12.6. методы прогнозирования основных финансовых показателей

12.6. методы прогнозирования основных финансовых показателей

Прогнозирование характеристик временных рядов

Прогнозирование с заданной вероятностью характеристик временных процессов позволяет снизить степень неопределенности при принятии решений и уменьшить риск [25]. В настоящее время получили распространение ряд компьютерных систем, предназначенных для разработки прогнозов и сопутствующих им документов. В частности, для построения прогноза временного ряда довольно широко применяется компьютерная система Forecast Expert, в которой используется модель Бокса—Дженкинса. В качестве прогнозируемых показателей могут выступать спрос и цена на товар или ценные бумаги, загруженность персонала и т.д. Применение Forecast Expert позволяет получить прогноз в виде доверительного интервала при заданной вероятности на период времени, не превосходящий длину исходного ряда. Модель позволяет учитывать влияние сезонных колебаний.

Рассмотрим основные методы, позволяющие строить прогноз вре-меннбго ряда.

Методы скользящей и экспоненциально взвешенной средних

Метод скользящей средней состоит в вычислении средних уровней показателя его прошлых значений. При этом считают, что ожидаемые значения параметра (например, безрисковой процентной ставки) в следующем периоде (периоде прогноза) равны среднему арифметическому параметру последних п периодов. Это можно записать в виде формулы

_ 1 п J=t

где 7/ — прогнозируемое значение параметра следующего периода; у} — значения параметра в периоды /, / — 1, / — 2, / — л + 1.

Так как для периода t — скользящее среднее

_ j t-n

Уі= 

то выражение для yt можно записать в виде

7, = ум +-(>>, -уt-п)(12.1) п

Из формулы (12.1) следует, что значение прогнозируемого параметра отличается от предыдущего на величину ——. В случае

п

стационарного динамического ряда этот прогноз можно использовать не только для следующего периода, но и на несколько периодов вперед. Напомним, что стационарным динамическим рядом называется такой ряд, в котором его математическое ожидание не изменяется во времени.

Как следует из приведенных выше формул, параметрам в различные периоды времени присваивается одинаковый вес, равный 1/л, т.е. свежие данные имеют тот же вес, что и старые. Но свежие данные имеют большее значение для прогнозирования, поэтому в общем случае должны иметь больший вес. Этот недостаток устраняется при использовании экспоненциально взвешенной средней.

Экспоненциально взвешенная средняя. Экспоненциально взвешенной среднюю представим в виде

У, = ayt + а(1 а)^., + а(1 а)2 yt_2 + ... + а(1 а)7 уг_} +... = = І а(1-аУ

гдеу = 0, 1, 2, 0 < а < 1.

В этом случае веса при параметрах имеют различные значения, причем сумма ряда этих весов равна единице:

? 1

а + а(1-а) + а(1-аг + ... +а(1-а)7... = а = 1,

1-(1-а)

так как эта сумма является бесконечной геометрической прогрессией со знаменателем 1-а.

Преобразуем формулу для экспоненциально взвешенной средней к виду

Уt = аУ/ + (!-<*) [аУ/-і + а (1 a)yt_2 + а (1 a)2yt_3 +...].

Выражение в квадратных скобках является экспоненциально взвешенной средней для последнего периода в ряду параметров, т.е. это Уі• Таким образом,

Уг Щ + 0 " a)U-l • <12-2)

Из формулы (12.2) следует, что для построения прогноза достаточно задать величину >V-i • Ее можно получить, например, экспертным методом. Дальнейшее прогнозирование ведется по мере поступления свежих данных.

Чувствительность экспоненциально взвешенной средней может быть изменена путем изменения а: чем выше а, тем выше чувствительность, чем ниже а, тем устойчивее экспоненциально взвешенная средняя.

Значение коэффициента а выбирается исходя из конкретных условий. Для его выбора можно воспользоваться, например, данными табл. 12.1.

Перепишем формулу (12.2) для экспоненциально взвешенной средней в виде

Уг = Jv_i + Jv_,). Разность yt -yt=£/ является текущим значением ошибки прогноза. Тогда

yt =У/-і+ає/.

Рассмотренные методы скользящей средней и экспоненциально взвешенной средней используются для прогнозирования стационарных процессов, при которых математическое ожидание параметра постоянно во времени.

Метод автоматического контроля Григга. При прогнозировании процесса важно проводить контроль соответствия прогноза адекватности получаемых на практике результатов. Основным препятствием в построении прогнозов служат внезапные скачки. Поэтому основной задачей метода сглаживания ошибок является выявление этих скачков. После выявления скачка проводится анализ причин его возникновения, например, экспертным методом. Влияние скачка на точность прогноза демонстрирует рис. 12.4, из которого следует, что прогноз в момент скачка и сразу после него не, соответствует реальному показателю. Поэтому необходим механизм, позволяющий выявлять несоответствие прогноза и реальности. Существуют различные методы контроля адекватности прогноза и реальности. Один из них —-метод автоматического контроля Григга.

Метод основан на вычислении следящего контрольного сигнала, указывающего с некоторым уровнем статистического доверия на степень неадекватности прогноза реальности. Для определения контрольного сигнала введем ряд понятий.

Средним абсолютным отклонением ошибки называется величина, вычисляемая по формуле

А, =а|є/| + (1-а)Д/_1.

Величина А, > 0. Естественно, что среднее абсолютное отклонение связано со среднеквадратическим отклонением ошибки о,. Приближенно можно считать, что

О/ = 1,25А,.

Экспоненциально взвешенной ошибкой е, называется величина, определяемая формулой

є, =ає, +(1-а)є/_|. Контрольный сигнал Tt находится из соотношения

Значение контрольного сигнала лежит в интервале

При отрицательном контрольном сигнале значение прогноза больше реального показателя, и наоборот.

Контрольный сигнал имеет определенные пороговые значения, соответствующие выбранному уровню доверия, которые представлены в табл. 12.2 [25].

Если при заданном а значение следящего контрольного сигнала стало больше указанного в табл. 12.2, то с указанным уровнем доверия прогностическая система становится неадекватной реальным изменениям показателя.

Использование трендовых моделей для краткосрочного прогнозирования

Прогноз на будущее можно построить с помощью трендов. Трен-довые модели, в отличие от скользящей средней, позволяют строить прогнозы на отдаленные моменты времени. Данные по экономическим показателям в различные периоды времени являются динамическим рядом, т.е. совокупностью п значений некоторого параметра у9 определяемого в различные моменты времени /. Динамический ряд можно представить в виде

Л =/(') + £„ <12-3>

где /(/) = yt — детерминированная функция времени (тренд);

є, — случайная функция, определяемая действием случайных

факторов.

Так как каждое значение у, является случайной величиной, то значение /(/) в точке t является математическим ожиданием этой случайной величины.

Построить трендовую модель явления (рис. 12.5) — значит найти детерминированную функцию yt и характеристики случайных отклонений от нее, позволяющие определить доверительный интервал, в границах которого с заданной доверительной вероятностью должна находиться прогнозируемая величина.

При построении трендовой модели прежде всего выбирают форму кривой тренда, затем подбирают параметры этой кривой по какому-либо критерию оптимальности и, наконец, по совокупности критериев оценивают качество подобранной кривой.

В качестве тренда используют линейную функцию, параболу, многочлен л-й степени, гиперболу, экспоненту, логарифмическую функцию и др. Чаще всего модель описывается линейной функцией. При описании модели нелинейной функцией система уравнений для расчета параметров кривой может оказаться достаточно сложной. Поэтому иногда для получения параметров нелинейной функции ее приводят к линейному виду.

Сезонным трендом называют периодические изменения показателя, связанные, например, с сезонными изменениями спроса (например, на одежду, обувь).

Смешанным сезонным трендом называют комбинацию из сезонного и любого другого рассмотренного тренда (например, линейного).

Тренды различают также по их типу.

Аддитивным трендом называют временную зависимость, в которой значения параметра отклоняются в положительную и отрицательную стороны от тренда в среднем на одну и ту же величину.

Мультипликативным трендом называют временную зависимость, в которой значения параметра отклоняются в положительную и отрицательную стороны от тренда в среднем на одинаковый процент.

При краткосрочном прогнозировании модель процесса (12.3) можно представить в виде

yt =a0+alt + Ei. (12.4)

Рассмотрим несколько методов краткосрочного прогнозирования [25].

Метод Холта основан на оценке степени линейного роста или падения исследуемого показателя во времени. Если прогноз вычисляется на / периодов вперед (t + 1 — горизонт прогнозирования), то его значение может быть рассчитано по формуле

где yt — текущая экспоненциально взвешенная средняя исследуемого показателя, определяемая соотношением

yt = Ayt + (1 A)(yt_x + at_x); (12.6)

at =B{yt-yt_x) + Q-B)at_b ' (12.7)

где at — коэффициент, по которому оценивается степень роста коэффициента а\ у, — значение показателя текущего периода; А, В — коэффициенты, лежащие в пределах от нуля до единицы.

Метод Холта с модификациями Муира описывает вычисление прогноза на достаточно большой интервал времени / (теоретически на бесконечно большой). В этом случае (12.5) и (12.6) приобретают вид

Л+/ = Уг +

yt=Ayt+(-A)yt_b

где at вычисляется по формуле (12.7).

Метод двойного сглаживания Брауна основан на доказанном Брауном положении о том, что в условиях линейного тренда простая экспоненциально взвешенная средняя (12.2) всегда меньше линейного

тренда на величину . Прогноз по этому методу на момент вреа

мени / + / определяется формулами:

1-а

У$ =аУ/+0-а)й-іДля прогноза на один период (/ = 1) имеем

(2-а) yt-yt

Уі+ ~ :

1-а

Метод Бокса—Дженкинса, заимствованный из теории управления, определяет прогнозируемую величину формулой

-оо

У/ = yt+ Y-i (Є/ -) + Yo£/ + Yi z єу > (!2-8)

7='

где є, =yt-y,;

Yi — интегральный коэффициент управления; y_! — дифференциальный коэффициент управления (обычно принимают y_j = 0); Y0 — пропорциональный показателю коэффициент управления.

Модель Варда. Можно показать, что методы Холта, Брауна и Бокса—Дженкинса являются частными случаями более общей модели Варда. Все коэффициенты перечисленных моделей связаны соотношениями: .

А = у0=а(2-а); Я = -^; У=а2. (12.9) 2-а

Использование трендовых моделей для среднесрочного прогнозирования

Одним из наиболее часто применяемых методов для расчета параметров тренда является метод наименьших квадратов. Рассмотрим случай линейной функции тренда

f(t) = a0+axt. Параметры OqH а{ вычисляются по формулам

ах =

t=

nT2-Zt2 t=

(12.10)

а0 =y-a]t.

(12.11)

1< 2>,

где t = —

п п

Иногда формулы (12.10), (12.11) записывают в виде

п{ + п)у

2 9

А2(1 + А2)

+ п + 2п

_ 1 + ц

а0=у —

-а,.

При оценке качества тренда проверяется значимость коэффициентов уравнения, степень тесноты взаимосвязи у и /, а также качество подбора формы кривой.

Для принятых здесь обозначений коэффициент в, уравнения Уt = /(0 считается значимым, если он удовлетворяет /-критерию Стыо-дента, т.е.

Ч >'«>

где гщ =ai/Sai;

Sa. — среднеквадратическое отклонение для коэффициента д,.

Значение /а выбирается из таблицы /-критерия Стьюдента для доверительной вероятности F = 1 — а и числа степеней свободы л — /я, где т — количество параметров уравнения.

Для линейной модели тренда

" 2

С2 „2 Т(Уі-Уі)

е2 _ ^ост . е2 _ ^ост с2 _1=1

а_ ~ , 0„ ~ — , •JqCT ~

/=1

где п — 2 — число степеней свободы. Отсюда следует, что

Тесноту взаимосвязи у и / для линейной модели проверяют при помощи коэффициента корреляции г, а в общем случае — при помощи индекса корреляции R. Заметим, что коэффициент корреляции используется в регрессионном анализе при исследовании взаимосвязей между случайными величинами. В нашем случае одной из величин является время, принимающее целочисленные значения /=1,2, п и не являющееся случайной величиной. Однако аппарат корреляционного анализа позволяет установить степень тесноты взаимосвязи между исследуемой случайной величиной и временем, что используется многими авторами при проведении анализа этой взаимосвязи [12, 25].

Коэффициент корреляции определяется по формуле

і('-П(л-50 . г- ы (12.12)

і п п

ІІС-^-ІО',-*)2

Коэффициент корреляции лежит в пределах —1 < г < 1. При значении коэффициента корреляции, близком к нулю, связь слабая, а при г, близком ±1, — сильная. Последнее легко показать подстановкой в (12.12) уравнения прямой yt -yt = aQ±axt. Действительно,

г =

п п ґ и + О

1=1 _ ы v ^ )

г-: 2 1 з 2 > =,1 " -±і.

Значимость коэффициента корреляции с доверительной вероятностью F = 1 — а определяется с помощью /-критерия Стьюдента по формуле

tr > 'а,

где tr -гуіп-ііl-r2 . Количество степеней свободы равно п — 2.

Индекс корреляции Л и коэффициент детерминации Л2 для любой формы тренда определяются по формуле

ЦСУі-у)

Т(Уі-У)2 /=і

Если по абсолютной величине коэффициент корреляции г равен индексу корреляции R, то связь между временем и исследуемым показателем линейная.

Значимость индекса детерминации с доверительной вероятностью F= 1 — а (а — уровень значимости) определяется при помощи критерия Фишера по формуле

FR > Fa.

Величина Fa находится по таблице распределения Фишера при заданных степенях свободы и уровне значимости. Количество степеней свободы равно п — ти т — к, где п — число единиц выборки; т — число коэффициентов уравнения; к — количество уточняемых параметров. Всегда выполняется соотношение

к < т.

Величина индекса детерминации FR рассчитываете* по формуле

F -5'

Г р — — >

°ост

lOv-л)2

п-т

1<Л -у)

т-к

У =

1л

/=1

Качество подбора формы тренда оценивается по критерию Дар-бина—Уотсона. Для этого проводится анализ остатков

Если модель тренда адекватна форме подобранной кривой, то остатки должны подчиняться нормальному закону с математическим ожиданием, равным нулю, и независимостью соседних значений друг от друга. При использовании метода наименьших квадратов требование к математическому ожиданию выполняется всегда. Простейший способ проверки случайной величины на соответствие нормальному закону состоит в построении гистограммы. Независимость соседних значений друг от друга проверяется с помощью критерия Дарбина—Уотсона:

d =

/=2

/=1

1

t=2 /=1

п

Если Є/ не зависит от є,_і, то £є/є/-і =0 и d = 2. При полной

1=2

автокорреляции d равен нулю или четырем.

По таблицам Дарбина—Уотсона для заданной доверительной вероятности F= Г — а определяют критические границы, позволяющие вынести суждение о наличии автокорреляции. Задавшись уровнем значимости а и зная количество наблюдений я, находим из таблицы

значения dn и dv. При dv< d<4 — dv автокорреляция остатков отсутствует. При d<dnnd>4 — d„ автокорреляция имеет место. Если обнаружена существенная автокорреляция остатков, то следует пересмотреть форму выбранной кривой.

Поскольку моделируемый процесс подвержен случайным воздействиям, то прогноз может быть сделан в виде доверительного интервала. Среднее значение прогнозируемой величины определяется по тренду, а ширина доверительного интервала зависит от дисперсии остатков, длины периода прогнозирования и доверительной вероятности, с которой прогнозируемая величина попадет в доверительный интервал.

Выражение для верхней и нижней границ доверительного интервала для линейного тренда имеет вид

y = yt±taS0

, і е-о2

1+—+— —

Т2

где /а

10*-й2

о2 _ /=1 °ост

п-2

табличное значение /-критерия Стьюдента для доверительной вероятности F= 1 — а и числа степеней свободы п 2;

дисперсия остатков.

Для знака «плюс» имеем верхнюю границу доверительного интервала, а для знака «минус» — нижнюю (рис. 12.6). Для определения величины доверительного интервала надо для данного значения времени / из верхней границы ртах вычесть нижнюю границу утїп:

АУ = Утах-Утт =2taSo

" h-rf

Показатель А 100"

На рис. 12.6 зона ретро представлена во временнбм интервале от 1 до 19 (и = 19). Минимальное значение доверительного интервала достигается при / = 7 = ю, т.е. наименьшая дисперсия будет наблюдаться в середине данных по t.

Если мы хотим сделать прогноз на / шагов вперед, то t = п + /. Тогда нижняя и верхняя границы доверительного интервала и доверительный интервал для прогнозируемой точки будут определяться по формулам

~ ^ о «і 1 (n + 1-Tf п zc-7)2

Ау = 2/а50

/=1

Чем дальше во времени отстоит момент прогнозирования, тем шире доверительный интервал (см. рис. 12.6).

Контрольные вопросы и задания

12.1. Представлены данные по экономическому параметру 5, за 10 дней (табл. 12.4).

Дайте прогноз по этому параметру на 11-й день. Таблица 12.4

Используя данные задания 12.1, определите прогноз на каждый из следующих дней и ошибку прогноза, положив прогноз первого дня, равным 9, а = 0,2. Обозначения: 5, — значение экономического параметра текущего дня; bt_ — прошлый прогноз текущего дня; et = 5, 5;_! — ошибка текущего прогноза.

Используя данные заданий 12.1 и 12.2, определите контрольный сигнал для каждого дня. При этом положите экспоненциально взвешенную ошибку дня, стоящего перед первым, равной нулю, т.е. 8q = 0, а среднее абсолютное отклонение дня, стоящего перед первым, До = 0,08.

Введены следующие обозначения: є, = 8, -8,_!; є, = ає, + (1-а)^_!;

д/ = аК|+0-<*)Vi; ті = ь/Ліна. В табл. 12.5 приведены средние значения экономического параметра за день.

Подберите тренд и рассчитайте его параметры.

12.5. Используя данные задания 12.4, определите значимость коэффициентов тренда.

12.6. Используя данные заданий 12.4, 12.5, определите тесноту взаимосвязи цены акции и времени с помощью коэффициента корреляции и индекса детерминации.

12.7. Используя данные заданий 12.4, 12.5, 12.6, оцените качество подбора тренда.

13

Глава