6.5. паутинообразная модель рынка и ряд

6.5. паутинообразная модель рынка и ряд

Будем предполагать, что производители зерна определяют предложение s (supply) товара в текущем периоде на основе цены р (price), установившейся в предшествующем периоде, а спрос d (demand) на товар изменяется в зависимости от цены в данном периоде. Предположение о запаздывании предложения от цены вполне объяснимо. Действительно, решение об объеме производства принимается с учетом текущих цен, но производственный цикл имеет определенную продолжительность, и соответствующее этому решению предложение появится на рынке по окончании данного цикла.

Если спрос и предложение линейно зависят от р, то динамика цены описывается следующими уравнениями:

s(t) = ap(t 1) + b, d(t) = -mp(t) + п.

Здесь n > b > 0, так как при нулевой цене спрос превышает предложение; а > 0, так как функция предложения возрастающая; т > 0, так как функция спроса убывающая.

Таким образом, если спрос s(t) равен предложению d(t), то получим следующее рекуррентное соотношение:

т т

п

Р(1) Р(2)

т

п — b т

Последовательно применяя это соотношение, находим: Ъ

-р(0);

771

т т т 1

1--) + [-) р(°);

р(3) =

т

т

і-+ -) Р(0)

Выражение в квадратных скобках есть сумма первых t членов геометрической прогрессии:

St = l + q + q2 + ... + qt-1 = -1-^,

1-а где q = — —. Отсюда получаем выражение для цены p(t) в произвольный момент времени t :

ч п b 1 ql , * /ГЛЧ

771 1 — Г/

Следовательно, динамика цен носит колебательный характер.

Пусть t оо. Если q < 1, то lim Sn = S = и

t^oc 1 — (J

, ,ч n — 6 1 n — b p(t)

m I — q m + a

т. е. при £—>>oo и a/m < 1 равновесие устойчиво и цена стремится к своему равновесному значению

_ п — b

V = —— •

т + а

Если |<7| > 1, то p{t) -Л оо (равновесие неустойчиво). При q = 1, т. е. при а = т, значения чередуются вокруг равновесного значения р.

Заметим, что в реальности при — > 1 бесконечно возрастают

щих колебаний не происходит, так как при больших отклонениях от равновесия линейные зависимости спроса и предложения от цены становятся нереалистичными. В более реалистической нелинейной модели устанавливаются колебания большой, но конечной амплитуды.

Раздел II Дифференциальное исчисление

Там, где прежде были границы науки, там теперь ее центр.

Г. Лихтенберг