10.5. квантование и дискретизация измерительных сигналов

10.5. квантование и дискретизация измерительных сигналов

По характеру изменения информативного параметра сигналы делятся на четыре группы:

• непрерывный по времени и размеру;

• непрерывный по времени и квантованный по размеру;

• дискретизированный по времени и непрерывный по размеру;

• дискретизированный по времени и квантованный по размеру.

Сигналы, непрерывные по времени и размеру, — наиболее распространенные (см. рис. 10.2,а и кривая 1 на рис. 10.13). Они чаще всего встречаются в практике измерений, поскольку все первичные природные сигналы макромира непрерывны по времени и размеру. Такие сигналы определены в любой момент времени существования сигнала и могут принимать любые значения в диапазоне его изменения.

I

Рис. 10.13. Исходный непрерывный (1) и непрерывный по

                   времени и квантованный по размеру (2) сигналы

Сигналы, непрерывные по времени и квантованные по размеру получаются из сигнала, непрерывного по времени и размеру, посредством его квантования. Квантование — измерительное преобразование непрерывно изменяющейся величины в ступенчато изменяющуюся с заданным размером ступени q — квантом. В результате проведения этой операции непрерывное множество значений сигнала Y(t) в диапазоне от Ymin до Ymax преобразуется в дискретное множество значений YKB(t) (см. рис, 10.13). Квантование широко применяется в измерительной технике. Существует большая группа естественно квантованных физических величин. К ним относятся электрический заряд, квантом которого является заряд электрона, масса тела, квантом которой является масса молекулы или атома, составляющих данное тело, и др.

Различают равномерное (q — постоянная величина) и неравномерное (q — переменная величина) квантование. Неравномерное квантование применяется достаточно редко, в специфических случаях, например при большом динамическом диапазоне квантуемой величины. В связи с этим в дальнейшем рассматривается только равномерное квантование.

Процесс квантования описывается уравнением

где Yкв(t) — квантованный сигнал; N(ti) — число квантов; l(t ti) — единичная функция.

Любой процесс измерения по сути своей есть процесс квантования. Например, при измерении длины тела линейкой с миллиметровыми делениями определяется целое число миллиметров, наиболее близкое к истинному размеру тела. В данном случае в роли кванта выступает миллиметр. При использовании микрометра квантом является величина, равная 10-6 м.

Разность между истинным значением длины тела и измеренным линейкой есть погрешность квантования. Погрешность квантования D — методическая погрешность отражения непрерывной величины ограниченным по числу разрядов числом. Она равна разности между значением непрерывной функции и значением, полученным в результате квантования (см. рис. 10.13).

Возможны [13] четыре способа квантования, при которых значение непрерывной аналоговой функции Y(t), находящееся между двумя известными значениями Yi и Yi+1 , где Yi+1= Yi + q, отражается цифровым значением N, полученным после ее квантования. Способы и формулы для расчета числовых значений N и погрешностей квантования D приведены в табл. 10.1. Там же приведены максимальные значения погрешности квантования Dm (Int(x), Frac(x) — целая и дробная части числа х; sign(x) — функция, равная 1 при х > 0 и -1 при х < 0).

Таблица 10.1

Способы Квантования

Можно показать [13, 14, 88], что погрешность квантования во всех рассмотренных случаях подчиняется равномерному закону распределения. В первом случае она распределена в диапазоне от 0 до -q и имеет математическое ожидание М[D] = -q/2, во втором — от О до + q с М[D] = q/2, в третьем и четвертом — от -q/2 до + q/2 с М[D] = 0. Среднее квадратическое отклонение погрешности при всех видах равномерного квантования s(D) = q/(2Ö3̅).

Если задано максимально допустимое значение СКО sm, то данная формула дает возможность определить число ступеней Nm, при котором СКО погрешности квантования не превысит sm. Действительно, учитывая, что q = Xm/Nm, где Xm — максимальное значение квантуемого сигнала, получим исходное неравенство

 .

 После преобразования

где

Cигналы, дискретизированные по времени и непрерывные по размеру получаются из непрерывных по времени и размеру сигналов посредством дискретизации. Дискретизация — измерительное преобразование непрерывного во времени сигнала Y(t) в последовательность мгновенных значений этого сигнала Yk=Y(kDt), соответствующих моментам времени kDt, где k =1; 2; ... Интервал времени Dt называется шагом дискретизации, а обратная ему величина f =l/Dt — частотой дискретизации.

Процесс дискретизации непрерывного сигнала показан на рис. 10.14. Математически он описывается с помощью дельта-функции 5(t-kAt), которая, как известно, обладает стробирующим действием. Идеальный дискретизированный сигнал Yfl является последовательностью импульсов нулевой длительности и аналитически может быть представлен в виде

где Y(kDt) — значение непрерывного сигнала в k-й точке дискретизации.

Рис. 10.14. Дискретизация непрерывного сигнала (а) и погрешность

                   восстановления (б):

1 — исходный непрерывный сигнал; 2 — сигнал, дискретизированный-по времени и непрерывный по размеру; 3 — восстановленный с помощью полинома Лагрзнжа нулевой степени непрерывный во времени сигнал

Дискретизация бывает равномерной (At = const) и неравномерной (At — переменная величина). Частота дискретизации выбирается на основе априорных сведений о характеристиках дискретизируемого сигнала. На практике наибольшее распространение получила равномерная дискретизация. Это объясняется тем, что алгоритмы дискретизации и последующего восстановления сигнала и соответствующая аппаратура относительно просты. Однако при недостаточности априорных данных о характеристиках сигнала или их некорректности возможна значительная избыточность отсчетов.

По способу получения дискретных значений различают физичс скую и аналитическую дискретизации.

При физической дискретизации, т.е. дискретизации, осуществляемой аппаратными средствами электроники (рис. 10.15, а), преобразование непрерывного сигнала в последовательность мгновенных значений осуществляется с помощью стробирующего импульса конечной (ненулевой) длительности тс (рис. 10.15, б). Поэтому амплитуда дискретизированных значений может находиться в диапазоне от YBbIX(ti) до YBbIX(ti tc). Поскольку дискретизированное значение относят, как правило, к моменту времени ti, то возникает погрешность датирования отсчета Dд =YBbIX(ti) — Ycp, максимальное значение которой Dдm = Yвых(ti + tc) Yвых(ti), где Ycp — некоторое значение сигнала Ycp Î [Yвыx(ti);Yвых(ti+tc)], зависящее от аппаратной реализации устройств, дискретизирующих измерительный сигнал.

Рис 10.15. Структурная схема процесса физической дискретизации (а)

                 и основные сигналы в укрупненном временном масштабе (б)

Дискретизация имеет место в расчетах процессов, проводимых с помощью вычислительной техники. В этом случае она называется аналитической (математической, расчетной, условной). При такой дискретизации длительность стробирующего импульса равна нулю; следовательно, погрешность датирования принципиально отсутствует и дискретизированное значение относится к заданному моменту времени, т.е. определяется мгновенное значение сигнала.

В дискретизированном сигнале отсутствуют промежуточные значения, которые содержались в исходном непрерывном сигнале. Однако часто принципиально необходим непрерывный сигнал. Поэтому во многих случаях дискретизированный сигнал требуется преобразовать в непрерывный, т.е. восстановить его промежуточные значения. Задача восстановления дискретизированных сигналов в общем случае аналогична