10.4. оптимальный портфель с добавлением безрисковых ценных бумаг

10.4. оптимальный портфель с добавлением безрисковых ценных бумаг

Рассмотрим случай портфеля, состоящего из трех ценных бумаг,

ОДНа ИЗ КОТОРЫХ ЯВЛЯеТСЯ безрИСКОВОЙ С ДИСПерСИеЙ Gq = 0 и доходностью До, а две другие имеют доходности я,, а2 и дисперсии Данные ценные бумаги будем называть соответственно бумагами нулевого, первого и второго видов. Доходности ценных бумаг не коррели-рованы. В этом случае определители Д At А и А приобретают вид:

Подставив полученные результаты в формулы Крамера, получим соотношения для расчета долей ценных бумаг ль, х[у х2 в портфеле соответственно для бумаг нулевого, первого и второго видов:

х0

с(а2 ~ао)(<*2 ~ар) +g2(gl -до)(ві

С2(а-а0)(ар-ао) С(а2~ао)2 +с2(а ~ао)2

с2(а2-а0)(ар-а0)

—

g(a2~a0)2+°2Іа-а0)2

Отсюда находим формулу для дисперсии портфеля:

„2 _ 2 2 , 2 2 _ в?Р2(*р-ДЬ)2

°Р -^а1 +^2<^2--^ 3 57 Т'

Так как ар > Oq, то формулу для стандартного отклонения портфеля можно записать в виде

Ср = аР"а° (10.37)

Решив уравнение (10.37) относительно ар9 найдем зависимость доходности оптимального портфеля от его стандартного отклонения:

п _ (g|-Oo) , (*2-*о) п +п ,1Л~Я.

аР \ 2 5 °/>+ао(10.38)

V а, а2

Функция (10.38) является прямой линией. Ее вид представлен на рис. 10.2. Тангенс угла наклона этой прямой с осью ор определяется соотношением

и _ (fll-Др)2 (Д2^д0)2

Кривая линия на рис. 10.2, имеющая вид «пули», является функцией доходности оптимального портфеля, состоящего из рисковых ценных бумаг первого и второго видов, от стандартного отклонения этого портфеля. Вид кривой определяется системой уравнений

ар = хах + (1 х)а2; (10.39)

а2р =*V+0-*)2<*2> (10-4°)

где х — доля рисковых бумаг первого вида; 1 — jc — доля рисковых бумаг второго вида.

Из рис. 10.2 видно, что прямая касается кривой (10.39), (10.40) в точке К.

Если инвестор захочет сформировать портфель из трех видов ценных бумаг, то инвестиционный менеджер предложит ему зависимость в виде отрезка прямой, по которой он выберет точку с приемлемыми для него доходностью и риском. Затем будет определен состав этого портфеля.

t> Пример 10.2. Инвестор формирует портфель из трех видов ценных бумаг с характеристиками, представленными в табл. 10.3.

Построить прямую линию а/ар) для оптимального портфеля, определить доходность портфеля и его состав при стандартном отклонении ар = 0,4. Решение. Найдем тангенс угла наклона прямой:

0,8

-0,05Г (0,15-0,05Г

о,;

= 0,1323.

Угол наклона к оси <тр равен 7,5°. Используя формулы для расчета долей ценных бумаг хь, xt, х2, находим

Хо = -12,8571л, + 1,6429; xt 5,7143ор 0,2857; х2 = 7,1428а, 0,3572.

Точка касания К лежит как на прямой, так и на кривой, поэтому в этой точке хо = 0. Подставив хо = 0 в первое из трех уравнений, получим 0 = —12,8571 • арЛ + 1,6429. Отсюда находим доходность портфеля в точке касания: арЛ = 0,1278.

Уравнение прямой в нашем случае имеет вид

др = 0,1323gp + oq.

Так как к — тангенс угла наклона искомой прямой с осью абсцисс, то значение стандартного отклонения портфеля ор в точке касания определяется по формуле

к

аРук ~а0 _ 0,1278-0,05

0,1323

= 0,588.

Таким образом, отрезок прямой, предложенный инвестору, может быть построен по двум точкам (рис. 10.3) с координатами (0; 0,05) и (0,588; 0,1278).

0,1 0,2' 0,3 0,4 0,5 0,6 Стандартное отклонение, ор

Рис. 10.3. «Доходность-риск» для портфеля с добавленными безрисковыми активами

Если инвестор согласен на риск, выраженный стандартным отклонением ор = 0,4, то доходность такого портфеля составит

ар = 0,1323 • 0,4 + 0,05 = 0,103. Состав этого портфеля:

ль = -12,8571 • 0,103 + 1,6429 = 0,3186; х, = 5,7143 • 0,103 0,2857 = 0,3029; х2 = 7,1428 • 0,103 0,3572 = 0,3785. ►

Вид функции доходности от риска, полученный для портфеля из двух видов рисковых бумаг и одного безрискового, справедлив также для портфеля, состоящего из любого количества рисковых ценных бумаг и безрисковых активов. При формировании оптимального портфеля из п видов ценных рисковых бумаг зависимость ожидаемой доходности оптимального портфеля от стандартного отклонения имеет вид' «пули». При добавлении в портфель безрисковых ценных бумаг эта зависимости превращается в отрезок прямой, соединяющей точку оси ару координати которой равна доходности безрисковой ценной бумаги, и точку касания К9 лежащую на «пуле» (см. рис. 10.2). Инвестор буд^ет выбирать портфель так, чтобы ожидаемая доходность и стандартное отклонение лежали на этом отрезке.

Для построения функции ожидаемой доходности портфеля, состоящего из безрисковых и п видов рисковых ценных бумаг, используется следующий t алгоритм.

Строят график ар(ор) для оптимального портфеля, состоящего из рисковых ценных бумаг.

На оси рр откладывают точку, координата которой равна доходности безрисковой ценной бумаги До.

Через эту тбчку проводят прямую, касательную к функции ар(ор) для оптимального портфеля, состоящего из рисковых ценных бумаг (см. рис. І0.2). Отрезок, соединяющий точку на оси ар и точку касания К, является искомой функцией ожидаемой доходности портфеля.

Определяют структуру портфеля, состоящего из рисковых бумаг, в точке касания по формуле ,(10.32).

Инвестор в соответствии со своей склонностью к риску может указать точку на отрезке прямой «доходность-риск» или задать только стандартное отклонение, характеризующее его отношение к риску. При этом доля безрисковых ценных бумаг хь в портфеле инвестора может быть определена по формуле (10.40), которую для рассматриваемого случая можно записать в виде

о„,и = О -Xb)aPtK, (10.41)

где аРч и — стандартное отклонение портфеля инвестора;

ор, к — стандартное отклонение портфеля из рисковых ценных бумаг в точке касания.

Решая уравнение (10.41) относительно хь, получим

аР>к ая«и (10.42)

Состав портфеля можно определить также по известной доходности портфеля инвестора по формуле (10.39), которую для рассматриваемой ситуации можно представить следующим образом:

я,, и = XqOo + (1 хо)аРщ к, (10.43)

где aPt и — ожидаемая доходность портфеля инвестора;

ар,к

Отсюда находим

ар, к ар,и ар,к~а0

Доля рисковых ценных бумаг в портфеле инвестора составит 1 — хь* Причем структура рисковой части оптимального портфеля не зависит от склонности инвестора к риску и определяется только вероятностными характеристиками рисковых ценных бумаг.

t> Пример 10.3. Даны четыре вида ценных бумаг, три из которых — рисковые (/=1,2, 3)и один безрисковый (J' = 0), с характеристиками, приведенными в табл. 10.4. Доходности ценных бумаг не коррелированы.

Определить функцию ожидаемой доходности портфеля, состоящего из этих ценных бумаг, от стандартного отклонения, а также доходность и состав портфеля инвестора при выборе им стандартного отклонения портфеля о^и = 0,3.

Решение. Определим состав портфеля из трех рисковых бумаг для экстремальной точки. Матрица а уравнения (10.35) для нашего случая имеет вид:

0,5 0 0 1 0 10 1 0 0 1,6 1 1110

Ее определитель равен |а| = -2,9. Элементы матрицы, обратной матрице а, находятся по формуле

а =

где ах =

0

1,6 1

-2,6; а{2

0 0

0 1,6

1 1

= 1,6 и т.д.

Обратная матрица

а =

0,897 -0,552 -0,345

0,552

-0,552 0,724

-0,172 0,276 -0,345 -0,172 0,517 0,172

0,552 0,276 0,172 -0,552

Матрица-столбец состава портфеля определяется по формуле (10.36):

х =

0,897 -0,552 -0,345 0,552

-0,552 0,724 -0,172 0,276

-0,345 -0,172 0,517 0,172

0,552 0,276 0,172 -0,552

	0		0,552
	0		0,276
	0		0,172
	1		-0,552

Таким образом, искомый состав портфеля: Х = 0,552; х2 = 0,276; *з = 0,172. Проверку можно провести по формуле xt + х2 + *з = 1-Доходность в экстремальной точке определяется по формуле (10.24):

ар=[0,05 0,1 0,15]

0,552 0,276 0,172

= 0,081.

Дисперсия в экстремальной точке вычисляется по формуле (10.23):

а* = [0,552 0,276 0,172]

а, = 0,371.

Состав оптимального портфеля находится по формуле (10.32). Для рассматриваемого примера матрица риск-доходности А имеет вид

Ее определитель (см. пример 10.2)

А = 0,01525.

Элементы матрицы А'1, обратной матрице А, находятся по формуле

а-1=с = [Су]:

где а[} =

1 0 0,1 1

0 1,6 0,15 1

0,1 0,15 0 0

110 0

= 0,0025;

ап

0 0 0,05 1

0,1 1

1,6 0,15 1

0,15 0 0

0 0

= -0,005

-11,8033ар+ 1,5082 3,6066йр 0,0164 8,1967ар 0,4918 -137,7049ор +15,4098 15,4098ар 1,5243

Таким образом,

х, =-11,8033а, + 1,5082; х2 = 3,6066а, 0,0164; х3 = 8,1967а,-0,4918.

Данные расчетов сведены в табл. 10.5. Дисперсия (стандартное отклонение) определялась по формуле (10.23).

Таблица 10.5

По оси ординат откладываем координату, соответствующую доходности безрискового актива.

Проводим через эту точку прямую, касательную к функции доходности от стандартного отклонения рискового портфеля. Точка касания имеет координаты аЛК = 0,5; аЛК = 0,117.

Структура портфеля в точке касания:

* = -11,8033 • 0,117 + 1,5082 = 0,127; х2 = 3,6066 • 0,117 0,0164 = 0,406; х3 = 8,1967 • 0,117 0,4918 = 0,467.

Так как инвестор выбрал для своего портфеля стандартное отклонение, равное 0,3, Го доля безрисковых бумаг в структуре портфеля находится по формуле (10.42):

0,5-0,3 ЛА

хо = = 0,4.

0 0,5

Доля рисковых бумаг составит Х| = 0,6 • 0,127 = 0,076; х2 0,6 • 0,406 0,244; х3 0,6 • 0,467 = 0,28. Ожидаемая доходность определяется по формуле (10.43): а* и = 0,4 • 0,04 + (1 0,4) • 0,117 0,0862, или 8,62\%. ►

10.5. Рыночный портфель

Рыночный портфель формируется из всех рисковых ценных бумаг, существующих на рынке. Состав рыночного портфеля является оптимальным. Зависимость ожидаемой доходности от стандартного отклонения ар(ор) такого портфеля так же, как и в предыдущем случае, имеет вид «пули» (рис. 10.5).

При наличии в портфеле безрискового актива с доходностью Оо функция ар(ор) является отрезком прямой, соединяющей точку с координатой Оо, лежащую на оси ординат, и точку касания М (см. рис. 10.5). Точка М называется рыночным портфелем (market portfolio). Любой инвестор, формирующий оптимальной рыночный портфель, будет выбирать доходность и риск (стандартное отклонение) так, чтобы они лежали на этом отрезке. Прямая, проходящая через точки и М, называется основной рыночной линией (Capital Market Line, CML). Тангенс угла наклона этой прямой называется рыночной ценой риска и вычисляется по формуле

Рыночный портфель определяется при равновесии на рынке, которое имеет место в том случае, если все его участники располагают одинаковой информацией и формируют на ее основе оптимальные портфели. При равновесии на финансовом рынке предложение рисковых и безрисковых ценных бумаг равно спросу. Если долговые обязательства корпораций не соответствуют спросу, то вступает в действие закон конкурентного рынка, т.е. цена бумаг, спрос на которые превышает предложение, будет расти, и наоборот. При этом эффективности первых будут расти, а вторых — падать. На основании информации об этом каждый инвестор скорректирует структуру рисковой части своего портфеля. В результате на рынке устанавливается равновесие. В этом случае распределение на рынке рисковых ценных бумаг по видам будет близко к распределению ценных бумаг в оптимальном портфеле. Задачу о доле капитала, вкладываемого в безрисковую и рисковую части портфеля, каждый инвестор решает сам. Эта доля зависит от склонности инвестора к риску.

D> Пример 10.4. Основная рыночная линия имеет с осью стандартного отклонения угол наклона, равный 30°, доходность безрискового актива равна 8\%, а доходность рыночного портфеля — 12\%.

Определить рыночную цену риска и дисперсию рыночного портфеля.

Решение, к = tg 30° = 0,57735.

о^=0Л2-0108 = т к 0,57735

Отсюда а2т =0,0048. ►

10.6. Оценка статистических характеристик ценных бумаг

В качестве ценных бумаг, из которых формируется оптимальный портфель, используются долгосрочные активы. Лучше всего для этих целей подходят акции, являющиеся бессрочными ценными бумагами.

Оценка математических ожиданий и ковариаций случайных до-ходностей ценных бумаг /-го и у-го видов можно определить по выборке. В качестве выборки используют наблюдаемые во времени последовательности цен акций. При этом за рубежом используются 100 показателей динамического ряда с периодом между отчетами в один квартал, т.е. выборка берется за 25 лет.

При расчете эффективности у-й ценной бумаги применяют соотношение

q Pj,t+-Pj4t+dj,t (10в44) J\%l р.

где PJ\%h Ріл ,+ — цена у-й ценной бумаги в начале периода / и / + 1 соответственно; djj — дивиденд за период /.

Формула (10.44) может быть уточнена за счет учета разницы цен покупки и продажи ценных бумаг. Например, инвестор покупает в начале периода t ценную бумагу, затем получает дивиденды и продает ее в начале периода t + 1. В этом случае под Ph, следует считать цену покупки в начале периода /, а под Р^,+, — цену продажи в начале периода / + 1. Цены покупки и продажи обычно отличаются в среднем на 1\%. Для акций крупных компаний эта величина ниже, а для мелких — выше.

В качестве математического ожидания j-й ценной бумаги можно использовать среднее арифметическое

«у =^ (Ю.45)

1 /=1

где Т — количество показаний динамического ряда; а}> t — доходность у-й ценной бумаги в /-м периоде.

Для расчета выборочной ковариаций /-Й и у-й ценных бумаг используется формула

О;/ =

7 Т-1Ы

т

2>/.і-зіХву,/-а>). (10.46)

В России фондовый рынок существует недавно. Поэтому при периоде между отчетами в один квартал количество таких отчетов будет невелико. В российских условиях при формировании оптимального портфеля период между отчетами лучше выбирать равным одному месяцу.

Из представленных данных о ценах ценных бумаг выбираются только целые месяцы. Количество месяцев по каждой акции должно быть идентичным. Если первый и последний месяцы не являются целыми, то эти данные отбрасываются. Ниже все сроки представляются в месяцах. Время жизни акции в месяцах обозначим буквой N.

Использование формулы (10.44) для расчета эффективности ценной бумаги в российских условиях представляется нецелесообразным, поскольку это может привести к существенным ошибкам из-за ограниченного числа показателей в выборке. Поэтому среднемесячная доходность акции я,-, вычисляется по формуле

м

aj =Ш1 + «у,і)-Ь (10.47)

номер акции;

номер месяца;

общее количество дней в месяце, в которые проводились торги;

доходность за время между двумя соседними днями, в которые проводились торги по данной акции;

— цена акции в день под номером /; —,цена акции в день под номером / + 1;

первый день последующего месяца;

дивиденд в день под номером I.

/=1

где у М

_ pjj+ -pjj +djj

hi

•^,/+1

м+ і

4.1

Из формулы (10.47) можно получить приближенное соотношение (10.44) для расчета среднемесячной доходности акции, которую находят при следующих допущениях.

м

При условии £#/,,«1 имеем /=1

м м fly,/=n(1 + fly,/)-1*1 + Zfly,/-1 =

ii=

1=1 PjJ ' /=1 PjJ /=1 ^jJ

Если цену акции в начале месяца под номером / обозначить как Р)\% „ то при условии незначительного изменения цены акции в течение месяца, в этой формуле можно считать Pjy, * PJ\%,.

Дивиденды выдаются не чаще одного раза в месяц. Поэтому

М d • d ,

i= PjJ pj,t где dj\% t — дивиденд в месяце под номером t. Сумма

У^1 ~ 1 YAP Р^-^<

1=1 rjJ rj,t /=1 rjJ rJ

где Pj + — Цена акции в начале месяца под номером / + 1.

Таким образом,

pjj+-pj +dj9t

Среднемесячная доходность у-й акции aj за все время ее жизни определяется соотношением

«у =^по+«і)-і = ^п0+«у./)-ь

где ш + 1— общее количество дней, в которые проводились торги.

N

При условии Xay,f «1 получим формулу (10.45):

1 N

Для расчета выборочной ковариации к-й и у-й ценных бумаг используется формула (10.46). В новых обозначениях имеем

1 N

Дисперсия, среднее квадратическое отклонение и коэффициент корреляции подчиняются соотношениям

1 ^2 „ _ Г— , ст*у

Таким образом, при определении ожидаемых доходностей и их матрицы ковариаций различных видов ценных бумаг, из которых формируется оптимальный портфель, надо использовать точные или приближенные формулы. Выбор формул зависит от приведенных ограничений.