе координат, где по оси абсцисс откладываются значения избыточной доходности аналога рыночного портфеля xh а по оси ординат — значения избыточной доходности портфеля yt (рис. 7.2).

Эти две переменные являются случайными величинами. В теории корреляционно-регрессионного анализа их можно связать соотношением

Уг =/(*/)

где f(xt) = ух — детерминированная функция регрессии от

ех — возмущение в точке xh являющееся случайной величиной.

Обычно считают, что функция регрессии эффективности портфеля является линейной от эффективности рынка, т.е.

/(*/) = Л = аР + Рхп Уг =ар + рх/+єт,

где ар — координата пересечения функции регрессии с осью yt Р = tg 0 — бета портфеля.

Если ар = 0, а угол в = 45°, то характеристики портфеля в среднем соответствуют рыночным, а р = tg 45° = 1.

Расчет коэффициентов регрессии

Если вид функции регрессии определен, например, как линейный (как в предыдущем случае), то остается определить коэффициенты регрессии, являющиеся постоянными величинами. В нашем случае это коэффициенты ар и р. Для этих целей используются различные методы, например, метод наименьших квадратов.

Коэффициенты уравнения регрессии ар и р определяются по формулам

2 -2 Xf -х

<*>р = У-рх>

где

1 Г J Т J Т — 1 Г 2

7 /=1 7 /=1 7 t= 7 /=1

Часто формулу для бета портфеля записывают в виде

где аХчУ — ковариация случайных величин xt и yt;

ах — дисперсия случайной величины xt.

Безопасная рыночная линия

Эффективность управления портфелем может быть оценена с помощью безопасной апостериорной рыночной линии (Security Market Line — SML). Для определения SML полагают ар= 0. Такой портфель называют эталонным. Доходность эталонного портфеля линейным образом зависит от коэффициента бета:

аэт =а+(ат-а)$9

где яэт — средняя за исследуемый период доходность эталонного портфеля; а — средняя за исследуемый период доходность безрискового актива; ат — средняя за исследуемый период доходность рынка.

Вид апостериорной SML показан на рис. 7.3.

Рис. 7.3. Безопасная рыночная линия (Security Market Line — SML)

Одной из мер эффективности управления портфелем является разность между средней доходностью портфеля ар и доходностью эталонного портфеля аЭТ:

dp — ар — аэт. Величина ар называется апостериорной альфа.

Алгоритм построения функции регрессии

Построение функции регрессии портфеля и определение ар — разности между средней доходностью портфеля и доходностью эталонного портфеля — проводится по следующему алгоритму:

составляют таблицы периодических доходностей исследуемого портфеля, рыночного портфеля и безрискового актива;

определяют бета и альфа портфеля;

строят функцию регрессии портфеля;

определяют разность между средней доходностью портфеля и доходностью эталонного портфеля.

7А. Использование коэффициента бета для определения доходности и риска реальных инвестиционных проектов

Коэффициент бета нашел широкое применение не только при анализе ценных бумаг, но и при анализе инвестиций в реальные активы.

Коэффициент бета — мера риска инвестиционного проекта

Как показано выше, доходность актива является линейной функцией от бета. При увеличении бета доходность увеличивается. Аналогичные рассуждения справедливы также для доходности инвестиционного проекта. Известно, что доходность актива увеличивается при увеличении риска. Поэтому коэффициент бета можно трактовать как показатель риска. График зависимости доходности инвестиционного проекта от коэффициента бета представлен на рис. 7.4.

0 Р--1 р р

Рис. 7.4. Зависимость доходности инвестиционного проекта от коэффициента бета

На рис. 7.4 введены следующие обозначения:

Рт — уровень риска по рынку в целом;

ат — среднее значение доходности по рынку в целом;

а — доходность безрисковых инвестиций;

<*пр — доходность проекта;

яр — премия за риск.

Ранее было показано, что средняя доходность актива равна средней доходности рынка при р = pw = 1.

Таким образом, можно считать, что при р = 1 уровень риска средний, при р < 1 — низкий, при р > 1 — высокий.

Риск обычно компенсируется премией за риск, которая возрастает пропорционально уровню риска по инвестиционному проекту р. Премия за риск ар по рассматриваемому проекту равна апр а.

Ценовая модель капитальных активов

Формулу модели капитальных активов можно получить из анализа геометрии зависимости доходности проекта от коэффициента бета, представленной на рис. 7.4. Из подобия треугольников находим

5пр-Д= ат-а Р Рт

Так как средний уровень риска на инвестиционном рынке р = рш =1, то

апр=а+(ат-а)$.

Это выражение называют формулой ценовой модели капитальных активов — Capital Asset Pricing Model (САРМ).

Определение доходности проекта

Для определения доходности проекта необходимо провести расчет бета этого проекта. Например, рассматривается вопрос о расширении предприятия. Подобные инвестиции сопряжены примерно с той же степенью риска, что и существующий бизнес. Способ состоит в вычислении бета акций, т.е. в исследовании зависимости доходности акций данного предприятия от доходности всего рынка. Для этих целей в системе координат «доходность рынка — доходность акций» данного предприятия строят точки для определенных моментов в прошлом. Затем, например, методом наименьших квадратов вычисляют коэффициенты функции регрессии эффективности акций предприятия от эффективности рынка, являющейся прямой линией. Тангенс угла наклона этой прямой является искомым коэффициентом бета. Необходимо иметь в виду, что коэффициент бета для данного предприятия изменяется во времени. Исследования стабильности коэффициента бета в США было проведено Шарпом и Купером в 60—70-е годы XX в. Они разбили акции на 10 категорий риска. В первую категорию входили акции с самым малым бета, в десятую — с самым большим. Затем они проследили, сколько из этих акций осталось в той же категории риска пятью годами позже. Результаты их исследований сведены в табл. 7.3.

Из табл. 7.3 видно, что в рассматриваемый период в США существовала тенденция к стабильности акций либо с очень высокими, либо с очень низкими коэффициентами бета.

Контрольные вопросы и задания

7.1. Выберите правильный вариант ответа.

Мерой риска является:

математическое ожидание;

среднее квадратическое отклонение;

ковариация;

коэффициент корреляции.

7.2. Выберите правильный вариант ответа.

Дисперсия в зависимости от среднего квадратического отклонения характеризуется:

линейной зависимостью;

квадратической зависимостью;

кубической зависимостью.

7.3. Имеются три проекта с параметрами, приведенными в табл. 7.4.

Оцените степень риска по каждому из проектов.

7.4. В табл. 7.5 приведены периодические значения доходностей за квартал' в процентах исследуемого портфеля, рыночного портфеля и безрискового актива за 16 кварталов (4 года).

Определите коэффициенты бета и альфа портфеля и постройте функцию регрессии портфеля.

7.5. Ожидаемая средняя доходность проекта равна 5\% годовых (другой вариант — 9\% годовых). Средняя доходность безрискового актива равна 2\%, а доходность рынка — 6\%. Определите премию за риск и степень риска в виде коэффициента бета.