8. выявление предпочтений лпр

8. выявление предпочтений лпр

Решения МЗН, полученные на предыдущем этапе в рамках выбранной ОДР, не равнозначны для ЛПР даже в случае их кажущейся эквивалентности. Действительно, равные отклонения от идеального назначения по разным критериям могут иметь для ЛПР различную ценность: одни из этих отклонений могут быть, с точки зрения ЛПР, более существенны, чем другие.

Необходимо выявление предпочтений ЛПР относительно качества назначений, возможных в области допустимых решений, и упорядочение назначений по качеству на основе выявленных предпочтений.

8.1. Статистические оценки сложности задач

выявления предпочтений ЛПР

Окончательное определение качества назначений основано на сравнении (в том или ином виде) ценности назначений для ЛПР. Ответ на вопрос о том, насколько сложны для человека такие задачи сравнения, в определенной мере позволяют дать результаты статистического моделирования, приведенные в [5,9].

Предполагалось, что каждый компонент векторных оценок элементов двух множеств может быть получен случайным образом (одна из возможных оценок на шкале критерия). При этом предположении подсчитывались вероятности доминирования одного вектора соответствия над другим по всем критериям; по всем критериям, кроме одного; по всем критериям, кроме двух. Результаты моделирования показывают, что такого рода доминирование векторов соответствия наблюдается в подавляющем числе случаев. Так, при N = 5 (число критериев) и Т = 3 (число оценок на шкалах критериев) один вектор доминирует над другим по всем критериям с вероятностью 0,616 и с вероятностью 0,356 — по всем критериям, кроме одного. Следовательно, с вероятностью 0,972 ЛПР либо вообще не должен сравнивать векторы, либо сравнивать их только по двум критериям.

В табл. 12.4 приведены вероятности того, что: либо один вектор соответствия доминирует над другим, либо доминирует по всем, кроме одного, критериям.

Конечно, до получения исходных данных нельзя оценить заранее, насколько близки по своим характеристикам элементы двух множеств. Однако результаты статистического моделирования показывают, что при числе критериев, не превышающем семь, векторы соответствия отличаются друг от друга по малому числу критериев.

Таблица 12.4

Вероятности доминирования

8.2. Основная процедура выявления

предпочтений ЛПР

Предпочтения ЛПР служат основой для ранжирования назначений, т. е. ранжирования соответствия возможностей различных субъектов (объектов) требованиям объектов (субъектов). Наряду с введенным ранее определением КС как формально рассчитываемого индекса далее будут использованы два понятия:

• КС0 — критериальное соответствие характеристики субъектов (объектов) по отношению к заданному объекту (субъекту) по k-му критерию, полученное в результате ранжирования соответствия характеристик выбранного субъекта (объекта) по отношению ко всем объектам (субъектам);

• КСа — критериальное соответствие любой пары объект—субъект по k-му критерию, полученное в результате попарного ранжирования назначений.

Для формального определения КС0 назовем субъект (объект), по отношению к которому определяются КС0, опорным.

Введем понятие критериального соответствия КС0 как пару, объединяющую уровень требований опорного элемента, например i-го субъекта по k-му критерию (Tikp), и значение соответствующего компонента вектора соответствия (Rijk). Тогда, по определению, критериальное соответствие назначения {C1 -Oj} по k-му критерию обозначим как KC0ijk={Tikp, Rijk}.

Формулировка понятия КСа, не связанная с конкретным назначением, такова: КСа это пара, объединяющая р-е требование по k-му критерию и степень удовлетворения этих требований (т. е. разность г между номерами оценок на шкалах требований и возможностей данного критерия). Такая формулировка позволяет ввести для КСа по k-му критерию следующее обозначение: KCakpr =

{Tkp , Tkp Vkq } , здесь Tkp, Vkq р-й и q-й номер оценок на шкалах требований и возможностей k-ro критерия соответственно.

В дальнейшем там, где это не приведет к недоразумению, для обеих формулировок понятия критериального соответствия будем пользоваться обозначением КС.

Введем понятие ценности КС для ЛПР как функции КС, обозначив ее f(KC), и сделаем следующие предположения относительно свойств этой функции:

• существуют минимальные и максимальные значения f(KC);

• при заданном уровне требований значение функции f(KC) возрастает с уменьшением значения компонента вектора соответствия Rijk, становится максимальным и остается таковым при Rijk = 0.

Введенные понятия основаны на предположении о том, что, с точки зрения ЛПР, важность критериев может быть различна. Цель основной процедуры выявления предпочтений ЛПР заключается в определении и упорядочивании ценностей КС и выявлении на их основе ценности (качества) назначений.

Поскольку, по предположению, значения функции f(KC) зависят от предпочтений ЛПР, справедливо утверждение о том, что ЛПР в состоянии проводить сравнение ценностей критериальных соответствий.

Согласно подходу, принятому при вербальном анализе решений (лекция 8), в качестве основной процедуры выявления предпочтений ЛПР выбрана процедура попарного сравнения отдельных критериальных соответствий. Такой выбор опирается на следующие соображения. Известно, что для ЛПР операция попарного сравнения изменений качества на шкалах двух критериев достаточно проста. Человек совершает эту психологически корректную операцию с малым числом противоречий [10].

Для операции попарного сравнения КС можно использовать уже известный способ проверки ЛПР на непротиворечивость замкнутую процедуру (лекция 8). В такой процедуре все объекты (в данном случае КС) сравниваются между собой. В результате таких сравнений появляется избыточная информация, используемая для проверки надежности ранжирования КС по их ценности для ЛПР.

Процедуры подобного рода тщательно отработаны, и полные алгоритмы взаимодействия ЛПР с системой приведены в [10]. Там же обсуждаются проблемы, связанные с зависимостью упорядочиваемых компонентов между собой, и указываются пути решения этих проблем.

Различие при сравнениях КС0 и КСа заключается в следующем. В основной процедуре перед ЛПР ставится задача попарного сравнения ценности отдельных КСа, при предположении, что прочие компоненты вектора соответствия имеют нулевые значения.

Вопросы, предъявляемые системой ЛПР, следующие:

Что вы предпочитаете:

Альтернатива 1. Неудовлетворение требований объекта (субъекта) по критерию Ki — вместо оценки Kia предлагается худшая оценка Кib?

Альтернатива 2. Неудовлетворение требований объекта (субъекта) по критерию Kj — вместо оценки Kjc предлагается худшая оценка Kjd?

Выберите один из ответов:

Альтернатива 1 более предпочтительна.

Альтернатива 2 более предпочтительна.

Альтернативы равноценны.

При сравнении КС0 делается предположение, что прочие компоненты вектора соответствия принадлежат опорному элементу.

В результате полученных от ЛПР ответов (выявленных предпочтений) для любых двух КС устанавливается одно из отношений — эквивалентности или превосходства по ценности одного из КС.

Так как все КС сравниваются попарно, то общее число вопросов к ЛПР при m критериальных соответствиях равно m(m l)/2. При этом КС сравниваются как непосредственно, так и косвенно (через результаты сравнения других КС), что позволяет обнаруживать противоречия в ответах ЛПР. Выявленные противоречия предъявляются ЛПР для анализа и устранения.

Совокупность непротиворечивых результатов сравнений позволяет упорядочить КС по ценности для ЛПР. Ранжирование КС по их ценности является результатом основной процедуры выявления предпочтений ЛПР.

В дальнейшем под f(KC) будем понимать ранг ценности критериального соответствия (критериальному соответствию, обладающему максимальной ценностью, соответствует высший ранг). Заметим, что принятое определение допускает существование группы рангов одного значения.

Согласно результатам статистического моделирования векторы соответствия различаются лишь небольшим количеством критериальных соответствий. Поэтому сравнение отдельных КС между собой и выяснение их ценности для ЛПР создает надежную основу для сравнения назначений.

Введем понятие ценности назначения {Ci Oj} для ЛПР как функции совокупности КС, формирующих назначение, обозначив ее F({Ci Oj}). Возникает задача упорядочения назначений по ценности (качеству). В качестве исходной информации для процедуры упорядочения назначений по качеству используется таблица, элементами которой являются векторы соответствия. Однако теперь компонентами векторов соответствия являются значения ценности КС по каждому критерию, упорядоченные в соответствии с предпочтениями ЛПР.

8.3. Выявление предпочтений ЛПР;

вспомогательная процедура

Рассмотренная выше основная процедура достаточна для сравнения КС0. Но при сравнении КСа возникает дополнительная проблема.

Получение корректных результатов в процессе попарного сравнения альтернатив и выявления предпочтений ЛПР связано с известным предположением о независимости критериев по предпочтению. В большинстве реальных приложений это предположение выполняется в результате разумного выбора набора независимых критериев. Однако избежать завуалированных связей между критериями не всегда удается. Указанием на возможное присутствие таких связей может служить повышенная частота ошибок ЛПР при определении предпочтений, приводящая к нетранзитивности результатов.

Для проверки условия независимости по предпочтению предлагается дополнительная процедура.

Сформулируем условие независимости при сравнении двух КСа по их ценности для ЛПР. Критериальные соответствия независимы, если результат сравнения ценностей векторов с двумя ненулевыми значениями компонентов (f(KCai) и f(KCa2)) не зависит от одинаковых значений других компонентов, т. е. если не найдется какого-либо третьего КСа с f(KCa3) > 0, при котором результат сравнения может быть иным.

Заметим, что данное условие, в отличие от общепринятого условия независимости по предпочтению, сформулировано относительно троек КСа. Обоснованием этого подхода служат исследования, показывающие, что зависимость критериев обычно проявляется как зависимость результатов сравнения оценок двух критериев от оценок по третьему критерию. Именно такая форма зависимости отмечалась в [10, 11]. Появление более сложной групповой зависимости неопределенно по своей природе и трудно обнаружимо. Этот факт позволяет утверждать, что если нет троек зависимых КСа, условие независимости при сравнении альтернатив не нарушается при любом количестве одинаковых компонентов вектора соответствия.

Чтобы проверить выполнение условия независимости, необходимо получить дополнительную информацию от ЛПР. Когда выполняется дополнительная процедура, вопросы, задаваемые ЛПР (см. основную процедуру), повторяются при следующем дополнительном условии: «по третьему критерию требования объекта (субъекта) не удовлетворены: вместо оценки Кnr имеется худшая оценка Knt».

Дополнительные вопросы выбираются так, чтобы перебрать все возможные тройки критериев. Следовательно, количество дополнительных вопросов равно числу сочетаний из N по три (СN3).

Использование условия независимости в процедурах упорядочивания позволяет сократить количество вопросов к ЛПР.

Для иллюстрации процедур выявления предпочтений ЛПР обратимся к приведенному выше простому примеру. Основная процедура состоит в сравнении ценностей трех критериальных соответствий KCai, которые формируют следующие векторы соответствия:

• по критерию «Профессиональная подготовленность» — вектор 100 {C1 – O1};

• по критерию «Умение руководить коллективом» вектор 010 {С2 O2};

• по критерию «Практический опыт» — вектор 001 (Сз Оз}.

Типовой вопрос, на который отвечает ЛПР, выглядит так:

Что вы предпочитаете:

Альтернатива 1. Неудовлетворение требований объекта лишь по критерию «Профессиональная подготовленность» — вместо высокой предлагается удовлетворительная оценка профессиональной подготовленности субъекта.

Альтернатива 2. Неудовлетворение требований объекта лишь по критерию «Умение руководить коллективом» — вместо хорошего предлагается удовлетворительное умение субъекта руководить коллективом.

Выберите один из ответов:

Альтернатива 1 более предпочтительна.

Альтернатива 2 более предпочтительна.

Альтернативы равноценны.

В основной процедуре анализируются ответы на три подобных вопроса. В дополнительной процедуре, применяемой при абсолютных критериальных соответствиях, для рассматриваемого примера необходим дополнительный вопрос, который отличается от приведенного выше дополнительным условием: «Для обеих альтернатив по критерию «Практический опыт» у субъектов имеется низшая оценка — «Практический опыт отсутствует».

Если результаты сравнения, сделанного ЛПР, не зависят от КСа по третьему критерию, то делается вывод о выполнении условий независимости.

Заметим, что в рассматриваемом примере вторые компоненты критериальных соответствий KCkpq = { Tkp , Tkp Vkq} для первых двух критериев могут принимать ненулевые значения лишь в единственном случае, когда требования выражаются оценкой р = 1, а возможности оценкой q = 2. Для третьего критерия, шкала которого содержит три оценки, таких возможностей уже три, из которых лишь одна реализуется в рассматриваемом примере (р = 2, q = 3).

В зависимости от типа задачи либо может быть построена упорядоченная шкала всех оценок по данному критерию, либо могут быть упорядочены КСа, встречающиеся только в данной конкретной задаче. В общем случае для шкалы критерия с N оценками существует N(N —1)/2 возможностей, которые необходимо проанализировать.

Обратимся к рассматриваемому примеру. Пусть ЛПР, анализируя назначения {C1 O1},{C2 O2},{Сз Оз} с векторами соответствия 100, 010 и 001, упорядочил ценности КСа следующим образом:

f(КСа11,1) Þ fКСа21,1) и f(КСа21,1) Þ f(КСа32,1),

что для первой пары интерпретируется в виде: вектор соответствия, у которого первый компонент равен 1 при оценке по шкале требований, равной 1, а остальные компоненты равны нулю, предпочтительнее вектора, второй компонент которого при тех же требованиях равен 1, а остальные компоненты равны нулю; а для второй пары — в виде: вектор соответствия, у которого второй компонент равен 1 при оценке по шкале требований, равной 1, а остальные компоненты равны нулю, предпочтительнее вектора, третий компонент которого равен 1 при оценке по шкале требований, равной 2 , а остальные компоненты равны нулю.

При выполнении условия независимости, учитывая транзитивность (из которой следует (f(КСа11,1) Þ f(КСа32,1)), эти результаты можно использовать для упорядочения ряда назначений без обращения к ЛПР.

На основании такого рода отношений большинство назначений могут быть упорядочены по качеству. Так, для приведенного выше примера можно построить граф, показанный на рис. 12.1.

Рис. 12.1. Граф упорядочения назначений по качеству (пример)

В рассматриваемом примере формально остается невыясненным лишь отношение между назначениями {C2 – O1} и {C3 O2}, определение которого требует обращения к ЛПР. Однако и это отношение может быть получено, если будет выяснено, что условие независимости выполняется. Тогда, поскольку F(f(КСа11,1),0,0) Þ F(0,0,f(КСа32,1)) и это отношение не может измениться от наличия одинакового КСа по второму критерию у сравниваемых векторов, имеем

F(f(КСа11,1), (f(КСа21,1),0) Þ F(0,f(КСа21,1), f(КСа32,1)),

т. е. F{C2, O1} Þ F{C3, 02}.

Аналогичные графы могут быть построены и в общем случае. Назовем их графами частичного упорядочения векторов соответствия по их ценности для ЛПР. Графы частичного упорядочения векторов соответствия позволяют перейти к ранжированию этих векторов по ценности.

Выделим в графе все недоминируемые векторы и назовем их первым ядром. Среди векторов, оставшихся после удаления первого ядра, выделим второе ядро, состоящее из недоминируемых векторов в редуцированном пространстве. Этот процесс повторяется до исчерпания графа [17]. Вектору, входящему в i-е ядро, присваивается i-й ранг, если над ним доминирует вектор из (i-l)-ro ядра, а он сам доминирует над вектором из (i+l)-ro ядра. Если вектор входит в i-е ядро и доминирует над вектором из (i+p)-ro ядра, то его ранг размыт и находится в пределах от (i+1) до (i+p-1).

Процедура ранжирования для рассматриваемого примера приводит к следующему результату:

Получим для рассматриваемого примера табл. 12.5, отражающую упорядочение назначений по качеству (высшее качество — идеальное назначение — имеет высший ранг, которому присвоено значение 0, при снижении качества уменьшается ранг назначения и соответственно увеличивается его номер, т. е. число, отображающее качество).

Таблица 12.5

Ранги назначений

В результате выполнения основной и вспомогательной процедур выявления предпочтений назначения ранжируются по их ценности для ЛПР.

Выше была проиллюстрирована основная процедура выявления предпочтений ЛПР для абсолютных критериальных отклонений. Покажем, каким могло бы быть решение рассматриваемого примера при анализе относительных критериальных отклонений. Первый этап такого анализа прост и не требует участия ЛПР. Действительно, из анализа таблицы сходства (см. табл. 12.2) и учета свойств функции ценности следует упорядочение всех объектов по отношению к каждому из субъектов, и наоборот. Суммируя полученные при таком ранжировании ранги (высший ранг равен 0), получаем табл. 12.6.

Таблица 12.6

Ранги назначений при относительных соответствиях

В соответствии с критерием оптимальности ЛПР утверждает очевидное решение: [{C1 O2} {С2 – О3} {С3 – O1}].

Как правило, количество вопросов к ЛПР при анализе относительных критериальных соответствий меньше, чем при анализе с использованием абсолютного индекса соответствия.