Глава 13. модели систем массового обслуживания

Глава 13. модели систем массового обслуживания: Исследование операций в экономике: модели, задачи, решения, Афанасьев Михаил Юрьевич, 2003 читать онлайн, скачать pdf, djvu, fb2 скачать на телефон Учебное пособие подготовлено в соответствии с требованиями государственного образовательного стандарта и содержит учебные материалы и методику решения широкого спектра экономических задач.

Глава 13. модели систем массового обслуживания

Цели

Основы знаний об очередях, иногда называемые теорией очередей или теорией массового обслуживания, составляют важную часть теории управления производством. Очереди — обычное явление. Они могут носить форму ожидания ремонта автомобиля в центре автосервиса или ожидания студентами консультации у профессора. В таблице перечислены некоторые примеры возникновения очередей в системах массового обслуживания:

Модели очередей (как и линейное программирование, модели управления запасами, методы сетевого анализа проектов) используются и в сфере управления материальным производством, и в сфере обслуживания. Анализ очередей в терминах длины очереди, среднего времени ожидания, среднего времени обслуживания и других факторов помогает нам лучше понять принципы организации системы обслуживания. Ожидание пациента в приемной врача и ожидание починки сломанной дрели в ремонтной мастерской имеют много общего с точки зрения управления процессом обслуживания. Оба процесса используют человеческие ресурсы и ресурсы оборудования для удовлетворения потребностей клиентов.

Профессиональный менеджер, принимая решение о совершенствовании системы массового обслуживания, оценивает изменения, возникающие в затратах на функционирование системы и в издержках, связанных с ожиданием клиентов. Можно нанять большое количество сотрудников, которые будут быстро обслуживать клиентов. Так, администратор супермаркета может уменьшить очереди в кассы, увеличивая в часы пик количество продавцов и кассиров. Для работы в кассах банков или аэропортов в часы пик могут быть привлечены дополнительные сотрудники. Однако снижение времени ожидания обычно сопряжено с издержками на создание и оснащение рабочих мест, с оплатой труда дополнительного персонала. Эти издержки могут быть весьма значительны.

Можно сэкономить на трудозатратах. Но тогда клиент может не дождаться обслуживания или потерять охоту вернуться еще раз. В последнем случае система массового обслуживания будет нести потери, которые можно назвать издержками ожидания. В некоторых системах обслуживания, например в скорой помощи, затраты, связанные с длительным ожиданием, могут оказаться чрезвычайно высокими. Основной экономический принцип совершенствования систем массового обслуживания состоит в оценке общих ожидаемых затрат, включающих затраты на обслуживание и потери, которые несет система в результате ожидания клиента.

После того как вы выполните задания, предлагаемые в этой главе, вы будете уметь определять и использовать для экономического анализа следующие понятия:

• система массового обслуживания;

• заявка;

• очередь;

• темп поступления заявок;

• темп обслуживания;

• среднее время, которое заявка проводит в очереди;

• средняя длина очереди;

• среднее время, которое заявка проводит в системе обслуживания;

• среднее число клиентов в системе обслуживания;

• издержки функционирования системы обслуживания;

• издержки ожидания.

Модели

Классификационные признаки систем массового обслуживания.

В системах массового обслуживания различают три основных этапа, которые проходит каждая заявка:

1) появление заявки на входе в систему;

2) прохождение очереди;

3) процесс обслуживания, после которого заявка покидает систему.

На каждом этапе используются определенные характеристики, которые следует обсудить прежде, чем строить математические модели.

Характеристики входа:

1) число заявок на входе (размер популяции);

2) режим поступления заявок в систему обслуживания;

3) поведение клиентов.

Число заявок на входе. Число потенциально возможных заявок (размер популяции) может считаться либо бесконечным (неограниченная популяция), либо конечным (ограниченная популяция). Если число заявок, поступивших на вход системы с момента начала процесса обслуживания до любого заданного момента времени, является лишь малой частью потенциально возможного числа клиентов, популяция на входе рассматривается как неограниченная. Примеры неограниченных популяций: автомобили, проходящие через пропускные пункты на скоростных дорогах, покупатели в супермаркете и т.п. В большинстве моделей очередей на входе рассматриваются именно неограниченные популяции.

Если количество заявок, которые могут поступить в систему, сравнимо с числом заявок, уже находящихся в системе массового обслуживания, популяция считается ограниченной. Пример ограниченной популяции: компьютеры, принадлежащие конкретной организации и поступающие на обслуживание в ремонтную мастерскую.

Режим поступления заявок, в систему обслуживания. Заявки могут поступать в систему обслуживания в соответствии с определенным графиком (например, один пациент на прием к стоматологу каждые 15 мин, один автомобиль на конвейере каждые 20 мин) или случайным образом. Появления клиентов считаются случайными, если они независимы друг от друга и точно непредсказуемы. Часто в задачах массового обслуживания число появлений в единицу времени может быть оценено с помощью пуассоновского распределения вероятностей. При заданном темпе поступления (например, два клиента в час или четыре грузовика в минуту) дискретное распределение Пуассона описывается следующей формулой:

где р (х) — вероятность поступления х заявок в единицу времени;

х — число заявок в единицу времени;

l — среднее число заявок в единицу времени (темп поступления заявок);

е = 2,7182 — основание натурального логарифма.

Соответствующие значения вероятностей р(х) нетрудно определить с помощью таблицы пуассоновского распределения. Если, например, средний темп поступления заявок — два клиента в час, то вероятность того, что в течение часа в систему не поступит ни одной заявки, равна 0,135, вероятность появления одной заявки — около 0,27, двух — также около 0,27, три заявки могут появиться с вероятностью 0,18, четыре — с вероятностью около 0,09 и т.д. Вероятность того, что за час в систему поступят 9 заявок или более, близка нулю.

На практике вероятности появления заявок, разумеется, не всегда подчиняются пуассоновскому распределению (они могут иметь какое-то другое распределение). Поэтому требуется проводить предварительные исследования для того, чтобы проверить, что пуассоновское распределение может служить хорошей аппроксимацией.

Поведение клиентов. Большинство моделей очередей основывается на предположении, что поведение клиентов является стандартным, т.е. каждая поступающая в систему заявка встает в очередь, дожидается обслуживания и не покидает систему до тех пор, пока ее не обслужат. Другими словами, клиент (человек или машина), вставший в очередь, ждет до тех пор, пока он не будет обслужен, не покидает очередь и не переходит из одной очереди в другую.

Жизнь значительно сложнее. На практике клиенты могут покинуть очередь потому, что она оказалась слишком длинной. Может возникнуть и другая ситуация: клиенты дожидаются своей очереди, но по каким-то причинам уходят необслуженными. Эти случаи также являются предметом теории массового обслуживания, однако здесь не рассматриваются.

Характеристики очереди:

1) длина;

2) правило обслуживания.

Длина очереди. Длина может быть ограничена либо не ограничена. Длина очереди (очередь) ограничена, если она по каким-либо причинам (например, из-за физических ограничений) не может увеличиваться до бесконечности. Если очередь достигает своего максимального размера, то следующая заявка в систему не допускается и происходит отказ. Длина очереди не ограничена, если в очереди может находиться любое число заявок. Например, очередь автомобилей на бензозаправке.

Правило обслуживания. Большинство реальных систем использует правило «первым пришел — первым ушел» (FIFO — first in, first out). В некоторых случаях, например в приемном покое больницы, в дополнение к этому правилу могут устанавливаться различные приоритеты. Пациент с инфарктом в критическом состоянии, по-видимому, будет иметь приоритет в обслуживании по сравнению с пациентом, сломавшим палец. Порядок запуска компьютерных программ — другой пример установления приоритетов в обслуживании.

Характеристики процесса обслуживания:

1) конфигурация системы обслуживания (число каналов и число фаз обслуживания);

2) режим обслуживания.

Конфигурация системы обслуживания. Системы обслуживания различаются по числу каналов обслуживания. Обычно количество каналов можно определить как число клиентов, обслуживание которых может быть начато одновременно, например: число мастеров в парикмахерской. Примеры одноканальной системы обслуживания: банк, в котором открыто единственное окошко для обслуживания клиентов, или ресторан, обслуживающий клиентов в автомобилях. Если же в банке открыто несколько окошек для обслуживания, клиент ожидает в общей очереди и подходит к первому освободившемуся окну, то мы имеем дело с многоканальной однофазовой системой обслуживания. Большинство банков, также, как почтовые отделения и авиакассы, являются многоканальными системами обслуживания.

Другая характеристика — число фаз (или последовательных этапов) обслуживания одного клиента. Однофазовыми являются такие системы, в которых клиент обслуживается в одном пункте (на одном рабочем месте), затем покидает систему. Ресторан для обслуживания автомобилей, в котором официант получает деньги и приносит заказ в автомобиль, является примером однофазовой системы. Если же в ресторане нужно сделать заказ в одном месте, оплатить его в другом и получить пищу в третьем, то мы имеем дело с многофазовой (три фазы) системой обслуживания.

На рис. 1 приведены системы обслуживания различной конфигурации.

Рис. 1

Режим обслуживания. Как и режим поступления заявок, режим обслуживания может характеризоваться либо постоянным, либо случайным временем обслуживания. При постоянном времени на обслуживание любого клиента затрачивается одинаковое время. Такая ситуация может наблюдаться на автоматической мойке автомобилей. Однако более часто встречаются ситуации, когда время обслуживания имеет случайное распределение. Во многих случаях можно предположить, что время обслуживания подчиняется экспоненциальному распределению с функцией распределения

F() = p(t< ) =1 – е–m, где р (t < ) — вероятность того, что фактическое время t обслуживания заявки не превысит заданной величины ;

m — среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени;

е = 2,7182 — основание натурального логарифма.

Параметры моделей очередей. При анализе систем массового обслуживания используются технические и экономические характеристики.

Наиболее часто используются следующие технические характеристики:

1) среднее время, которое клиент проводит в очереди;

2) средняя длина очереди;

3) среднее время, которое клиент проводит в системе обслуживания (время ожидания плюс время обслуживания);

4) среднее число клиентов в системе обслуживания;

5) вероятность того, что система обслуживания окажется незанятой;

6) вероятность определенного числа клиентов в системе.

Среди экономических характеристик наибольший интерес представляют следующие:

1) издержки ожидания в очереди;

2) издержки ожидания в системе;

3) издержки обслуживания.

Модели систем массового обслуживания. В зависимости от сочетания приведенных выше характеристик могут рассматриваться различные модели систем массового обслуживания.

Здесь мы ознакомимся с несколькими наиболее известными моделями. Все они имеют следующие общие характеристики:

а) пуассоновское распределение вероятностей поступления заявок;

б) стандартное поведение клиентов;

в) правило обслуживания FIFO (первым пришел — первым обслужен);

г) единственная фаза обслуживания.

I. Модель А — модель одноканальной системы массового обслуживания М/М/1 с пуассоновским входным потоком заявок и экспоненциальным временем обслуживания.

Наиболее часто встречаются задачи массового обслуживания с единственным каналом. В этом случае клиенты формируют одну очередь к единственному пункту обслуживания. Предположим, что для систем этого типа выполняются следующие условия:

1. Заявки обслуживаются по принципу «первым пришел — первым обслужен» (FIFO), причем каждый клиент ожидает своей очереди до конца независимо от длины очереди.

2. Появления заявок являются независимыми событиями, однако среднее число заявок, поступающих в единицу времени, неизменно.

3. Процесс поступления заявок описывается пуассоновским распределением, причем заявки поступают из неограниченного множества.

4. Время обслуживания описывается экспоненциальным распределением вероятностей.

5. Темп обслуживания выше темпа поступления заявок.

Пусть l — число заявок в единицу времени;

m — число клиентов, обслуживаемых в единицу времени;

п — число заявок в системе.

Тогда система массового обслуживания описывается уравнениями, приведенными ниже.

Формулы для описания системы М/М/1:

— среднее число клиентов в системе;

— среднее время обслуживания одного клиента в системе (время ожидания плюс время обслуживания);

— среднее число клиентов в очереди;

— среднее время ожидания клиента в очереди;

— характеристика загруженности системы (доля времени, в течение которого система занята обслуживанием);

— вероятность отсутствия заявок в системе;

— вероятность того, что в системе находится более чем k заявок.

II. Модель В — многоканальная система обслуживания M/M/S. В многоканальной системе для обслуживания открыты два канала или более. Предполагается, что клиенты ожидают в общей очереди и обращаются в первый освободившийся канал обслуживания.

Пример такой многоканальной однофазовой системы можно увидеть во многих банках: из общей очереди клиенты обращаются в первое освободившееся окошко для обслуживания.

В многоканальной системе поток заявок подчиняется пуассоновскому закону, а время обслуживания — экспоненциальному. Приходящий первым обслуживается первым, и все каналы обслуживания работают в одинаковом темпе. Формулы, описывающие модель В, достаточно сложны для использования. Для расчета параметров многоканальной системы обслуживания удобно использовать соответствующее программное обеспечение.

Для многоканальной системы с неограниченной очередью должно выполняться условие < 1, где r — параметр загрузки системы (среднее число занятых каналов), п — минимальное количество каналов, при котором очередь не будет расти до бесконечности. В противном случае предельные вероятности существовать не могут.

Формулы для описания системы M/M/S:

— вероятность того, что система свободна;

— вероятность того, что в системе находится п заявок;

— вероятность того, что заявка окажется в очереди;

— среднее число занятых каналов;

— среднее число заявок в очереди;

— среднее число заявок в системе;

— время нахождения заявки в очереди;

— время нахождения заявки в системе.

III. Модель С— модель с постоянным временем обслуживания M/D/1.

Некоторые системы имеют постоянное, а не экспоненциально распределенное время обслуживания. В таких системах клиенты обслуживаются в течение фиксированного периода времени, как, например, на автоматической мойке автомобилей. Для модели С с постоянным темпом обслуживания значения величин Lq и Wq вдвое меньше, чем соответствующие значения в модели А, имеющей переменный темп обслуживания.

Формулы, описывающие модель С:

— средняя длина очереди;

— среднее время ожидания в очереди;

— среднее число клиентов в системе;

— среднее время ожидания в системе.

IV. Модель D — модель с ограниченной популяцией.

Если число потенциальных клиентов системы обслуживания ограничено, мы имеем дело со специальной моделью. Такая задача может возникнуть, например, если речь идет об обслуживании оборудования фабрики, имеющей пять станков.

Особенность этой модели по сравнению с тремя рассмотренными ранее в том, что существует взаимозависимость между длиной очереди и темпом поступления заявок.

V. Модель Е — модель с ограниченной очередью. Модель отличается от предыдущих тем, что число мест в очереди ограничено. В этом случае заявка, прибывшая в систему, когда все каналы и места в очереди заняты, покидает систему необслуженной, т.е. получает отказ.

Как частный случай модели с ограниченной очередью можно рассматривать модель с отказами, если количество мест в очереди сократить до нуля.

Сравнительная характеристика различных моделей систем массового обслуживания приведена в следующей таблице:

Примеры

Пример 1. Обслуживание автомобилей.

Иванов, механик автосервиса, может заменить масло в среднем в трех автомобилях в течение часа (т.е. в среднем на одном автомобиле за 20 мин). Время обслуживания подчиняется экспоненциальному закону. Клиенты, нуждающиеся в этой услуге, приезжают в среднем по два в час, в соответствии с пуассоновским распределением. Клиенты обслуживаются в порядке прибытия, и их число не ограничено. Рассчитайте основные характеристики системы обслуживания.

Решение. На основе исходных данных получаем:

l = 2 машины в час — количество машин, поступающих в течение часа;

m = 3 машины в час — количество машин, обслуживаемых в течение часа;

машины — среднее количество машин, находящихся в системе;

— среднее время ожидания в системе;

машины — среднее количество машин, ожидающих в очереди;

— среднее время ожидания в очереди;

— доля времени, в течение которого механик занят;

— вероятность того, что в системе нет ни одного клиента.

Вероятности того, что в системе находится более чем k машин:

Примечание. При k = 0 значение вероятности равно 1 – P0;

при k = 1 существует 44,4\% шансов на то, что в системе находится более одной машины, и т.д.

Пример 2. Сопоставление затрат.

После того как мы получили основные характеристики системы обслуживания, часто бывает полезным провести ее экономический анализ. Как уже отмечалось, задачей менеджера является сопоставление возрастающих затрат на улучшение обслуживания и снижающихся затрат, связанных с ожиданием. Рассмотрим этот случай, дополнив условие примера 1.

Владелец автосервиса установил, что затраты, связанные с ожиданием, выражаются в снижении спроса вследствие неудовлетворенности клиентов и равны 100 руб. за час ожидания в очереди. Определите общие затраты функционирования автосервиса.

Решение. Так как в среднем каждая машина ожидает в очереди 2/3 часа (Wq) и в день обслуживается приблизительно 16 машин (l×8 = 2 машины в час в течение 8-часового рабочего дня), общее число часов, которое проводят в очереди все клиенты, равно

Следовательно, затраты, связанные с ожиданием, составляют

Другая важная составляющая затрат владельца автосервиса — зарплата механика Иванова. Предположим, что он получает 70 руб. в час, или 560 руб. в день. Следовательно, общие затраты составляют

1066 + 560 = 1626 руб. вдень.

Пример 3. Утилизация отходов.

Компания «Утиль» собирает и утилизирует в Мытищах алюминиевые отходы и стеклянные бутылки. Водители автомобилей, доставляющих сырье для вторичной переработки, ожидают в очереди на разгрузку в среднем 15 мин. Время простоя водителя и автомобиля оценивается в 6 тыс. руб. в час.

Новый автоматический компактор может обслуживать контейнеровозы с постоянным темпом 12 машин в час (5 мин на одну машину). Время прибытия контейнеровозов подчиняется пуассоновскому закону с параметром l = 8 автомобилей в час. Если новый компактор будет использоваться, то амортизационные затраты составят 0,3 тыс. руб. на один контейнеровоз. Следует ли использовать компактор?

Решение. Затраты на простой одного автомобиля в очереди за одну ездку в системе без компактора составляют

В системе с компактором время ожидания в очереди при l = 8 автомобилей в час и m = 12 автомобилей в час будет равно

Затраты на простой автомобиля в очереди в этом случае составят

Сокращение времени простоя привело к сокращению затрат на простой одного автомобиля за одну ездку на сумму в 1,5 – 0,5 = 1 тыс. руб.

При условии, что затраты по эксплуатации компактора на один контейнеровоз составляют 0,3 тыс. руб., общие затраты составят 0,5 + 0,3 = 0,8 тыс. руб.

Система с компактором дает экономию в 1,5 – 0,8 = 0,7 тыс. руб. Таким образом, компактор использовать следует.

Вопросы

Вопрос 1. Одна работница обслуживает тридцать ткацких станков, обеспечивая их запуск после разрыва нити. Модель такой системы массового обслуживания можно охарактеризовать как:

1) многоканальную однофазовую с ограниченной популяцией;

2) одноканальную однофазовую с неограниченной популяцией;

3) одноканальную многофазовую с ограниченной популяцией;

4) одноканальную однофазовую с ограниченной популяцией;

5) многоканальную однофазовую с неограниченной популяцией.

Вопрос 2. В теории массового обслуживания для описания простейшего потока заявок, поступающих на вход системы, используется распределение вероятностей:

1) нормальное;

2) экспоненциальное;

3) пуассоновское;

4) биномиальное;

5) ничто из вышеуказанного не является верным.

Вопрос 3. В теории массового обслуживания предполагается, что количество заявок в популяции является:

1) фиксированным или переменным;

2) ограниченным или неограниченным;

3) известным или неизвестным;

4) случайным или детерминированным;

5) ничто из вышеуказанного не является верным.

Вопрос 4. Двумя основными параметрами, которые определяют конфигурацию системы массового обслуживания, являются:

1) темп поступления и темп обслуживания;

2) длина очереди и правило обслуживания;

3) распределение времени между заявками и распределение времени обслуживания;

4) число каналов и число фаз обслуживания;

5) ничто из вышеуказанного не является верным.

Вопрос 5. В теории массового обслуживания для описания времени, затрачиваемого на обслуживание заявок, обычно используется распределение вероятностей:

1) нормальное;

2)экспоненциальное;

3) пуассоновское;

4) биномиальное;

5) ничто из вышеуказанного не является верным.

Вопрос 6. Ремонт вышедших из строя компьютеров на экономическом факультете осуществляют три специалиста, работающие одновременно и независимо друг от друга. Модель такой системы массового обслуживания можно охарактеризовать как:

1) многоканальную с ограниченной популяцией;

2) одноканальную с неограниченной популяцией;

3) одноканальную с ограниченной популяцией;

4) одноканальную с ограниченной очередью;

5) многоканальную с неограниченной популяцией.

Задачи

Задача 1. Система банка «Автодор» позволяет клиенту совершать некоторые банковские операции, не выходя из машины. Утром в рабочие дни прибывает в среднем 24 клиента в час. Прибытие клиентов описывается законом Пуассона. Время обслуживания распределено экспоненциально со средней скоростью обслуживания 36 клиентов в час.

Определите следующие характеристики системы:

среднее число клиентов в очереди;

среднее число клиентов в системе;

среднее время ожидания;

среднее время, которое клиент проводит в системе.

Вопросы:

1. Сколько клиентов в среднем прибывает за 5 мин?

2. Каковы вероятности того, что ровно 0, 1, 2, 3 клиента прибудут за 5 мин?

3. Если в течение 5 мин прибывает более 3 клиентов, то возникает проблема перегруженности системы. Какова вероятность возникновения такой проблемы?

4. Каковы вероятности того, что время обслуживания составит: а) не более 1 мин; б) не более 2 мин; в) более 2 мин?

5. Какова вероятность того, что прибывающему клиенту придется ждать обслуживания?

6. Каковы вероятности того, что в системе находится: а) 0 клиентов; б) 3 клиента; в) более 3 клиентов?

Задача 2. Автосервис решил нанять механика для того, чтобы он менял старые покрышки на новые. На это место есть два кандидата. Один из них имеет ограниченный опыт и может быть нанят за 7 долл. в час. Ожидается, что этот механик сможет обслуживать 3 клиента в час. Другой механик более опытен, он в состоянии обслужить 4 клиента в час, но его можно нанять на работу за 10 долл. в час. Клиенты прибывают со скоростью 2 клиента в час. Компания оценивает издержки по ожиданию клиентами своей очереди в 15 долл. в час. Предполагая пуассоновское распределение прибытия и экспоненциальное — времени обслуживания, определите:

среднее время, которое клиент проводит в очереди;

среднюю длину очереди;

среднее время, которое клиент проводит в системе обслуживания;

среднее число клиентов в системе обслуживания;

вероятность того, что система обслуживания окажется свободной при условии найма одного или другого механика.

Вопросы:

1. Какого механика следует нанять, чтобы обеспечить меньшие совокупные издержки?

2. Каковы минимальные совокупные издержки?

Задача 3. «У Петра» — маленький магазин с одним прилавком. Предположим, что покупатели прибывают в магазин по закону Пуассона со средней скоростью 15 покупателей в час. Время обслуживания распределено экспоненциально, средняя скорость обслуживания — 20 покупателей в час. Рассчитайте:

среднее время, которое покупатель проводит в очереди;

среднюю длину очереди;

среднее время, которое покупатель проводит в магазине;

среднее число покупателей в магазине;

вероятность того, что в магазине не окажется покупателей.

Владелец магазина установил, что затраты, связанные с ожиданием, выражаются в снижении спроса и равны 2 долл. за один час ожидания. Он решил ограничить среднее время ожидания обслуживания пятью минутами. Можно попытаться достигнуть этого, реализовав одну из следующих альтернатив:

А. Нанять продавца, который бы выполнял заказ, в то время как кассир рассчитывается с покупателем (часовая оплата каждого — 3 долл.). Это позволит увеличить среднюю скорость обслуживания до 30 покупателей в час.

В. Нанять второго кассира (часовая оплата — 3 долл.), тем самым создав в магазине двухканальную очередь (средняя скорость обслуживания — 20 клиентов в час для каждого работника).

Вопрос: Какую альтернативу следует выбрать?

Задача 4. В верхнем течении Волги построена новая станция по обслуживанию речных судов. Суда прибывают по закону Пуассона со средней скоростью 5 судов в час. Время обслуживания распределено экспоненциально со средней скоростью обслуживания 10 судов в час. В среднем издержки по простою речного судна составляют 100 долл./ч, а издержки по обслуживанию дока — 75 долл./ч.

Вопросы:

1. Какова вероятность того, что док будет пуст?

2. Каково среднее число судов в очереди?

3. Каково среднее время ожидания обслуживания?

4. Каково среднее время пребывания в доке?

5. Администрация станции рассматривает возможность введения в строй еще одного дока с той же скоростью обслуживания. Есть ли в этом необходимость?

Задача 5. «Гибкий путь» — небольшой супермаркет в одном из районов города. Покупатели прибывают в магазин по закону Пуассона со средней скоростью 15 человек в час. На выходе из супермаркета стоит один кассовый аппарат, и обслуживает его один кассир. Время, затраченное на расчеты с клиентом, распределено экспоненциально и в среднем равно 3 мин.

Владелец магазина решил приобрести второй кассовый аппарат в целях сокращения времени, проводимого клиентами в очереди, для чего необходимо нанять второго кассира. Часовая оплата кассира — 2 долл. Затраты, связанные с ожиданием в очереди, приводят к снижению потребительского спроса и оцениваются в среднем в 3 долл. за час.

Вопросы:

1. Есть ли необходимость в приобретении второго кассового аппарата с точки зрения экономического эффекта? (Амортизационные отчисления от приобретенного кассового аппарата и затраты на его обслуживание пренебрежимо малы, поэтому в расчетах их можно не учитывать.)

2. Приобретение третьего кассового аппарата приведет к дальнейшему сокращению очереди, но есть ли в этом необходимость с точки зрения экономического эффекта?

Задача 6. Предприятие быстрого питания обслуживает клиентов, прибывающих на автомашинах по закону Пуассона со средней скоростью 24 машины в час. Время обслуживания распределено экспоненциально. Клиенты делают свой заказ, а затем отъезжают, чтобы оплатить и получить заказанное. Каждый час, который клиент проводит в очереди, оценивается в 25 долл. Оплата служащим равна 6,5 долл. в час. Помимо зарплаты для обеспечения работы каждого из каналов надо тратить 20 долл. в час.

Рассматриваются следующие возможные конфигурации системы:

А. Одноканальная система с одним служащим, выполняющим заказы и принимающим оплату. Среднее время обслуживания клиента — 2 мин.

В. Одноканальная система с одним служащим, выполняющим заказ, и другим служащим, принимающим оплату. Среднее время обслуживания — 1,25 мин.

С. Двухканальная система с двумя служащими, каждый из которых выполняет заказы и принимает оплату. Среднее время обслуживания — 2 мин для каждого из служащих.

Для каждой конфигурации системы определите:

вероятность того, что в системе нет машин;

среднее число машин в очереди;

среднее время ожидания обслуживания;

среднее время пребывания в системе;

среднее число машин в системе;

вероятность того, что вновь прибывшей машине придется ждать.

Вопрос: Какой из вариантов требует меньших затрат?

Задача 7. Механики компании «Автосервис» прибывают на главный склад за запчастями со средней скоростью 4 механика в минуту. Сейчас на складе один работник. Каждый механик в среднем находится на складе 4 мин. Найдите:

среднее число клиентов в системе;

среднее время обслуживания одного клиента в системе;

среднее число клиентов в очереди.

Опыт использования двух работников на складе показал, что время ожидания механиком своей очереди снизилось. Определите для двухканальной системы:

среднее число клиентов в системе;

среднее время обслуживания одного клиента в системе;

среднее число клиентов в очереди.

Механик получает 1200 руб. в час, а работник отдела запчастей — 720 руб. в час.

Вопрос: Какая из двух систем (одноканальная или двухканальная) более экономична?

Задача 8. Автоматическая мойка машин может обслужить 10 машин в час. Машины прибывают по закону Пуассона со средней скоростью 24 автомашины за 8-часовой рабочий день. Система одноканальная.

Вопросы:

1. Чему равно среднее число автомобилей в очереди?

2. Чему равно среднее время ожидания?

3. Какую часть рабочего времени система занята?

Задача 9. Компания «Жалюзи на дом» решила довести число своих машин до 8. Президент компании интересуется, стоит ли в этом случае нанимать на работу второго механика в помощь к одному имеющемуся. Средняя скорость прибытия на ремонт равна 0,05 раза в час для каждой машины, средняя скорость обслуживания — 0,5 машины в час. Каждый механик получает 20 долл. в час, а стоимость простоя машины составляет 80 долл. в час.

Рассчитайте следующие операционные характеристики, если компания оставляет единственного механика:

вероятность того, что все машины работают и механик простаивает;

среднее число ожидающих ремонта машин;

среднее число машин в системе (машины в очереди и на обслуживании);

среднее время ожидания начала ремонта;

среднее время нахождения в системе (ожидание и ремонт).

Используя компьютерную программу, рассчитайте те же характеристики для случая с двумя механиками.

Вопрос: Сколько механиков следует нанять с экономической точки зрения?

Задача 10. В распоряжении магазина находится 10 грузовиков. Грузовики прибывают в магазин в случайном порядке в течение дня для погрузки-разгрузки. Каждый грузовик прибывает на обслуживание дважды за 8-часовой рабочий день. Средняя скорость обслуживания — 4 грузовика в час. Поток грузовиков описывается пуассоновским распределением, время обслуживания — экспоненциальным. Определите:

вероятность того, что ни один грузовик не ожидает погрузки-разгрузки;

среднее число грузовиков в очереди;

среднее число грузовиков у магазина (грузовики в очереди и на погрузке-разгрузке);

среднее время ожидания в очереди.

Вопрос: Каковы часовые издержки по функционированию системы, если в час издержки на кажцый грузовик равны 50 долл., а на работы с грузовиками — 30 долл.?

Ситуации

Ситуация 1. Супермаркет «Север».

«Север» — недавно открытый супермаркет в Северном административном округе Москвы, где существует большая конкуренция между подобными магазинами. Новый управляющий Петр Перфилов понимает, что при высокой конкуренции покупатели скорее пойдут туда, где им предложат лучшее обслуживание и более широкий ассортимент товаров. Он гордится своим магазином, большим выбором различных сортов мяса и сыра, а также мясным прилавком, где покупатель может попробовать нарезки мяса и птицы.

Петр уверен, что быстрое и эффективное обслуживание может привлечь покупателей и повысить конкурентоспособность. Он ввел систему безналичных расчетов за покупки и внедрил службу «Доставка на дом», чтобы сделать приобретение покупок более удобным, особенно для пожилых горожан. Следующий этап — установка новых кассовых аппаратов, недавно появившихся в сфере обслуживания. Основной вопрос: сколько аппаратов следует установить? Слишком много — нежелательно. Но не потому, что появятся дополнительные издержки. Более важный аспект — эффективное использование площадей.

Планируя новый дизайн системы контроля, Петр собрал данные о нескольких последовательных субботних, наиболее посещаемых, утренних часах в своем магазине. Он заметил, что покупатели прибывают на контроль приблизительно по 10 человек в час. 20\% покупателей оплачивают 10 или менее наименований продуктов, и в среднем их обслуживают в течение 2 мин, в то время как на покупателей с более чем 10 товарами кассир затрачивает по 4 мин.

Задание

Помогите Петру определить, сколько новых кассовых аппаратов следует установить.

Ответы и решения

Ответы на вопросы: 1—4, 2 — 3, 3—2, 4—4, 5—2, 6—1.

Задача 1. Решение.

Рассматриваем модель А.

Среднее число клиентов в очереди

среднее число клиентов в системе

среднее время ожидания

среднее время, которое клиент проводит в системе,

В среднем за 5 мин прибывают (24 : 60) • 5 = 2 клиента.

Вероятности того, что 0, 1, 2, 3 клиента прибудут за 5 мин, найдем по формуле, описывающей вероятность поступления заявок в систему (т.е. по закону Пуассона):

Вероятность того, что в течение 5 мин прибудут более 3 клиентов, равна 1 [р(0) +р(1) +р(2) +р(3)] = 1 – (0,135 + 0,27 + 0,27 + 0,18) = 0,145.

Вероятность того, что фактическое время обслуживания заявки t не превысит заданной величины , подчинена экспоненциальному закону и может быть определена по формуле р(t < ) = 1 – e–, где средний темп обслуживания  = 0,6 клиента в минуту:

а) вероятность того, что время обслуживания не превысит 1 мин, р(t < ) = 1 – e–×= 0,45;

б) вероятность того, что время обслуживания не превысит 2 мин, р(t < ) = 1 – e–×= 0,70;

в) вероятность того, что время обслуживания составит более 2 мин, равна 1 – р(t < 2) = 0,30.

Вероятность того, что прибывающему клиенту придется ждать обслуживания,

Вероятность того, что в системе находится п клиентов, можно найти, используя предельные вероятности одноканальной системы с неограниченной очередью:

а) 0 клиентов:

б) 3 клиента: P3 = r3•Р0 = (0,667)3•0,33 = 0,098;

в) более 3 клиентов:

Ответы: 1. Два клиента. 2. 0,135; 0,27; 0,27; 0,18.

3. 0,145. 4. а) 0,45; 6) 0,7; в) 0,3.

5. 0,067. 6. а) 0,33; 6) 0,098; в) 0,198.

Задача 2. Решение.

Используем пакет POMWIN. Заполним модель М/М/1 исходными данными.

Для первого механика  = 2 клиента в час,  = 3 клиента в час, Смех = 7 долл /ч; Сож =15долл./ч:

Среднее время, которое клиент проводит в очереди, Wq = 0,667 ч;

средняя длина очереди Lq = 1,333;

среднее время, которое клиент проводит в системе обслуживания, Ws = 1 ч;

среднее число клиентов в системе обслуживания Ls = 2;

вероятность того, что система обслуживания окажется свободной, равна 1 – r = 1 – 0,667 = 0,333.

Совокупные издержки по ожиданию в очереди и оплате первому механику равны 27 долл. в час.

Для второго механика  = 2 клиента в час,  = 4 клиента в час, Смех = 10 долл./ч, Сож = 15долл./ч:

Среднее время, которое клиент проводит в очереди, Wq = 0,25 ч;

средняя длина очереди Lq = 0,5;

среднее время, которое клиент проводит в системе обслуживания, Ws = 0,5 ч;

среднее число клиентов в системе обслуживания Ls = 1;

вероятность того, что система обслуживания окажется незанятой равна 1–r = 1–0,5 = 0,5.

Совокупные издержки по ожиданию в очереди и оплате второму механику равны 17,5 долл. в час.

По результатам расчетов можно сделать вывод, что следует нанять второго механика.

Ответы: 1. Второго механика. 2. 17,5 долл./ч.

Задача 3. Решение.

Заполним модель М/М/1 с одним продавцом (он же является кассиром) ( = 15 покупателей в час,  = 20 покупателей в час):

Среднее время, которое покупатель проводит в очереди, Wq = 0,15 ч = 9 мин;

средняя длина очереди Lq = 2,25;

среднее время, которое покупатель проводит в магазине Ws = 0,2 ч = 12 мин;

среднее число покупателей в магазине Ls = 3;

вероятность того, что в магазине не окажется покупателей, Р0 = 1 – r = 1 – 0,75 = 0,25.

Если нанять продавца, который бы выполнял заказ, в то время как кассир рассчитывается с покупателем (альтернатива А), увеличится темп обслуживания клиентов ( = 30 покупателей в час), система останется одноканальной. Используем для решения этой задачи модель М/М/1:

Среднее время, которое покупатель проводит в очереди, в этом случае сократилось до Wq = 2 мин, издержки по ожиданию в очереди и обслуживанию канала сократились до 7 долл. в час.

Если нанять второго кассира, тем самым создав в магазине двухканальную очередь (альтернатива В), темп обслуживания на каждом канале будет равен  = 20 покупателей в час. Используем для решения этой задачи модель M/M/S:

Среднее время, которое покупатель проводит в очереди, в этом случае сократилось до Wq = 0,49 мин, издержки сократились до 6,25 долл. в час. Последний вариант более экономичен.

Ответ: Альтернативу В.

Задача 4. Решение. Заполним модель М/М/1:

Вероятность того, что док будет пуст, Р0 = 1 – 0,5 = 0,5;

среднее число судов в очереди Lq = 0,5;

среднее время ожидания обслуживания Wq = 0,1 ч = 6 мин;

среднее время пребывания в доке Ws = 0,2 ч = 12 мин.

Построим двухканальную систему обслуживания:

Степень загрузки системы сократилась до 0,25, совокупные издержки увеличились на 28 долл. в час (203 175 = 28). Необходимости в строительстве второго дока нет.

Ответы: 1. 0,5. 2. 0,5 судна. 3. 6 мин. 4. 12 мин. 5. Нет необходимости.

Задача 5. Решение. Используем модель M/M/1:

Если приобрести второй кассовый аппарат, создав в магазине двухканальную очередь, издержки сокращаются на 4,38 долл. в час (8,75 — 4,37 = 4,38):

Включение третьего кассового аппарата ведет к увеличению издержек, поэтому нет необходимости в его приобретении:

Ответы: 1. Да, есть. 2. Нет необходимости.

Задача 6. Решение.

А. Заполним модель М/М/1 ( = 24 машины в час,  = 60/2 = 30 машин в час); одновременно заполним издержки по обслуживанию канала, включая оплату служащего, и издержки по простою клиентов в очереди:

Вероятность того, что в системе нет машин, Р0 = 1 – 0,8 = 0,2;

среднее число машин в очереди Lq = 3,2;

среднее время ожидания обслуживания Wq = 8 мин;

среднее время пребывания в системе Ws = 10 мин;

среднее число машин в системе Ls = 4;

вероятность того, что вновь прибывшей машине придется ждать, Рn>0 = 0,8.

В. Используем модель М/М/1 ( = 24 машины в час,  = 60/1,25 = 48 машин в час):

Вероятность того, что в системе нет машин, Р0 = 1 – 0,5 = 0,5;

среднее число машин в очереди Lq = 0,5;

среднее время ожидания обслуживания Wq =1,25 мин;

среднее время пребывания в системе Ws = 2,5 мин;

среднее число машин в системе Ls= 1;

вероятность того, что вновь прибывшей машине придется ждать, Рn>0 = 0,5.

С. Используем модель M/M/S ( = 24 машины в час,  = 60/2 = 30 машин в час):

Окончание таблицы

Вероятность того, что в системе нет машин, Р0 = 0,43;

среднее число машин в очереди Lq = 0,15;

среднее время ожидания обслуживания Wq = 0,381 мин;

среднее время пребывания в системе Ws = 2,381 мин;

среднее число машин в системе Ls = 0,95;

вероятность того, что вновь прибывшей машине придется ждать, Рn>0 = 0,57.

Часовые издержки по обслуживанию каналов и простою клиентов в очереди в первом случае составляют 106,5 долл., во втором — 45,5 долл., в третьем — 56,81 долл. Можно сделать вывод, что вариант B для фирмы требует меньших затрат.

Ответ: Вариант В.

Задача 7. Решение.

При использовании одноканальной модели каждый механик находится в системе 4 мин. Определим темп обслуживания клиентов , если = 4 мин и  = 4 клиента в минуту. Темп обслуживания для одноканальной системы равен  = 4,25 клиента в минуту: