2.3. критерии оптимальности в условиях полной неопределенности

2.3. критерии оптимальности в условиях полной неопределенности

Неопределенность, связанную с отсутствием информации о вероятностях состояний среды (природы), называют «безнадежной» или «дурной».

В таких случаях для определения наилучших решений используются следующие критерии:

• критерий гарантированного результата (максиминный критерий Вальда) — это пессимистический по своей сути критерий, потому что принимается во внимание только самый плохой из всех возможных результатов каждой альтернативы. Этот подход устанавливает гарантированный минимум, хотя фактический результат может и не быть настолько плохим;

критерий оптимизма (критерий максимакса) соответствует оптимистической наступательной стратегии; здесь не принимается во внимание никакой возможный результат, кроме самого лучшего;

критерий пессимизма характеризуется выбором худшей альтернативы с худшим из всех худших значений окупаемости;

критерий минимаксного риска Сэвиджа можно рассматривать как критерий наименьшего вреда, который определяет худшие возможные последствия для каждой альтернативы и выбирает альтернативу с лучшим из плохих значений;

критерий обобщенного максимина (пессимизма — оптимизма) Гурвица позволяет учитывать состояние между крайним пессимизмом и безудержным оптимизмом. В определенных обстоятельствах каждый из этих методов имеет свои достоинства и недостатки, которые могут помочь в выработке решения.

При сравнительном анализе критериев эффективности нецелесообразно останавливаться на выборе единственного критерия, так как в ряде случаев это может привести к неоправданным решениям, ведущим к значительным потерям экономического, социального и иного содержания. Поэтому в указанных ситуациях имеется необходимость применения нескольких критериев в совокупности. Например, наряду с критерием гарантированного результата может быть использован критерий Сэвиджа, критерий оптимального поведения может дополняться применением пессимистического критерия и т.д.

Применение различных критериев эффективности для различных задач выбора оптимальных решений в условиях неопределенности показывает, что подход, базирующийся на комплексном применении указанных критериев, может стать определяющим.

2.3.1. Критерий гарантированного результата

Его также называют максиминным критерием Вальда. Сущность данного критерия заключается в следующем. ЛПР располагает множеством стратегий (вариантов, альтернатив) решения проблемы:

Р = {Р,} і = Гт.

Указанные стратегии считаются контролируемыми (управляемыми) факторами. Наряду с факторами управляемыми действуют факторы, которые не поддаются контролю. Обозначим их

через 77 = {яД./ = 1,и.

В качестве Р„ могут быть: технические параметры проектируемых систем, экономические показатели состояния предприятия, различные варианты решения поставленных задач и т.п.

Факторы IJj представляют: уровень спроса на товары, предлагаемые фирмой, рыночные цены, условия эксплуатации технических и производственных систем, действия конкурентов и т.д.

Для оценки эффективности принимаемых решений вводим показатель эффективности Е и считаем, что функция Е(Р, П) является известной. Так как факторы Р и Я являются дискретными, то и эффективность Е также представляет собой множество дискретных чисел. Таким образом, каждой точке контролируемых и неконтролируемых факторов (Р„ Щ, ставится в соответствие значение эффективности Е {Рі, Щ. Следовательно, можно построить

матрицу Е = eij, которая представлена в виде табл. 2.1.

Для каждого контролируемого фактора Р, (строки) находится min c(Pj, ЯД в результате чего определяется набор значений по1< j<n

казателя эффективности е(Ру, Я)тіп, е(Р2, Я)тіп,е(Рм, 77)min. Сравнивая полученные величины, выбирают управляемый фактор РгеР, при котором обеспечивается максимальное значение Е(Р, Я).

Таким образом, критерий гарантированного результата (мак-симинный критерий Вальда) записывается в виде

і j \<m<i\<j<n 1 (Z.J.i;

Данный критерий обеспечивает максимизацию минимального выигрыша или, что то же самое, минимизацию максимальных потерь, которые могут быть при реализации одной из стратегий. Критерий прост и четок, но консервативен в том смысле, что ориентирует принимающего решение на слишком осторожную линию поведения. Величина, соответствующая максимальному критерию, называется нижней ценой игры, под которой следует понимать максимальный выигрыш, гарантируемый в игре с данным противником выбором одной из своих стратегий при минимальных результатах. Это перестраховочная позиция крайнего пессимизма, рассчитанная на худший случай. Такая стратегия приемлема, например, когда игрок не столь заинтересован в крупной удаче, но хочет себя застраховать от неожиданных проигрышей. Выбор такой стратегии определяется отношением игрока к риску.

Рассмотрим следующую задачу. Пусть, например, предприятие готовится к переходу на новые виды продукции, при этом возможны четыре решения Р, Р2> Рз, Рб,, каждому из которых соответствует определенный вид выпуска или их сочетание.

Результаты принятия решений существенно зависят от обстановки, которая в значительной мере неопределенна. Варианты обстановки характеризует структура спроса на новую продукцию, которая может быть трех типов: П, П2, Щ.

Выигрыш, характеризующий относительную величину результата (доходы, прибыль и т.п.), соответствующий каждой паре сочетаний решений Р и обстановки П, представлен в табл. 2.2.

Нужно найти такую стратегию (линию поведения) Р„ которая по сравнению с другими является наиболее выгодной (оптимальной). Показатель эффективности

Ег= шах {0,25;0,20;0,10;0,20}= 0,25

г

и, следовательно, предпочтение необходимо отдать варианту Р.

Выбрав решение Р, мы независимо от вариантов обстановки получим выигрыш не менее 0,25. При любом другом решении, в случае неблагоприятной обстановки, может быть получен резупь-72 тат (выигрыш) меньше 0,25. Так, при выборе решений Р2, полученный выигрыш, в зависимости от наступившего варианта обстановки, будет колебаться от 0,2 до 0,75. Для решений Рз и Ра, границы, в которых будет колебаться выигрыш, составят 0,10 + 0,80 и 0,20 + 0,90.

Отметим еще раз, что этот критерий ориентирует ЛПР на слишком осторожную линию поведения. Так этот критерий никак не учитывает, что в случае принятия решения Pi (т.е. при ориентации на выигрыш 0,25), максимальный выигрыш не превышает 0,4. В то время, как выбирая, например, решение Рз, при гарантированном выигрыше 0,1 в случае благоприятной обстановки можно получить выигрыш равный 0,80.

В ряде экономических задач в качестве критерия эффективности принимаемых решений выступает показатель минимума затрат. В этих ситуациях принцип гарантированных затрат формулируется в виде

Зг = min max 3,-,-. (2.3.2) ' j

I В качестве затрат 3 = ||3у|| могут выступать: капитальные вложения, валовые издержки производства, приведенные годовые затраты и другие показатели.

і Пример. Производится сравнение различных инвестиционных проектов Прх, Пр2,..., Прт. Для реализации каждого из проектов необходима определенная величина капитальных вложений К = {К j}, і = йїп, величины К~і являются управляющими (контролируемыми) факторами.

Каждому проекту соответствует определенное значение себестоимости продукции, которую предполагается выпускать при реализации проекта. Совокупность значений себестоимости продукции представляется в виде:

С = {СД J = lmВеличины Cj на начальных этапах выполнения проекта точно определить невозможно, поэтому они считаются неконтролируемыми факторами. Каждой паре К{, Cj, соответствует определенное значение приведенных годовых затрат, определяемых по формуле

Зу = Ен • К( + Cj,

где Ен — нормативный коэффициент эффективности капитальных вложений.

Располагая наборами {К(} и {Cj}, составляем матрицу приведенных затрат 3 = p(Kt, Cj )|| = ptj|, которая приведена в табл. 2.3.

Критерий гарантированных затрат реализуется как Зг =min{l30,200,200;150}=130.

і

В качестве наиболее эффективной выступает первая стратегия, которой соответствуют капитальные вложения К}.

2.3.2. Критерий оптимизма

При использовании данного критерия, называемого также критерием максимакса, ЛПР ориентируется на то, что условия функционирования анализируемых систем будут для него наиболее благоприятными. Вследствие этого оптимальным решением является стратегия, приводящая к получению наибольшего значения критерия оптимальности в платежной матрице. Этот критерий целесообразно применять в тех случаях, когда имеется принципиальная возможность повлиять на функции противоположной стороны.

Если анализируется матрица эффекта Е(Р, 77) того или иного вида, то выбор управляемых факторов осуществляется таким образом, чтобы обеспечить максимум эффекта. И в этом случае критерий оптимизма записывается в виде

En = max max Е(Р, 77) = max max eti. n x

і j \<i<m\<j<n 1 y^.J.J)

Пример. Анализируется матрица выпуска новых видов продукции, приведенная в табл. 2.2. Необходимо определить оптимальную стратегию с помощью принципа оптимизма. В данном случае принцип оптимизма записывается в виде

Е0 = тах{0,40; 0,75;0,80;О,90}= 0,90,

что отвечает выбору решения Р4.

Если рассматривается матрица затрат, то управляемые факторы выбираются так, чтобы минимизировать указанные затраты. Тогда рассматриваемый критерий формируется следующим образом:

3„ -minmin3(7,П) = min min 3„. о о д

і j \<i<m\<j<n 1 А.з.*)

Пример. Рассматривается матрица приведенных годовых затрат, соответствующая табл. 2.3. Необходимо определить наиболее эффективную стратегию, используя критерий оптимизма. Применительно к рассматриваемой ситуации принцип оптимизма может быть представлен в виде

30 =min{75,80,60,90}=60.

і

Следовательно, наиболее эффективной является стратегия, соответствующая К}. Сравнивая два данных решения этого пункта и

75

решения, полученные при использовании критерия гарантированных затрат, видим, что они не совпадают. Следует ожидать, что такая ситуация будет характерна для большинства анализируемых реальных задач из-за принципиальных отличий критериев.

Отметим, что ситуации, требующие применения критерия оптимизма, в экономике в общем нередки и пользуются им не только безоглядные оптимисты, но и игроки, поставленные в безвыходное положение, когда они вынуждены руководствоваться принципом «или пан, или пропал».

2.3.3. Критерий пессимизма

В отличие от критерия оптимизма, когда лпр ориентируется на наиболее благоприятную внешнюю среду, которая является неконтролируемой, и на оптимальное использование управляемых факторов, при использовании принципа пессимизма предполагается, что управляемые факторы могут быть использованы неблагоприятным образом:

En = min min Е(Р, П) = min min е„, П1г,

і j \<i<m\<j<n 1 IZ.J.J>

где E(P, П) — функция эффективности принимаемых решений.

Применение этого принципа может вызывать некоторое сомнение, если учесть, что факторы р являются контролируемыми и их следует использовать оптимальным в том или ином смысле образом. Однако, в реальных ситуациях в ряде задач может оказаться невозможным контроль за неконтролируемыми факторами, принадлежащими множеству р. Особенно это относится к задачам, связанным с необходимостью учета фактора времени.

К этим задачам можно отнести следующие задачи: социально-экономическое прогнозирование; долгосрочное планирование; проектирование сложных объектов и др.

Например, издержки производства являются контролируемыми факторами на коротких временных интервалах. Однако, при анализе длительных процессов, которые составляют несколько лет, некоторые элементы указанных издержек становятся неконтролируемыми. К таким элементам можно отнести: стоимость электроэнергии, стоимость материалов и покупных изделий и т.п.

Другим примером является определение объемов производства продукции предприятия. Данный показатель также можно считать управляемым фактором. Но он зависит от различных факторов, которые могут существенным образом применяться в процессе производства. При этом указанные факторы относятся к внутренней среде предприятия: уровень конструкторской и технологической подготовки производства, тип используемого оборудования, квалификация работающих и пр.

Пример. Компания производит продукцию определенного ассортимента и осуществляет ее сбыт по четырем каналам:

ежемесячный объем продукции с устойчивыми связями по сбыту на ряд лет в среднем составляет 490000 у.е.;

ежемесячный объем продукции с устойчивым сбытом, но не на длительный срок — 500000 у.е.;

ежемесячный объем продукции обеспечен только разовыми закупками — 510000 у.е.;

месячная продукция, покупатель на которую не определен — 480000 у.е.

Компания может осуществлять производство продукции по трем проектам в объемах 980000 у.е., 1500000 у.е. и 1980000 у.е.

Требуется выбрать оптимальную стратегию производства.

В зависимости от изменений рыночной конъюнктуры в связи с имеющимися возможностями реализации рассчитаны варианты среднегодовой прибыли, которые представлены в виде матрицы платежеспособного спроса (табл. 2.4), с учетом ожидаемого значения потерь в случае неудачного исхода, связанных, например, с хранением нереализованной продукции, как следствия неиспользованных возможностей, нерационального распределения инвесТ а б л и ц а 2.4

Анализ коммерческой стратегии при неопределенной конъюнктуре

тиций, снижения оборачиваемости оборотных средств, порчей, либо другими причинами.

При построении платежной матрицы первостепенную важность имеют пропорции исходных и результативных показателей, поскольку вызванные инфляционными пропорциями изменения цен, оказывая влияние на абсолютные величины, не изменяют их пропорциональных соотношений. Это позволяет использовать данную методику в условиях инфляции без дополнительных расчетов.

Контролируемыми параметрами являются объем производства и им соответствуют три стратегии Рі, Р2, Р3. Неопределенность TIj связана с колебаниями спроса на продукцию предприятия и ей отвечают четыре стратегии: П — низкая зависимость от изменений рыночной конъюнктуры, П2 — средняя зависимость, /?з — зависимость от изменения конъюнктуры высокая, Щ — зависимость от изменений конъюнктуры абсолютная.

Критерий пессимизма равный

En =min{49300;-60;-1140}=-1140. j

отвечает стратегии Р3, которой соответствует выбор объема производства продукции в сумме 1 980 ООО у.е.

Для анализа матрицы затрат критерий пессимизма запишется как

3n = max max 3(Р, П) max max Зи. п і &

і j 1<лйт\<]<п 1 (Z.J.O)

Пример. Располагая матрицей приведенных годовых затрат, представленной в виде табл. 2.3, необходимо выбрать эффективную стратегию с помощью принципа пессимизма.

В рассматриваемой стратегии 3n =max{l 30,200,200,150}= 200.

і

Затраты 3„ = 200 могут быть обеспечены при использовании второй и третьей стратегий.

2.3.4. Критерий минимаксного риска Сэвиджа

При использовании вышеперечисленных критериев возможны ситуации, когда неконтролируемые факторы будут действовать более благоприятным образом по сравнению с наихудшим состоянием, на которое ориентировалось ЛПР. Например погод-78 ные условия оказываются более благоприятными по сравнению с прогнозируемыми. Количество конкурентов на тех или иных рынках оказывается существенно меньше по сравнению с теми ожиданиями, на которые ориентировались производители.

В подобных ситуациях полезный результат может значительно отличаться от того, который обеспечивается при реализации критерия гарантированного результата или критерия пессимизма.

Поэтому возникает необходимость определения возможных отклонений полученных результатов от их оптимальных значений. Здесь находит применение критерий Сэвиджа. Выбор стратегии аналогичен выбору стратегии по принципу Вальда с тем отличием, что игрок руководствуется не матрицей выигрышей Е, а матрицей рисков R, построенной по формуле (2.2.2). Критерий Сэвиджа формулируется следующим образом:

Err = min max R(P, П) = min max ru. (2.3.7.)

1 j l<i<ml<j<n 1

Пример. Матрица полезного результата имеет вид, представленный в табл. 2.4. Найдем значения В, = тахе„ :

1 \<\<т 1

Pi = max{49 300, 60, 1140} = 49 300, р2 = max {197 200, 148 900, 98 400} = 197 200, Pi = max {197 200, 297 800, 196 800} = 297 800, /34 = max {197 200, 297 800, 393 600} = 393 600,

Анализ коммерческого риска при неопределенной конъюнктуре

а затем по формуле (2.2.2) строим матрицу рисков (табл. 2.5).

В данном случае Erc = min{196 400, 95 800, 101 000} = 95800. Следовательно, выбирается стратегия Р2, при которой величина риска, равная 95 800 у.е., принимает минимальное значение в самой неблагоприятной ситуации.

Сущность этого критерия в стремлении избежать большого риска при выборе решения. В соответствии с этим критерием (см. табл. 2.4) следует производить продукцию в объеме Р2 = 1 500 000 у.е.

Таким образом, критерий Сэвиджа минимизирует возможные потери. Основным исходным допущением этого критерия является предположение о том, что на выбор вариантов обстановки оказывают влияние действия разумных противников (природы), интересы которых прямо противоположны интересам ЛПР. Поэтому, если у противников (конкурентов) имеется возможность извлечь какие-либо преимущества, то они это обязательно сделают. Это обстоятельство заставляет ЛПР обеспечить минимизацию потерь вследствие этих действий.

2.3.5. Критерий обобщенного максимина (пессимизма-оптимизма) Гурвица

Критерий Гурвица позволяет учитывать комбинации наихудших состояний. Этот критерий при выборе решения рекомендует руководствоваться некоторым средним результатом, характеризующим состояние между крайним пессимизмом и безудержным оптимизмом.

В соответствии с этим компромиссным критерием для каждого решения определяется линейная комбинация минимального и максимального выигрышей.

Ej = {к min еи + (1 к) max е„-},

1<у<п * l<j<n 1

и предпочтение отдается варианту решения, для которого окажется максимальным показатель Et, т.е.

Еи = max {к min eti + (1 к) max е„}, п\%«

,! \<i<m 1<у<п 4 \<j<n 4 (1.ІЛ)

где к — коэффициент, рассматриваемый как показатель оптимизма (0 < к < 1).

При к 0 критерий Гурвица совпадает с максимальным критерием, т.е. ориентация на предельный риск, так как больший выигрыш сопряжен, как правило, с большим риском. При к1 — ориентация на осторожное поведение. Значения к между 0 и 1 являются промежуточными между риском и осторожностью и выбираются в зависимости от конкретной обстановки и склонности к риску ЛПР.

Пример. Анализируется матрица полезного результата, имеющая вид табл. 2.4. При значении коэффициента оптимизма к = 0,6 найдем оптимальную стратегию Р(.

Вычисляем для каждой стратегии линейную комбинацию:

Ех = 0,6 • 49 300 + (1 0,6) • 197 200 = 108 460, Е2 = 0,6 ■ (60) + (1 0,6) • 297800 = 119 084, £3 = 0,6 • (1140) + (1 0,6) • 393 600 = 147 756. Выбираем наибольшее из этих значений:

Еіг = max{108460; 119084; 147756}.

В соответствии с критерием Гурвица средний размер прибыли будет равен 147 756 у.е. при выборе объема производства Р3 = 1 980 000 у.е.

Применительно к матрице рисков R критерий Гурвица имеет вид:

Е„ = min {к max ra + (l-k) min ги}. (2.3.9)

1</<т К/£п 1 \<]<п 1

Пример. Рассматривается матрица коммерческого риска, приведенная в табл. 2.5. Необходимо определить оптимальную стратегию с помощью критерия Гурвица (2.3.9).

Вычисляем при коэффициенте оптимизма к = 0,6 линейные комбинации:

Еп = 0,6 • 196400 + (1 0,6) -0 = 117840, Ег2 = 0,6 • 95800 + (1 0,6) • 0 = 57480, Ег3 = 0,6 ■ 101000 + (1 0,6) • 0 = 60600.

Находим Eri = min {117840; 57480; 60600} = 57480, что отвечает выбору объема производства Р2 = 1500000 у.е.

Результаты вычислений по формуле (2.3.8) сведены в табл. 2.6.

Как видим, с изменением коэффициента к изменяется вариант решения, которому следует отдать предпочтение. Сведем все критерии оптимальности в табл. 2.7.