4.3. риск потерь от изменения потока платежей

4.3. риск потерь от изменения потока платежей

Компания, намеревающаяся взять взаймы сумму денег, или компания, имеющая долговые обязательства, по которым выплачиваются проценты по плавающей ставке, могут понести убытки в случае повышения процентных ставок, так как потребуется увеличение потока денежных средств для обслуживания долга. И наоборот, компании, управляющие фондом, имеющие депозиты, по которым выплачиваются проценты на основе плавающей ставки, подвержены риску в случае падения процентных ставок.

Колебания процентных ставок создают неопределенность как для заемщиков, так и для кредиторов. Неопределенность уровня процентных ставок в будущем может создавать препятствия при планировании бизнеса. Повышение процентных ставок по уже полученным денежным займам может серьезно отразиться на потоке денежных средств. Методы уменьшения неопределенности, касающейся будущих процентных ставок, могли бы устранить основное препятствие для планирования и инвестиций.

Следующий гипотетический пример демонстрирует необходимость в инструментах хеджирования риска потерь от изменения потока денежных средств, связанного с колебаниями процентных ставок. Финансовый директор компании 1 февраля планирует получить 1 марта сумму в 1 млн у.е. от продажи активов. Учитывая финансовые потребности компании, он решает инвестировать денежные средства, которые будут получены 1 марта, в 3-месячный долларовый депозитный сертификат. Текущая процентная ставка для подобного рода активов составляет 11,25\% годовых, что могло бы принести доход в 27739 у.е. за период инвестирования. Однако к 1 марта процентная ставка может снизиться, уменьшив поступления от предполагаемой инвестируемой суммы. Финансовый директор мог бы избежать такой возможности, попытавшись «зафиксировать» процентную ставку на 1 февраля, или, по крайней мере, устранить риск потерь от неожиданного падения процентной ставки.

4.3.1. Эквивалентные потоки

Рассмотрим эквивалентность во времени денежных сумм. С экономической точки зрения бессмысленно говорить о величине денежной суммы без указания даты ее получения. Очевидно, что 1000 руб. сегодня и 1000 руб., ожидаемые через год, не равноценны, так как деньги могут быть вложены в дело и принести доход.

Денежные суммы Р(7) в момент Ти P(t) в момент t называются эквивалентными по ставке сравнения і, если

Р(7) = Р(0(1 + /)(rt). (4.21)

Это означает, что при Т> t сумма P(i), наращенная по ставке і сложных процентов, превратится в момент Тв сумму Р{Т), однако, если Т < t, то сумма Р(Т), наращенная по ставке і сложных процентов, превратится в момент t в сумму P{t).

Пример 4.9. Какая сумма предпочтительнее при ставке 6\%: 2000 у.е. сегодня или 3500 у.е. через 8 лет?

Найдем современную величину 3500 у.е. через 8 лет при ставке 6\%) из формулы (4.11)

(і+іУ (і+о,об)8

Так как Р = 2196 > 2000, то следует предпочесть сумму 2196 у.е. через 8 лет.

Из формулы (4.21) следует, что при Т> t эквивалентность сумм Р(Т) и P(t) означает, что сумма Р(7), уменьшающаяся при движе1

ний в прошлое за каждый единичный промежуток в y-j-y раз, к моменту t превратится в точности в сумму:

Р10= P{T)Tt ■ (4-22)

Такой пересчет будущей суммы к настоящему моменту называется приведением ее или нахождением ее современной величины.

Пример 4.10. Долг в размере 300 у.е. должен быть выплачен через два года. Найти эквивалентное по ставке 25\% значение через 5 лет.

Из формулы (4.21):

Р(5) = Р(2)(1 + 0,25)5"2 = 300(1 + 0,25)3 = 585,94 у.е.

Отметим важное свойство эквивалентности. При фиксированной ставке сложных процентов из того, что сумма А эквивалентна сумме В и сумма В эквивалентна сумме С, следует, что сумма А эквивалентна сумме С.

Докажем это свойство на следующем общем примере.

А ВС

0 J, 'з *

Рис. 4.6

Пусть 0 — данный момент времени, тогда ti — срок выплаты суммы А, t2—срок выплаты суммы В и Ц — срок выплаты суммы С. Из эквивалентности An В имеем:

B = A(l+i)'241. Так как В эквивалентна С, то

С = В(1 + 0'3"'2Подставляя сюда В из первого соотношения, получим, что

С = ^(1+0'2"'Ч1 + 0'3~'2 =Ж1+0'3-'1 ■ а это означает, что А эквивалентна С.

4.3.2. Потоки платежей

Потоки платежей весьма часто встречаются на практике: заработная плата, плата за квартиру, ежемесячный взнос на счет в банк некоторой суммы, откладываемой для покупки квартиры, и т.д.

Как правило, разного рода финансовые операции предусматривают не отдельные разовые платежи, а множество распределенных во времени выплат и поступлений. Совокупность ряда распределенных во времени платежей принято называть потоком платежей или денежным потоком. Любая финансовая операция

192 предполагает наличие двух потоков платежей: входящего — поступления (доходы) и исходящего — выплаты (расходы, вложения). Эти потоки, а также поток процентных платежей, создаваемый начислением процентов, формируют соответствующий денежный фонд.

Поток называется конечным или бесконечным в зависимости от количества платежей в нем.

Пусть Pjj = {Рк, tK} — поток платежей, где tK — момент времени, а Рк — платежи. Предполагается, что известна ставка процента і, обычно неизменная в течение всего потока.

Величиной потока в момент Т называется сумма платежей потока, дисконтированная к этому моменту

рп(Т) = £РИ1 + 0Г". к

Величина РпФ) называется современной величиной потока. Если есть последний платеж, то величина потока в момент этого платежа называется конечной величиной потока.

Пример 4.11. Имеем поток платежей Рп~ {(-1000; 1), (1000; 2), (1800; 3), (2500; 4)}. Найдем характеристики этого потока при 8\% ставке.

-1000 1000 1800 2500

I 1 1 1 1 ►

0 12 3 4

Рис. 4.7

Прежде всего найдем современную величину потока

Рп(0) = -1000(1 + 0,08)-1 + 1000(1 + 0,08)-2 + + 1800(1 + 0,08)~3 + 2500(1 + 0,08)"* = 3197,89.

Теперь найдем конечную величину потока

Ря(4) = Рл(0)(1 + Г)4 = 3197,89 (1 + 0,08)4 = 4350,69.

Поток платежей, все члены которого положительные величины, а промежутки между платежами одинаковы, называют финансовой рентой или просто рентой.

Временной интервал между двумя последовательными выплатами называется периодом ренты. Срок от начала первого перио

да до конца последнего называется сроком ренты. Различают два основных типа рент: безусловные и условные ренты. Безусловные ренты — это ренты с фиксированным периодом, т.е. даты первой и последней выплат определены до начала ренты. Условные ренты — ренты, в которых дата первой или последней выплаты зависит от некоторого события, например пенсия.

По количеству выплат членов ренты на протяжение года ренты делятся на годовые (выплаты раз в году) ии — срочные (т — количество выплат в году). При анализе производственных инвестиционных процессов иногда применяются ренты с периодами, превышающими год. Перечисленные виды рснт^называются дискретными.

В финансовой деятельности встречаются и такие потоки платежей, которые производятся столь часто, что их практически можно рассматривать как непрерывные.

Текущим значением ренты называется денежная сумма эквивалентная множеству всех выплат в начальный момент ренты. Наращенным значением (суммой) ренты называется сумма, эквивалентная множеству всех выплат в конце всего срока ренты. Для обычной ренты текущее значение определяется за один период до первой выплаты, а наращенное значение — в момент последней выплаты. Очевидно, что и текущее, и наращенное значения зависят от процентной ставки, используемой в уравнении эквивалентности.

По количеству начислений процентов на протяжении года различают ренты с ежегодным начислением, с начислением п раз в году, с непрерывным начислением. Моменты начисления процентов могут совпадать или не совпадать с моментами выплат членов ренты. Однако, расчеты значительно упрощаются, если два указанных момента совпадают. Ренты по этому признаку классифицируются на простые и общие соответственно.

Пример 4.12. Найти текущее и наращенное значение ренты с выплатами 1000 у.е. в конце каждого месяца в течение двух лет. Проценты начисляются ежемесячно по номинальной ставке 6\% годовых.

Приведем временную диаграмму выплат (рис. 4.8).

0,5\% 1000 1000 1000 1000 1000 1000

I 1 1 1 1 1 1

0 1 2 3 22 23 24

Рис. 4.8

Эффективная ставка за месяц г = — \% = 0,5\%.

Если Р, наращенное значение простой обычной ренты, состоящей из п выплат, каждая в размере jR с процентной ставкой і за период начисления, то уравнение эквивалентности для даты последней выплаты имеет вид:

P, = R + R(i + 1) + R(l + і)2 + ... + R(l + if '.

(4.23) (4.24)

Применяя к правой части уравнения формулу суммы членов геометрической прогрессии с первым членом R и знаменателем (1 + і), получим:

(1+0"-1

Множитель

р„ =

R

(1 + 0"-1

называется коэффициентом наращения простой обычной ренты.

(4.25)

Текущее значение ренты Р определяется из условия эквивалентности для текущего и наращенного значения обычной ренты:

Pt=(l + i)"P или р = 1 + " R.

Коэффициент перед R в формуле (4.25) называется дисконтирующим множителем обычной простой ренты.

1-(1 + 0,005) 0,005

Переходим к нашему примеру. По формуле (4.25) вычисляем текущее значение ренты

Р =

-24

■1000 = 22562,87 у.е.

Наращенное значение найдем по формуле (4.23)

P(^1 + 00°°0f-1-1000 = 25431,96 у.е.

По соотношению начала срока ренты и какого-либо момента времени, упреждающего начало ренты, ренты делятся на немедленные и отложенные, или отсроченные. Для отложенной ренты срок ренты начинается в некоторый момент в будущем и ее принято считать обычной.

Важным является различие рент по моменту выплат платежей в пределах периода. Если платежи осуществляются в конце периодов, то соответствующие ренты называют обыкновенными, или постнумерандо, если же платежи производятся в начале периодов, то их называют пренумерандо. Иногда контранты предусматривают платежи или поступления денег в середине периодов.

Для вычисления параметров произвольного потока платежей и, в частности, ренты достаточно уметь составлять уравнение эквивалентности для заданного момента времени. Однако для произвольного ряда выплат эта задача может оказаться трудоемкой. Поэтому для вычисления параметров общей ренты целесообразно преобразовать ее в эквивалентную простую ренту. Пусть jR06 — величина выплат общей обычной ренты; п — число выплат общей ренты в году; і — процентная ставка, соответствующая периоду общей ренты;

R — величина выплат простой ренты, эквивалентной

исходной общей ренте; т — число периодов начисления в году; j — процентная ставка за период начисления. Для простоты восприятия изобразим временную диаграмму (рис. 4.9.).

п выплат в год

R R R R R

| 1 1 1 1 1

т выплат в год Рис. 4.9

Для эквивалентности данных рент необходимо выполнение следующих условий:

Процентные ставки за периоды этих рент должны быть эквивалентны.

Эквивалентные этим рентам значения, соответствующие одному и тому же моменту времени, должны совпадать.

Из определения эквивалентности процентных ставок и первого условия имеем:

(1 + 0" = (1 + /Г(4-26) Приравнивая наращенные за год значения обеих рент, получим: 0±іГ=ік = <!±0^ (4.27)

J I

С учетом (4.26) формула (4.27) запишется так:

j '

Подставляя сюда выражение для і, найденное из (4.26), получим формулу для выплат простой ренты:

R _ l_ Rg6

Пример 4.13. Заменить общую ренту сроком два года с выплатами 1000 у.е. в конце каждого полугодия и начислением процентов по кварталам по ставке 8\% годовых простой рентой с поквартальными выплатами.

Временная диаграмма выплат приведена на рис. 4.10.

Известно, что Ro6 = 1000 у.е., п = 2,т = 4J = 0,02. По формуле (4.28) имеем:

Я = 1000 = 495,05 у.е.

(1 + 0,02)2-1