§ 25. работа в поле тяготения. потенциал поля тяготения

§ 25. работа в поле тяготения. потенциал поля тяготения

Определим работу, совершаемую силами поля тяготения при перемещении в нем материальной точки массой т. Вычислим, например, какую надо затратить работу для удаления тела массой т от Земли. На расстоянии R (рис. 39) на данное тело действует сила

При перемещении этого тела на расстояние dR совершается работа

                                               (25.1)

 Знак минус появляется потому, что сила и перемещение в данном случае противоположны по направлению (рис. 39).

                                                Рис. 39

Если тело перемещать с расстояния R1 до R2, то работа

                        (25.2)

Из формулы (25.2) вытекает, что затраченная работа в поле тяготения не зависит от траектории перемещения, а определяется лишь начальным и конечным положениями тела, т. е. силы тяготения действительно консервативны, а поле тяготения является потенциальным (см. § 12).

Согласно формуле (12.2), работа, совершаемая консервативными силами, равна изменению потенциальной энергии системы, взятому со знаком минус, т.е.

 Из формулы (25.2) получаем

                             (25.3)

Так как в формулы входит только разность потенциальных энергий в двух состояниях, то для удобства принимают потенциальную энергию при   

R2 ®¥ равной нулю  . Тогда (25.3) запишется в виде

П1 = — GmM/R1. Так как первая точка была выбрана произвольно, то

является энергетической характеристикой поля тяготения и называется потенциалом. Потенциал поля тяготения <р — скалярная величина, определяемая потенциальной энергией тела единичной массы в данной точке поля или работой по перемещению единичной массы из данной точки поля в бесконечность. Таким образом, потенциал поля тяготения, создаваемого телом массой М, равен

                                                      (25.4)

где R — расстояние от этого тела до рассматриваемой точки.

Из формулы (25.4) вытекает, что геометрическое место точек с одинаковым потенциалом образует сферическую поверхность (R = const). Такие поверхности, для которых потенциал постоянен, называются эквипотенциальными.

Рассмотрим взаимосвязь между потенциалом (j) поля тяготения и его напряженностью (g). Из выражений (25.1) и (25.4) следует, что элементарная работа dA, совершаемая силами поля при малом перемещении тела массой т, равна

 С другой стороны, dA=Fdl (dl — элементарное перемещение). Учитывая (24.1), полу чаем, что dA=mgdl, т. е. mgdl= —mdj, или

 Величина dj/dl характеризует изменение потенциала на единицу длины в направлении перемещения в поле тяготения. Можно показать, что

                                               (25.5)

где   -  градиент скаляра j (см. (12.5)). Знак минус в формуле (25.5) показывает, что вектор напряженности g направлен в сторону убывания потенциала.

В качестве частного примера, исходя из представлений теории тяготения, рассмотрим потенциальную энергию тела, находящегося на высоте h относительно Земли:

 где R0 — радиус Земли. Так как

           (25.6)

то, учитывая условие h << R0, получаем

Таким образом, мы вывели формулу, совпадающую с (12.7), которая постулировалась раньше.