3.5. выбор оптимального плана реконструкции фабрики-химчистки

3.5. выбор оптимального плана реконструкции фабрики-химчистки

3.5.1. Дерево решений

Специфическим графическим инструментом анализа проблемных ситуаций являются, так называемые, деревья решений. Термин получил свое название от древообразующей структуры схемы.

С помощью этого метода решается целый ряд задач, когда имеются два или более последовательных множества решений, причем, последующие решения основываются на результатах предыдущих состояний среды, т.е. появляется цепочка решений, вытекающих одно из другого. Подобные задачи проще решать с использованием дерева решений, которое представляет собой графическое изображение последовательности решений и состояний среды с указанием соответствующих вероятностей и выигрышей для всевозможных комбинаций.

Для упрощения применения этого метода разобьем его на несколько этапов.

На первом этапе формулируем задачу. Отбрасываем не относящиеся к проблеме факторы, а оставшиеся подразделяем на существенные и несущественные. Далее: определяем возможности сбора информации для экспериментирования и реальных действий; составляем перечень событий, которые с определенной вероятностью могут произойти: устанавливаем временной порядок расположения событий, в исходах которых содержится полезная и доступная информация, и тех последовательных действий, которые можно предпринять.

На втором этапе строим дерево решений. Оно состоит из двух основных частей: «решений» и «вероятностных событий». Они представлены квадратами (рис. 3.1). Эти решения и вероятностные события связаны, что видно из последующих примеров.

Решения

Вероятностные события

Рис. 3.1. Составные части дерева решений

Суть третьего этапа состоит в оценке вероятностей состояний среды, т.е. сопоставлении шансов возникновения каждого конкретного события.

Установление выигрышей (или проигрышей, как выигрышей со знаком минус) для каждой возможной комбинации альтернатив (действий) состояний среды составляют четвертый этап.

На пятом этапе решается задача.

Дерево решений состоит из ряда узлов и исходящих из них ветвей. Квадраты обозначают пункты принятия решений (или возможные события), а дуги соответствуют переходам между логически связанными решениями и случайными событиями. Из вершин — решения (квадратов) исходит столько дуг, сколько имеется вариантов (альтернатив), выбор конкретной дуги (вариант решения) осуществляется ЛПР. Из вершины — события также может исходить несколько дуг. Но здесь уже выбор осуществляется случайным образом в соответствии с заданными вероятностями отдельных исходов.

После того, как дерево решения построено, оно анализируется справа налево, т.е. начинать надо с последнего принятого решения. Для каждого решения выбирается альтернатива с наибольшим показателем отдачи (или с наименьшими затратами). Если за принятием решения следует несколько возможных вариантов событий, то выбирается альтернатива с наибольшей предполагаемой прибылью (или с наименьшей предполагаемой величиной затрат).

3.5.2. Максимизация прибыли от акций

Рассмотрим задачу максимизации ожидаемой прибыли от акций.

Предположим, что мы владеем акциями стоимостью 1000 у.е. Мы должны принять решение относительно того, держать ли акции, продать их все или купить еще акции на сумму 500 у.е. Вероятность 20\%-го роста курсовой стоимости акции составляет 0,6, а вероятность снижения курсовой стоимости на 20\% — 0,4. Какое решение необходимо принять с тем, чтобы максимизировать ожидаемую прибыль?

Сначала необходимо решить, что делать с акциями: купить еще, все продать или все держать. Это отображено с помощью

дерева решений на рис. 3.2. Диаграмма содержит величину доходов или расходов в случае принятия того или иного решения. Например, вариант «продажи» даст доход в 1000 у.е. (показан как + 1000 на дереве). В противоположность этому, вариант «покупки» принесет расходы в сумме 500 у.е. (показаны как — 500 на дереве). Если мы продадим акции, тогда их у нас будет ноль. Если

Покупать^

-500

Рост курсовой

стоимости

1800

1200

Продавать

800

+1000 Держать

Рис. 3.3. Дерево решений

ниє в конце ветви, т.е. ожидаемое значение в блоке А составляет 0,6 х 1800 + 0,4 х 1200 = 1560 у.е. Аналогично, ожидаемое значение для блока Б составляет 0,6 х 1200 + 0,4 х 800 = 1040 у.е.

И наконец, можно принимать решение на основании вывода ожидаемых значений по соответствующим ветвям обратно к бло-

мы просто будем держать акции, то в случае 20\%-ного подъема на рынке их стоимость составит 1200 у.е., а в случает 20\%-ного спада — 800 у.е. В другом случае, после покупки акций еще на 500 у.е., при подъеме рынка мы окажемся обладателями акций стоимостью 1800 у.е., а при падении — стоимостью 1200 у.е. Данные значения указаны в конце каждой ветви в правой части дерева решений (рис. 3.3). Дерево также показывает вероятности возможных событий (т.е. рост или падение курсовой стоимости акций), а также денежные средства, затраченные или полученные при этом. Например, покупка акции стоит 500 у.е. (т.е. в данной точке диаграммы указано — 500 у.е.). Аналогично, продажа акций даст доход в 1000 у.е., и это указано рядом с соответствующей ветвью дерева.

Начиная с правой стороны и двигаясь влево, производится расчет ожидаемых значений, как это показано на рис. 3.4. Таким образом, ожидаемое значение в блоке вероятностных событий А рассчитывается путем умножения каждой вероятности на значе-

ку решений В. Три возможных пути обратно к блоку В дают следующие значения:

Вариант 1: 1560 500 = 1060 у.е.

Вариант 2: 0 + 1000 = 1000 у.е.

Вариант 3: 1040 + 0 = 1040 у.е.

Следовательно, на основании данного критерия с целью максимизации ожидаемой стоимости акций мы предпочтем вариант 1. Таким образом, мы решим купить еще акций на сумму в 500 у.е., что даст нам ожидаемую чистую прибыль в 1060 у.е. Это значение показано в блоке В, а путь решения выделен, как показано на рис. 3.4. Следует отметить, что этот простой способ принятия решений, основанный на максимизации ожидаемой отдачи, может не всегда оказаться приемлемым. Например, также необходимо учитывать факторы риска, о чем мы будем говорить в следующем примере.

3.5.3. Выбор оптимального проекта реконструкции фабрики — химчистки

С помощью дерева решений рассмотрим задачу выбора оптимального проекта реконструкции фабрики — химчистки.

Руководство компании решает реконструировать фабрику — химчистки по одному из трех проектов. Размер выигрыша, который компания может получить, зависит от благоприятного или неблагоприятного состояния рынка (табл. 3.8).

На основе данной таблицы выигрышей (потерь) построим дерево решений (рис. 3.5)

(0,5)

Благоприятное

150000

1-ый проект

35000

Неблагоприятное goooo

(0,5)

(0,5)

Неблагоприятное (0,5)

Благоприятное

Благоприятное 200000

25000

2-ой проект

ft

3-ий проект

п

-150000 100000

(0,5)

30000

Неблагоприятное _40000 (0,5)

^] — решение (решение принимает игрок);

| * | — случай (решение принимает случай);

// — отвергнутое решение

Рис. 3.5. Дерево решений без дополнительного обследования конъюнктуры рынка

Процедура принятия решения заключается в вычислении для каждой вершины дерева (при движении справа налево) ожидаемых денежных оценок, отбрасывании неперспективных ветвей и выборе ветвей, которым соответствует максимальное значение ожидаемой денежной оценки (ОДО). ОДО — это средний выигрыш в игре, которая рассчитывается как сумма произведений размеров выигрышей на вероятности этих выигрышей.

Определяем ОДО: для 1-й вершины

ОДОї = 150000 • 0,5 + (80000) • 0,5 = 35000 усл. руб.; для 2-й вершины

ОД02 = 200000 • 0,5 + (150000) ■ 0,5 = 25000 усл. руб.; для 3-й вершины

ОДОз = 100000 • 0,5 + (40000) • 0,5 = 30000 усл. руб.

Так как истинные вероятности благоприятного и неблагоприятного состояний экономической среды нам неизвестны, то в соответствии с правилом Лапласа равновозможности принимаем наличие состояний с вероятностями 0,5 удачи и 0,5 неудачи.

Из приведенного расчета видим, что наиболее целесообразно выбрать первый проект, а вторую и третью ветви (стратегии) решений можно отбросить. ОДО наилучшего решения равна 35000 усл. руб.

Но на этом исследования не заканчиваются. Руководству компании стало известно, что можно провести дополнительное исследование рынка, причем, предоставляемая услуга обойдется компании в 12000 усл. руб. Руководство понимает, что дополнительное исследование по-прежнему не способно дать точной информации, но оно поможет уточнить ожидаемые оценки конъюнктуры рынка, изменив тем самым значения вероятностей.

Известно, что фирма, проводящая дополнительные исследования, способна уточнить значения вероятностей благоприятного или неблагоприятного исхода. Возможности фирмы в виде условных вероятностей благоприятности и неблагоприятности рынка представлены в табл. 3.9.

Не проводить

обследование

U

35000

44070

133500 Прогноз

благоприятный (0,42)

I Благ7Р"ЯТНЬ|й 150000 1-й проект (0,5)

35000

Неблагоприятный -80000 (0,5)

БЛаГО(0Р5ГНЫЙ 200000

2-й проект

ft 1

Неблагоприятный -1500OO (0,5)

Благоприятный ЮОООО

150000

Неблагоприятный _40000

Благоприятный _ (0,81)

106300

200000

ТНеблагоприятный ^оооо (0,19) Благоприятный , (0,81)

2-й проект [

133500

Неблагоприятный -150000 3-й проект I Благ^™ый 100000

—п—m

Проводить

обследование -12000

56070

-7800

Прогноз

ft

73400

150000 -80000

Неблагоприятный ,,mm (0,19) -wuuu

Благоприятный (0,23)

1-й проект

—ft—I

-27100

Неблагоприятный (0,77)

Благоприятный опГ1ПП„

2-й проект Г~ (0,23) ллшо

Например, когда фирма утверждает, что рынок благоприятный, то с вероятностью 0,81 этот прогноз оправдывается (с вероятностью 0,19 могут возникнуть неблагоприятные условия), прогноз о неблагоприятности рынка оправдывается с вероятностью 0,77.

Компания заказала фирме прогноз состояния рынка и фирма утверждает, что ситуация будет благоприятной с вероятностью 0,42 (дерево решений изображено в середине рис. 3.6) и ситуация будет неблагоприятной с вероятностью 0,58 (дерево решений построено на рис. 3.6 внизу) При построении дерева решений развитие событий происходит от корня дерева к исходам, а расчет при

неблагоприятный (0,58)

100000

-69500 I Неблагоприятный .150000

Благоприятный 3-й проект г-Ц (°-23)

-7800

Неблагоприятный

ЩтТ) -40000

] — решение (решение принимает игрок); | * | — случай (решение принимает случай); // — отвергнутое решение

Рис. 3.6. Дерево решений при дополнительном обследовании рынка

13Д

были выполняется от конечных состояний к начальным. Из анализа решения следует, что проведение дополнительных исследований конъюнктуры рынка существенно уточняет принимаемое решение. Если фирма прогнозирует благоприятную ситуацию на рынке, то целесообразно проводить реконструкцию по второму проекту, если прогноз неблагоприятный — по третьему проекту.

При отсутствии точной информации (верхнее дерево решений) максимальная ожидаемая денежная оценка равна ОДО = 35000 усл. руб.

Если точная информация об истинном состоянии рынка будет благоприятной (ОДО = 200000 усл. руб., табл. 3.8) принимается второй проект, если неблагоприятной (ОДО = 40000). Тогда ОДО точной информации равна:

ОДОт.и. = 200000 ■ 0,5 40000 • 0,5 = 80000 усл. руб.

и ожидаемая ценность точной информации составит:

ОЦт.и. = ОДОт.и. ОДО = 80000 35000 = 45000.

Значение ОЦт и. показывает, какую максимальную цену должна быть готова заплатить компания за точную информацию об истинном состоянии рынка в тот момент, когда ей это необходимо.