Глава 17 дифференциальные уравнения первого порядка 17.1. задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям

Глава 17 дифференциальные уравнения первого порядка 17.1. задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям

Уже была исследована задача вычисления неопределенного интеграла от функции f(x). Решение этой задачи

f(x)dx = F(x) + C,

где F(x) — первообразная функции /(ж), можно рассматривать как решение уравнения

У' = f(x), (17.1)

поскольку (F(x) + C)f = f(x). Уравнение (17.1) содержит производную у1. Поэтому его называют дифференциальным уравнением. Оно имеет бесчисленное множество решений. Каждое из решений представляет некоторую первообразную от функции f(x).

Если потребовать, чтобы для решения у {і) выполнялось дополнительное условие

3/(0) = 1,

то среди всех решений найдется только одно, которое ему удовлетворяет. Действительно, поскольку у(х) = F{x) + С и у(0) = = 1, то

3/(0) = F(0) + С = 1, С = 1-^(0),

откуда

у(х) = F(x) + С = F(x) + 1 F(0).

V Пример. Пусть известно, что в начальный момент времени t = 0 на предприятии производилось продукции в количестве у о, а скорость роста продукции, произведенной на предприятии, пропорциональна инвестированию u(i). Найти какое количество продукции y(t) производится в каждый момент времени £, если инвестирование предприятия постоянно и равно 3 денежным единицам.

Решение. Согласно условию задачи

Щ = ки(і) = 3к.

dt v )

Поскольку первообразной от постоянной величины 3 к, является линейная функция 3 к t + С, то решение дифференциального уравнения представляет функцию y(t) = 3 к t + С. Воспользовавшись другим условием задачи, согласно которому

2/(0) = уо,

получим С = у о, откуда имеем

y(t) = 3kt + y0,

т. е. рост продукции предприятия растет линейно. А

Задача. В условиях предыдущей задачи найти количество продукции y(t), произведенной в каждый момент времени £, если инвестирование предприятия растет пропорционально времени.

Ответ:

^ = kt, y(t) = k£ + y0.