Формирование математических понятий у учащихся младших классов

Формирование математических понятий у учащихся младших классов

Натуральное число явление многогранное, и вопрос о том, с какого из основных аспектов числа (количественного или порядкового) целесообразно начинать обучение математике и каким путем (индуктивным или дедуктивным) стремиться к результату, привлекает внимание философов, историков, психологов, методистов.

Учитывая конкретность мышления детей с нарушениями интеллекта, первоначальное обучение числам осуществляется индуктивным методом, который дает возможность формировать обобщенные знания о числах на основе практических действий с реальными предметными группами.

Известно, что умственно отсталые дети, приступающие к изучению математики, зачастую безразличны к количеству предметов, на которые направлена их деятельность, не владеют приемом установления взаимно-однозначного соответствия между элементами множеств и судят о множестве не по количеству его элементов, а по их пространственным характеристикам.

Действительно, рассматривая ряды из плотно прижатых друг к другу пяти ёлочек и четырех менее плотно стоящих домиков, занимающих на поверхности парты большее пространство, умственно отсталые дети неправильно отвечают, что домиков больше, чем ёлочек. В этой ситуации ребенок не может дать ожидаемую педагогом количественную оценку. Он считает, что, спрашивая «Где больше?», учитель интересуется пространственными характеристиками объектов (домики занимают больше места на парте), а не численностью множеств, о которой ученик не имеет представления.

Подобные суждения, по данным многочисленных исследований, у истоков которых стоял Ж. Пиаже, характерны не только для умственно отсталых, но и для нормально развивающихся детей.

Исследуя генезис понятия числа, Ж. Пиаже установил, что все дети уверены в эквивалентности двух совокупностей, приведенных во взаимно-однозначное соответствие. Но если изменить форму одной из двух совокупностей или каждую из них поместить в сосуды различной формы, изменив объем физическую величину, то эта вера в эквивалентность разрушается противоположной ей перцептивной видимостью. Исследователь выделил три стадии овладения ребенком понятием числа. На первой стадии перцептивные отношения сразу берут верх над эквивалентностью. На протяжении второй стадии наличные факторы оказываются равными по силе. Наконец, на третьей стадии эквивалентность сразу побеждает перцептивные отношения: две совокупности, однажды приведенные в поэлементное соответствие, понимаются как эквивалентные вне зависимости от изменения их формы.

В специальных исследованиях, в которых предпринимается попытка исторической реконструкции становления понятия числа, утверждается, что понятие величины в истории математики появилось раньше, чем умение обозначать величины числом. Лишь впоследствии, когда обнаружилось, что умения просто сравнивать величины недостаточно, возник вопрос, а на сколько больше (меньше). И только на этом этапе собственно и возникли потребность в числе и счете и само число и счет. Если провести параллель между историческим развитием человеческого сознания (в частности, понятия числа) и его индивидуальным становлением, то станет понятно, почему характеристики (больше, меньше и т. п.) непрерывных величин (например, объема) являются доминирующими и распространяются детьми, достигшими, по Ж.Пиаже, первой и второй стадий овладения числом, и на дискретные множества, состоящие из отдельных элементов.

Идея о построении методики формирования понятия числа, повторяющей этапы его зарождения и становления в истории человечества, стала отправной точкой в исследованиях П. Я. Гальперина, Л. С. Георгиева, Н. Ф. Талызиной.

По замыслу авторов, число должно быть воспринято детьми прежде всего как отношение измеряемой величины к выбранной мерке, как результат измерения. Так, численное значение длины отрезка образуется при измерении данного отрезка неизвестной длины с помощью единичного отрезка (одной мерки). Предположим, школьники устанавливают, что измеряемый отрезок состоит из трех единичных отрезков (трех мерок), следовательно, его длина соответствует числу 3.

Если учащиеся усвоят, что величины можно измерять различными мерами и поэтому их числовая характеристика может быть разной, то они не будут испытывать затруднений и при движении по разрядной сетке от единиц к десяткам, от десятков к сотням, тысячам и т. д. Для школьников это будет всего лишь переход к измерению величин все большими и большими мерами: измеряли единицами, а теперь меру увеличили в 10 раз, поэтому то, что обозначалось как 10, теперь обозначается как 1. Следовательно, один разряд отличается от другого только величиной меры, поскольку три плюс пять всегда будет восемь, но это может быть и восемь единиц, и восемь десятков, и восемь сотен, и восемь тысяч и т. д.

Похожую стратегию введения понятия числа на основе измерений реализовал в своей методике В. В. Давыдов.

Исходя из того, что человек шел от более общего представления к более конкретному от величины к числу, и используя известный теоретико-математический факт, что натуральное число является частным, особым видом более общего математического объекта -величины, по мнению В. В. Давыдова, обучение математике нужно начинать с подлинного начала алгебры, а не арифметики.

Основная идея системы обучения математике, разработанной В. В. Давыдовым, состояла в том, чтобы в течение первого полугодия I класса на основе измерения сформировать у школьников обобщенные знания закономерностей оперирования числами с помощью буквенной символики, а первоначальное ознакомление с числами, счетом провести во втором полугодии. Работая с реальными объектами, выделяя в них параметры величин (тяжесть и объем, площадь и длина и т. д.), дети должны научиться сравнивать объекты по той или иной физической величине, определяя их равенство или неравенство, и полученный результат уравнения записывать буквенной формулой.

Например, если при измерении данного отрезка а с помощью единичного отрезка (мерки) b выясняется, что отрезок а состоит из трех отрезков, равных b, делается запись а = b + b + b. Таким образом, натуральное число п возникает как численное значение длины отрезка а, которое показывает, из скольких единичных отрезков b состоит измеряемый отрезок а.

Критики систем обучения математике, основанных на формулах «измерение величин натуральное число» (П. Я. Гальперин, Л. С. Георгиев, Н. Ф. Талызина и др.) и «измерение величин буквенный символ натуральное число» (В.В.Давыдов и др.), не могли не признать, что ни в одной другой области знания не развито столь сильно, как в математике, дедуктивное и дедуктивно-аксиоматическое начало. Тем не менее соображения психолого-педагогического характера, касающиеся доступности учебного материала, служили для них достаточным основанием, чтобы отклониться в школьном обучении от логики научной системы. Но вместе с тем, если измерение рассматривать как единственную основу для введения понятия числа, то при последующем обучении возникнут трудности, поскольку количественная, порядковая и операторная стороны числа отодвигаются на второй план. Разделяя эту позицию, Н. А. Менчинская и М. И. Моро указывали, что научить детей оперировать количественными характеристиками сразу в обобщенной форме, используя дедуктивный метод на начальном этапе обучения числам, крайне трудно, а неоправданная формализация обучения арифметике отрывает ее от жизни.

Отрицая возможность формирования у умственно отсталых детей первоначальных знаний о числах дедуктивным методом на основе измерений, нельзя не согласиться с тем, что полноценное овладение учеником понятием числа безусловно предполагает усвоение школьниками знаний о числах, полученных при измерении величин.

Также односторонне с психологической точки зрения рассматривали понятие числа сторонники индуктивного пути формирования первоначальных математических знаний с помощью метода изучения чисел (А.В.Грубе, И. П. Паульсон, В. А. Евтушевский), метода изучения чисел при помощи числовых фигур (В. А. Лай) и метода изучения действий (В. А. Латышев, А. И. Гольденберг).

Методы изучения чисел и метод изучения действий основаны на двух различных психолого-педагогических концепциях становления понятия числа у ребенка.

Метод А. В. Грубе базировался на теории восприятия числа, которая обосновывает способность ученика охватить множество как единую систему элементов, не прибегая к их пересчету.

Разработчики метода изучения действий критиковали это положение и доказывали, что число может быть усвоено ребенком только в результате пересчитывания объектов.

Метод изучения чисел (монографический метод) начал распространяться в России в начале 60-х годов XIX в. с появлением книги И. П. Паульсона «Арифметика по способу Грубе». Наиболее популярная версия этого метода была предложена известным отечественным педагогом В. А. Евтушевским в «Методике арифметики», вышедшей в свет в 1872 г.

Авторы были убеждены в эффективности «непосредственного созерцания чисел» 1-100 для «осязательного понимания» и формирования у детей наглядного образа каждого отдельного числа первой сотни, несмотря на то что примеров разложения чисел по составу в пределах сотни может быть около 5000. Тем не менее в прилагаемых к «Методике...» задачниках содержались упражнения по разложению каждого числа в пределах 100 на все предшествующие числа, по разностному и кратному их сравнению.

Стремление ведущих немецких педагогов усовершенствовать курс арифметики А. В. Грубе, опираясь на данные психологических исследований, привело к разработке метода числовых фигур (метода изучения чисел при помощи числовых фигур).

В опубликованном в 1897 г. в Германии «Руководстве к первоначальному обучению арифметике, основанному на дидактических опытах» В. А. Лай рекомендует, как и А. В. Грубе, изучать каждое число в отдельности, но уже не в пределах сотни, а лишь от 1 до 10.

В. А. Лай экспериментально установил, что ребенок в состоянии одновременно воспринять пространственно неупорядоченную группу, состоящую не более чем из четырех объектов, но если расположить счетный материал в виде определенной фигуры, то ученики смогут воспринять и большие группы до 10-12. Автор предложил использовать разработанные еще в 1877 г. Ф.И.Буссе квадратные числовые фигуры не только как рядовое наглядное пособие, а как главный и единственный дидактический материал основу формирования понятия числа, который вызывает образ числа, как целого, так и раздробленного по составу в различных комбинациях.

В 80-е годы XIX в. методики Грубе-Лая-Евтушевского начали постепенно вытесняться из практики школьного обучения, и начальное обучение арифметике, освобождаясь от немецкого влияния, стало развиваться в России по самобытному пути. Русские методисты-математики подвергли критике положение о доступности для детского восприятия каждого числа в пределах 100, представленного в виде группы единиц в различных комбинациях. Борьба прогрессивных представителей отечественной культуры (Л. Н. Толстого, С. А. Рачинского и др.) с монографическим изучением чисел привела к возникновению принципиально отличного метода обучения математике метода изучения действий.

Авторы нового метода В. А. Латышев, А. И. Гольденберг, Д. Л. Волковский считали, что использование монографического метода целесообразно только при изучении чисел первого десятка. Что же касается области чисел последующей десятки, то для изучения ее прочно и разумно установлена так называемая метода изучения действий (Д. Л. Волковский).

В методе изучения действий были использованы некоторые положительные, с точки зрения В.А.Латышева и других ученых, рекомендации разработчиков метода изучения чисел:

1) целесообразно последовательно и раздельно изучать первый, второй десяток и первую сотню;

2) необходимо сочетать выполнение упражнений с отвлеченными числами и решение заданий практического содержания, используя приемы устных и письменных вычислений;

3) полезно применять наглядные средства обучения;

4) вопросо-ответная форма обучения приносит наибольший дидактический эффект в том случае, если наводящие вопросы

педагога подвигают учеников на самостоятельный поиск знаний.

Тем не менее, по мнению Н. А. Менчинской и М. И. Моро, абстрактные математические закономерности натурального ряда чисел, которыми должны были руководствоваться ученики при выполнении математических операций, часто не имели для них реального смысла, так как школьники были лишены прочной базы чувственного восприятия количественной характеристики числа.

Одним из наиболее авторитетных зарубежных противников метода изучения чисел с помощью числовых фигур был швейцарский педагог И.Штеклин — автор естественно-наглядного метода изучения чисел.

Не соглашаясь с утверждением В. А. Лая о том, что ученик может с первого взгляда одновременно воспринять, ясно охватить любую группу из 1-10 объектов, даже представленную в виде пространственно оформленной четырехугольной числовой фигуры, И. Штеклин указывал, что это справедливо лишь по отношению к неопределенным числам: много, мало, больше, несколько -и в лучшем случае по отношению к первым определенным числам 2, 3 и самое большое 4. Для усвоения числа необходимо последовательно переносить внимание с одного предмета на другой, т. е. пересчитывать их. Если число предметов 2 или 3, то счет происходит столь быстро, что последовательное восприятие единиц очень близко к их одновременному восприятию.

В «Методике арифметики», опубликованной в русском переводе в 1911 г., И. Штеклин утверждает, что числа сами по себе не могут быть наблюдаемы: число не предмет и не свойство предмета, которое могло бы быть воспринято, как, например, цвет или форма. Число есть соотношение между одинаковыми (или принимаемыми за одинаковые) предметами, т. е. количественное соотношение. Это соотношение может быть воспринято чувствами.

По мнению швейцарского ученого, понятие числа образуется посредством многократного наблюдения одинаковых по количеству, но различных по величине, форме, цвету групп предметов. Со временем внимание ученика фокусируется на общем для этих групп признаке, т. е. на их численности, все же остальные, случайные признаки, сами предметы как бы исчезают. Следовательно, при изучении чисел первого десятка, по И. Штеклину, необходимо использовать максимальное количество разнообразных наглядных пособий. В первую очередь самые близкие и понятные ребенку: части его тела (в том числе и пальцы), игрушки, предметы, окружающие ученика в классной комнате, в саду, на улице, а также картинки с изображениями различных групп предметов.

В еще большей степени идея доступности, приближения к реальной жизни, практической направленности обучения числам была реализована в методике современника А. Дистервега немецкого педагога Ф. Фребеля. Следуя рекомендации А. Дистервега, писавшего в 1829 г. в «Методическом руководстве к обучению счету»: «...что глаз видит, ум созерцает, слово выражает то рука должна изобразить», Ф. Фребель разработал лабораторный метод обучения арифметике. Понятие числа формировалось у детей во время дидактических игр. Под руководством учителя школьники, например, играли в лавочника и покупателей: измеряли, взвешивали изготовленные из бумаги и раскрашенные на занятиях разнообразные предметы, производили расчеты с помощью заранее подготовленных «денег» и т. д.

В настоящее время ряд рекомендаций авторов методов изучения чисел и изучения действий, естественно-наглядного и лабораторного методов изучения чисел в современной интерпретации успешно используется в специальной школе VIII вида.

Так, в теории и практике обучения числам прочно заняли свои места принципы наглядности, доступности и практической направленности обучения, концентрического расположения учебного материала. Доказана эффективность индуктивного метода формирования понятия числа на основе практических действий с предметными группами и измерения величин, словесного метода ознакомления с новыми знаниями метода беседы. Значительное место в процессе обучения отведено дидактическим играм. Каждое число первого десятка изучается в отдельности. При этом наряду с другими наглядными пособиями применяются и числовые фигуры, с помощью которых у ребенка с нарушениями интеллекта формируется образ числа, он изучает образование чисел, обозначение их цифрами, счет в пределах этого числа, соотношение между количеством, числом и цифрой.

В результате продолжительной дискуссии о возникновении первого осознания ребенком количественного аспекта числа был сделан вывод о том, что ни отдельно взятый процесс непосредственного восприятия симультанно (одновременно) данных множеств, ни называние каждого множества определенным словом, ни сукцессивное (последовательное) выделение элементов совокупности, ни называние результата числительным сами по себе не приводят к формированию понятия числа.

Задача современной методики формирования понятия числа у умственно отсталых школьников абстрагировать количественную характеристику множеств от несущественных признаков посредством установления взаимно-однозначного соответствия, добиться понимания ребенком количественной одинаковости двух сравниваемых конкретных множеств и отразить эти отношения в суждении (Н. Ф. Кузьмина-Сыромятникова, М. Н. Перова, В.В. Эк и др.).

Например, под руководством учителя мальчики и девочки становятся парами. После того как дети взялись за руки, выясняется, что рядом с каждым мальчиком стоит девочка. Следовательно, на вопрос «Сколько мальчиков?» дети отвечают: «Столько же, сколько девочек, тех и других одинаковое, равное количество, поровну».

В этой ситуации одна из двух совокупностей (количество девочек) выступает в роли временного стандарта носителя частично абстрагированной количественной характеристики. Временный стандарт в дальнейшем для окончательного абстрагирования заменяется словом-числительным, которое и становится носителем стандартной совокупности. Именно с ее помощью ученик начинает определять количество предметных множеств (Г. С. Костюк). Таким образом, посредством речи практическое действие переносится во внутренний план.

Одно из основных отличий методики обучения математике учащихся специальной школы от методик изучения чисел и изучения действий в том, что сегодня на уроках математики в специальной школе значительное время отводится знакомству не только с количественной стороной числа, но и с его порядковым аспектом, так как эти стороны числа неразрывно связаны между собой, каждое из слов числительных может одновременно указывать порядковый номер последнего из пересчитываемых предметов и характеризовать количество элементов в предметной совокупности.

С теоретико-множественной позиции, сформулированной на рубеже XIX-XX вв. Г.Кантором, количественное натуральное число есть общее свойство класса конечных равномощных множеств. Каждому классу соответствует одно натуральное число, и каждому натуральному числу один класс конечных равномощных множеств, а нуль класс равномощных пустых множеств (А. М. Пышкало и др.).

В множестве пальцев на руке и в множестве углов пятиугольника одинаковое число элементов. Этот вывод делается путем установления взаимно-однозначного соответствия элементов двух множеств, их попарного соотнесения.

Знания свойств натурального ряда чисел формируются у умственно отсталых школьников на основе четырех аксиом, которые были сформулированы итальянским ученым Дж. Пеано:

1) существует число 1, не следующее ни за каким числом;

2) за каждым числом следует только одно число;

3) каждое последующее число на 1 больше предыдущего, предыдущее число на 1 меньше последующего;

4) натуральный ряд чисел бесконечен.

В процессе изучения чисел 1 1000 учащиеся с нарушениями интеллекта должны усвоить не только знания о количественном числе и свойствах натурального ряда чисел, но и закономерности десятичной системы счисления, принцип поместного значения цифр в записи чисел.

В ходе расширения числового ряда использование предметных множеств, конкретизирующих число, становится невозможным, а порой, как показано в исследовании А. В. Шевкина, приводит к возникновению и закреплению у учащихся вульгарно-материалистических представлений о целых и дробных числах как о конкретных объектах или их долях.

В этой связи становится закономерным выдвижение на первый план дедуктивного метода формирования понятий на основе содержательного (теоретического, диалектического) обобщения. По мнению В. В. Давыдова, Б. М. Кедрова и других, сформированные таким образом понятия будут содержать в себе все богатство особенного в явном виде и все частные случаи могут быть выведены из общего понятия.

Но вместе с тем при наличии двух путей обучения математике: традиционного, предполагающего постепенный переход от конкретных уровней знаний к более абстрактным (индуктивный метод), и более радикального, утверждающего эффективность формирования абстрактных математических понятий на ранних этапах обучения (дедуктивный метод), их конфронтация нецелесообразна. Индуктивный (индуктивное обобщение) и дедуктивный путь (содержательное, теоретическое, диалектическое обобщение) одинаково значимы, но каждый из них занимает доминирующее положение на различных этапах обучения математике, и их использование продиктовано требованиями не только теоретико-математического, но и психолого-методического характера, необходимостью коррекции и развития мышления школьников.