4.2. пенсионное страхование

4.2. пенсионное страхование

На основе данных таблиц смертности (см. прил. 3) можно получить систему вероятностей дожития, необходимую для расчёта соответствующих страховых показателей, где lxколичество живущих в возрасте x; dxколичество умерших в возрасте x.

Вероятность прожить от возраста хдо возраста x + n

p = 1x+n

Вероятность прожить еще один год до возраста x

Px = 1" Qx = 1 "p

Пример. Вероятность мужчине в возрасте 30 лет прожить ещё 10 лет составит

p =^L = ^1Г_ = 0,95191.

30 l30 96 997

По данным таблицы смертности находят и вероятность смерти в определённых возрастах. Например, вероятность умереть в возрасте от x до x + n

x x+n

Пример. Вероятность для мужчины в возрасте 30 лет умереть в течение 10 следующих лет определяется как

10q30 = 1-10а0 = 1 0,95191 = 0,04809.

В свою очередь вероятность для лица в возрасте x лет умереть в возраст-ном интервале от x + m до x + m + n определим следующим путём:

™ ^x+m ^x+m+n тттттт ^x+m ^x+m ^x+m+n t*

m/nQx = 1 или 1 • ( )

x x x+ m

Из последнего выражения вытекает, что

m/n1x=mpx' nqx + m .

Иначе говоря, искомая вероятность равна произведению вероятности дожить до возраста x + m и вероятности умереть в следующие n лет.

Пример. Найдём для мужчины в возрасте 30 лет вероятность умереть в течение двух лет после достижения им возраста 33 лет.

По формуле (*), зная количество живущих в возрасте 33 и 35 лет и разделив их на количество живущих в возрасте 30 лет, получаем

(95 821 94 951)/96 991 = 0,00897.

Вычисление платежей при смешанном страховании жизни по данным таблиц смертности.

Достоверность и математическая точность данных таблиц смертности (см. прил. 3) позволяет использовать их для расчёта нетто-ставок по видам страхования жизни.

Договоры страхования жизни заключаются, как правило, на длительный срок. Период времени между уплатой взносов и моментом осуществления выплат достигает нескольких лет. В течение этого срока за счёт инфляции и прибыли, получаемой от инвестирования временно свободных средств, стоимость страховых взносов изменяется. Чтобы учесть подобные изменения при построении тарифных ставок, применяют методы долгосрочных финансовых вычислений, в частности дисконтирование.

Тарифные ставки бывают единовременные и годовые.

Единовременная ставка по страхованию на дожитие для лица в возрасте x лет при сроке страхования n лет в расчёте на 100 р. страховой суммы определяется следующим образом:

Ex= -100:

где lx количество живущих в возрасте X; lx + n число лиц, доживающих до возраста x + n; Vдисконтный множитель, который определяется по формуле V = 1/(1 + i)n , где nсрок страхования; iнорма доходности инвестиций.

Единовременная нетто-ставка на случай смерти на определённый срок вычисляется как

uA= = dxV+ dx+V +... + dx+n-vV -100,

где dx, dx + 1, dx + n1 число лиц, умирающих при переходе от возраста x к возрасту x + 1

При смешанном страховании жизни на дожитие и на случай смерти совокупная нетто-ставка равна

Tn = nEx + nAx.

Брутто-ставка определяется как:

T = Tn 100 b 100 /'

где f доля нагрузки в брутто-ставке, \%.

Вычисление тарифных ставок через коммутационные числа. На практике приходится исчислять тарифные ставки для различных возрастов застрахованных лиц и сроков страхования (а также уплаты взносов и страховых выплат), что очень трудно. Для упрощения расчётов применяют специальные технические показатели коммутационные числа (см. прил. 3).

Dx = lxVx,

Cx = dx+X, Mx = Cx + Cx+1 +...+CV, Rx = Mx + Mx+1 +... +MW ,

где wпредельный возраст таблицы смертности.

В результате преобразований формулы расчёта нетто-ставок через коммутационные числа примут следующий вид.

Единовременная нетто-ставка для лица в возрасте хлет:

1. На дожитие при сроке страхования n лет

E = Dx+n-100.

n x Dx 2. На случай смерти.

2.1. При страховании на определённый срок

л = мх-мх+п loo

2.2. Для пожизненного страхования

мх

Ax = —х100.

Годовая нетто-ставка (взнос уплачивается в начале страхового периода) для лица в возрасте хлет: 1. На дожитие при сроке страхования n лет

nex = —DxxXn— 100.

N N

2. На случай смерти.

2.1. При страховании на определённый срок

пхх = Mx-Mx+n .100. n х N N

2.2. При пожизненном страховании

mx. 100.

ЗАДАЧИ

Задача 1. Для лица в возрасте 44 лет рассчитайте:

а) вероятность прожить ещё год;

б) вероятность умереть в течение предстоящего года жизни;

в) вероятность прожить ещё 2 года;

г) вероятность умереть в течение предстоящих двух лет;

д) вероятность умереть на 3-м году жизни в возрасте 47 лет.

Ответ: 0,9891; 0,0103; 0,9774; 0,0226; 0,0124.

З а д а ч а 2 . Для лица в возрасте 47 лет рассчитайте:

а) вероятность прожить ещё 1 год;

б) вероятность умереть в течение предстоящего года жизни;

в) вероятность прожить ещё два года;

г) вероятность умереть в течение предстоящих двух лет;

д) вероятность умереть на третьем году жизни в возрасте 50 лет.

Ответ: 0,9864; 0,0136; 0,9721; 0,0279; 0,0149.

Задача 3. Для лица в возрасте 40 лет рассчитайте:

а) вероятность умереть в течение предстоящего года жизни;

б) вероятность прожить ещё год;

в) вероятность умереть в течение предстоящих 4 лет;

г) вероятность прожить ещё 4 года;

д) вероятность умереть на 5-м году жизни в возрасте 45 лет.

Ответ: 0,0082; 0,9918; 0,0359; 0,9641; 0,0105.

З а д а ч а 4 . Для лица, чей возраст составляет 43 года рассчитайте вероятность:

а) умереть в течение предстоящих 3 лет;

б) прожить ещё 3 года;

в) умереть в течение предстоящих 4 лет;

г) прожить ещё 4 года;

д) умереть на 6-м году жизни (в возрасте 49 лет).

Ответ: 0,0325; 0,9675; 0,0447; 0,0553; 0,0136.

Задача 5. Для лица в возрасте 41 года рассчитайте:

а) вероятность прожить ещё 1 год;

б) вероятность умереть в течение предстоящих 3 лет;

в) вероятность прожить ещё 2 года;

г) вероятность умереть в течение предстоящих 2-х лет.

Ответ: 0,9912; 0,0088; 0,9819; 0,0181.

З а д а ч а 6 . Для лица, чей возраст 41 год рассчитайте вероятность:

а) прожить ещё 3 года;

б) умереть в течение предстоящих 3-х лет;

в) прожить ещё 4 года;

г) умереть в течение предстоящих 4-х лет.

Ответ: 0,972; 0,028; 0,9614; 0,0386.

З а д а ч а 7 . Для лица в возрасте 42 лет рассчитайте вероятность:

а) прожить ещё 1 год;

б) умереть в течение предстоящего года жизни;

в) прожить ещё два года;

г) умереть в течение предстоящих 2-х лет жизни;

д) умереть на 2-м году жизни в возрасте 44 лет.

Ответ: 0,9906; 0,0094; 0,9806; 0,0194; 0,01.

Задача 8. Для лица, возраст которого 42 года, рассчитайте:

а) вероятность прожить ещё 3 года;

б) вероятность умереть в течение предстоящих 3-х лет жизни;

в) вероятность прожить ещё 4 года;

г) вероятность умереть в течение предстоящих 4-х лет жизни;

д) вероятность умереть на 4-м году жизни в возрасте 46 лет.

Ответ: 0,9463; 0,0537; 0,9334; 0,0666; 0,0129.

Задача 9. Для лица в возрасте 42 лет рассчитайте вероятность:

а) прожить ещё 5 лет;

б) умереть в течение предстоящих 5 лет;

в) прожить ещё 6 лет;

г) умереть в течение предстоящих 6 лет жизни;

д) умереть на 6-м году жизни в возрасте 48 лет.

Ответ: 0,9463; 0,0537; 0,9334; 0,0666; 0,0129.

З а д а ч а 1 0 . Страхователь в возрасте 44 лет включил договор страхования на случай смерти сроком на 3 года. Норма доходности 8 \%. Определите:

1. Единовременную нетто-ставку на случай смерти двумя способами: а) используя данные таблицы смертности;

б) через коммутационные числа.

Годовую нетто-ставку.

Брутто-ставку (единовременную и годовую), если нагрузка составляет 11 \%.

Брутто-премию (единовременную и годовую), если страховая сумма 40 тыс. р.

Ответ: 2,99 р.; 1,09 р.; 3,36 р.; 1,22 р.; 1346 р.; 490 р.

З а д а ч а 1 1 . Страхователь в возрасте 42 лет заключил договор смешанного страхования жизни на 4 года. Определите:

единовременную нетто-ставку на дожитие и на случай смерти через коммутационные числа;

единовременную брутто-ставку при смешанном страховании жизни, если нагрузка в брутто-ставке 12 \%;

3) брутто-премию, если страховая сумма равна 35 тыс. р.

Ответ: 70,45 р.; 3,42 р.; 83,94 р. ; 29 379 р.

Задача 12. Рассчитайте единовременную и годовую брутто-премию при пожизненном страховании на случай страховании на случай смерти страхователя в возрасте 47 лет. Норма доходности 8 \%, страховая сумма 35 тыс. р. Доля нагрузки в брутто-ставке 13 \%.

Ответ: 23,1 р.; 2,2 р.; 26,5 р.; 2,5 р.; 9,275 тыс. р.; 8,75 р.

Задача 13. Рассчитайте для страхователя в возрасте 43 лет, заключившего договор страхования жизни сроком на 5 лет (норма доходности 8 \%, страховая сумма 40 тыс. р.):

размер единовременной нетто-ставки на дожитие и на случай смерти двумя способами:

а) используя данные таблицы смертности;

б) через коммутационные числа;

размер единовременной брутто-ставки при смешанном страховании (в рублях на 100 р. страховой суммы), если доля нагрузки в брутто-ставке 12 \%;

единовременную брутто-премию при смешанном страховании жизни.

Ответ: 6,41 р.; 4,6 р.; 68,7 р.; 78,1 р.; 32,240 тыс. р.