3.4. числовые ряды
3.4. числовые ряды
Путем деления всякую обыкновенную дробь можно преобразовать в периодическую десятичную дробь. Дробь 1/3 можно представить в виде следующей бесконечной периодической дроби:
0,333....
Запишем ее иначе:
1/3 = 0,333... = — + — + — + ... . (3.6)
1 ' 10 100 1000 v ;
Это представление называется представлением числа 1/3 в виде ряда. Записанное равенство не означает, разумеется, что мы складываем бесконечно много чисел и в результате получаем 1/3. Бесконечное число суммирований нельзя произвести. Речь идет о том, что 1/3 является числом, от которого сумма отличается сколь угодно мало, если сложить достаточно много членов.
Поставим теперь обратный вопрос: для всякой ли периодической десятичной дроби (соответствующего ряда) найдется обыкновенная дробь, которая в нее преобразуется? Ответ на этот вопрос положителен. Для доказательства достаточно использовать бесконечную геометрическую прогрессию.
Напомним некоторые сведения о геометрической прогрессии.
Геометрическая прогрессия. Геометрической прогрессией называется последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предшествующему члену, умноженному на одно и то же не равное нулю число q. Число q называется знаменателем геометрической прогрессии.
Общий (n-й) член последовательности определяется по формуле
bn = b1-qnгде Ь — первый член прогрессии, a q — ее знаменатель.
Как найти сумму первых п членов прогрессии? Если q = О, то сумма первых п членов Sn = b. Если q = 1, то очевидно, что Sn — Ь + ... + b = п • Ь. Предположим теперь, что q ф 0 и q ф 1. Тогда
Sn = 61 + &i q + ■ + bx qn~l = 6i (l + q + q2 + ...qn~l) .
Умножим обе части полученного равенства на q: qSn = b1 (q + q2 + q3 + ...qn) . Вычитая первое равенство из второго, получаем
(q-l)Sn = qSn-Sn = h (-1+ <?").
Поскольку q ф 1, то разделив обе части последнего равенства на (q — 1), получим сумму первых п членов геометрической прогрессии:
ап 1
sn = b,.q- ±
Вернемся опять к бесконечным периодическим десятичным дробям, о которых шла речь выше, и рассмотрим дробь 0,333..., а также последовательность
Si = 0,3, S2 = 0,33, Sn = 0,33...3.
Это можно записать иначе:
Sl = To> S2 = To + W' -' Sn = To + W + + WSn является суммой первых п членов геометрической прогрессии, первый член которой Ь = —, а знаменатель q = —. Используя формулу для суммы п членов геометрической прогрессии, получаем:
_ То j1 ~ ltbQ _ 1 ( Т_
Ьп~ 1-і ~ 3 ^ ю
Отсюда S = lim Sn =
п—>оо 3
В результате мы преобразовали бесконечную десятичную дробь в обыкновенную.
Рассмотрим теперь в более общем виде последовательность {Sn} частичных сумм геометрического ряда
оо
br + b2 + ... + Ьп + ... =
к=1
получаемого из геометрической прогрессии, когда q ф 1.
1-q 1-q 1-q Если q < 1, то qn —> 0 при п —> оо, поэтому
S = lim Sn = ^ ^1 , если Ы < 1.
n—too 1 — q
При других значениях g последовательность {Sn} не сходится.
Будем говорить, что бесконечный геометрический ряд сходится, если q < 1 и его сумма
S = lim Sn = ^
п—>оо 1 — q
Таким образом, под суммой бесконечного геометрического ряда мы понимаем предел последовательности его частичных сумм.
Пример геометрического ряда подводит нас к общему понятию числового ряда.
Определение. Бесконечным числовым рядом или просто числовым рядом называется бесконечная последовательность чисел и, U2, ..., ип, ..., чисто формально соединенных знаком плюс:
ui + и2 + ... + ип + ... = ^2
п=1
Числа г^і, U2-) ..., ип, ... называются членами ряда, а член ип — общим или п-м членом ряда.
оо
Обозначение ^ ип читается как «сумма ип, где п изменяется
п=1
от 1 до оо». Часто это обозначение читают еще короче «сумма ип от 1 до оо».
Рассмотрим суммы конечного числа членов ряда:
Si = 1/1, ^2 = ^1 + ^2, ••• , Sn = U1+U2 + +ип.
Сумма п первых членов ряда Sn называется п-й частичной суммой ряда.
При п —> оо возможны два случая.
I. При неограниченном возрастании номера п сумма п первых членов Sn стремится к конечному пределу S :
lim Sn = S.
п—>оо
Тогда говорят, что ряд сходится и число S называется суммой этого ряда.
П. При неограниченном возрастании номера п сумма п первых членов Sn возрастает неограниченно или вообще не стремится ни к какому пределу. Тогда говорят, что ряд расходится и суммы не имеет.
Определение. Числовой ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности частичных сумм — этот предел называется суммой ряда; в противном случае ряд называется расходящимся.
Таким образом, сумма бесконечного ряда получается не в результате суммирования всех членов, а как предел последовательности частичных сумм ряда. Понимание суммы ряда как суммирования всех его членов приводит к недоразумениям. Например, что считать суммой ряда
1-1 + 1-1 + ...?
Многие скажут, что суммой ряда следует считать 0, поскольку члены ряда можно сгруппировать так:
(1-1) +(1-1) +(1-1) + ... =0 + 0 + 0 + ... = 0.
Но другие возразят, что группировать можно и по другому — не начиная с первого члена, а начиная со второго, то есть так:
1 +(-1 + 1)+ (-! + !) + ... = 1 + 0 + 0+... = 1.
Между тем, и те и другие не правы. Этот ряд расходится, поскольку последовательность частичных сумм не имеет предела:
£і = 1, £2 = 1-1 = 0, S3 = 1-1 + 1 = 1, ....
Только понимание суммы ряда как предела частичных сумм позволяет избежать многих недоразумений и парадоксов.
Обсуждение Математика для социологов и экономистов
Комментарии, рецензии и отзывы