Глава 14 частные производные 14.1. понятие функции многих независимых переменных

Глава 14 частные производные 14.1. понятие функции многих независимых переменных

Если каждой паре чисел х и х2, называемых независимыми переменными, однозначно соответствует число у, называемое зависимой переменной, то говорят, что у есть функция двух переменных; тогда записывают:

у = /(жі, х2).

Функции двух и более независимых переменных находят широкое применение в экономике. Приведем примеры лишь некоторых из них:

Издержки производства у являются функцией материальных затрат х и расходов на оплату рабочей силы х2:

у = /(жі, х2).

Производительность труда у является функцией от уровня квалификации х и уровня автоматизации труда х2.

Спрос на товар у является функцией цены товара х и средней заработной платы х2.

В трехмерном пространстве оси координат обозначают через Ох, Оу, Oz. Поэтому функцию двух переменных часто записывают и так:

z = f(x, у).

Такая запись удобна для геометрического ее изображения. Например, графическое представление функции

z = 1 — х — у

есть плоскость, проходящая через точки

(О, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 0, 0)

(рис. 14.1).

Вообще, функция двух переменных изображается в пространстве некоторой поверхностью (а не линией, как в случае функции одной переменной). Каждой паре чисел х и у соответствует точка Р(х, у) плоскости Оху. В точке Р(х, у) проводим прямую, перпендикулярную плоскости Оху, и отмечаем на ней соответствующее значение функции z получаем в пространстве точку М с координатами ж, у, z, которая обозначается символом М(ж, у, z). Точки М, соответствующие разным значениям независимых переменных, и образуют некоторою поверхность в пространстве. Такая поверхность и есть геометрическое изображение функции z = f(x, у). Например, геометрическое изображение функции

z = J — х2 — у2

для переменных х и у есть полусфера (рис. 14.1).

Покажем это с помощью сечений координатными плоскостями. Если z = 0, то х2 + у2 = 1, и, следовательно, сечение плоскостью Оху есть окружность радиуса 1.

Если х = 0, то у2 + z2 = 1 (z ^ 0); сечение плоскостью Ozy есть полуокружность.

Если у = 0, то х2 + z2 = 1 (z ^ 0); сечение плоскостью Ozx есть полуокружность.

Как и функцию одной переменной, функцию двух переменных можно представить не только графически, но и аналитически и в виде таблицы.

Аналитическое выражение для плоскости, проходящей через три точки

(0, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 0, 0),

есть функция

z = 1 — х — у.

С помощью таблицы функцию z = 1 — х — у можно определить для некоторых значений независимых переменных х и у следующим образом:

В этой таблице каждой паре значений (ж, у) соответствует значение z. Например, паре (1,0) соответствует значение функции z = 0, а паре (2, 3) соответствует значение функции z = —4.

Представление о функции может дать и метод линий уровня. Геометрическое место точек плоскости, в которых функция z = f(x, у) принимает постоянное значение, называется линией уровня. Это линия пересечения поверхности z = f(x, у) плоскостью z = С и ортогонально спроектированная на плоскость Оху. Сделав несколько таких сечений плоскостями z = С,

которые отстоят друг от друга на равное расстояние, и вычертив линии уровня, можно составить представление о самой поверхности. Там где линии уровня проходят близко друг к другу, поверхность поднимается круто, а значит, и функция изменяется быстрее по сравнению с изменением функции в тех местах, где расстояние между соседними линиями больше. Поверхность, определяемая уравнением z = х2 + у2, и ее соответствующие линии уровня изображены на рис. 14.2. Из рисунка видно: чем дальше от начала координат расположены линии уровня, тем они ближе подходят друг к другу. Это означает, что при удалении от начала координат поверхность поднимается все круче. Обратно, чем ближе к началу координат, тем медленнее меняется функция.

Метод линий уровня широко используется в социально-экономической сфере. О его некоторых приложениях изложено в п. 16.5.