2.1. построение функции спроса на основе гипотез количественного измерения полезности (кардиналистская концепция)

2.1. построение функции спроса на основе гипотез количественного измерения полезности (кардиналистская концепция)

Кардиналистская концепция основана на трех гипотезах.

Гипотеза I. Потребитель может выразить свое желание приобрести некоторое благо посредством количественной оценки его полезности.

Единица, служащая потребителю масштабом измерения полезности, получила название ютила (utility — полезность). Оценки полезности субъективны, поэтому нельзя складывать ютилы, приписываемые

одному и тому же благу различными потребителями. Но каждый отдельный потребитель проводит с оценками полезности все математические операции, которые применимы к числам. Зависимость между полезностью, получаемой потребителем, и количеством потребляемых им благ называют функцией полезности.

Из гипотезы I следует, что каждый вид благ имеет для потребителя общую и предельную полезность. Общая полезность некоторого вида благ есть сумма полезностей всех имеющихся у потребителя единиц этого блага. Так, общая полезность 10 яблок равна сумме ютилов, которые потребитель приписывает каждому яблоку. Как изменяется величина общей полезности блага по мере увеличения его количества? Для ответа на этот вопрос используется вторая гипотеза.

Гипотеза II. Предельная полезность блага убывает, т.е. полезность каждой последующей единицы определенного вида благ, получаемой в данный момент, меньше полезности предыдущей единицы. Это утверждение, получившее название «первый закон Госсена»1, исходит из того, что потребности людей насыщаемы.

Если предположения о возможности количественного измерения полезности и убывании ее предельной величины соответствуют действительности, то это означает, что в основе плана потребления индивида лежит составленная им таблица, в которой каждая единица потребляемых благ имеет количественную оценку полезности. Примером такой таблицы служит табл. 2.1, названная по имени первого ее составителя таблицей Менгера2 .

В соответствии с гипотезой III потребитель, ориентируясь на свою таблицу Менгера, с учетом заданных цен формирует такой ассортимент покупок, который при его бюджете дает максимальную сумму ютилов.

Для достижения этой цели потребитель должен руководствоваться вторым законом Госсена, который гласит: максимум полезности обеспечивает такая структура покупок, при которой отношение предельной полезности (и) блага к его цене (p) одинаково для всех благ —

Pa Pb "' Pz ' (2.1)

Докажем второй закон Госсена от противного. Допустим, что для какой-либо пары благ равенство (2.1) не выполняется: uH/PH > uG/PG. Это означает, что при покупке блага H в среднем на 1 руб. приобретается большая полезность, чем при покупке блага G. Следовательно, увеличение объема покупок блага H за счет уменьшения объема покупок блага G позволяет потребителю при заданном бюджете повысить свою удовлетворенность. И только тогда, когда равенство (2.1) выполняется по всем благам, при заданном бюджете нельзя увеличить сумму общей полезности покупаемых благ. В этом случае говорят, что потребитель достиг равновесия.

Пример. Допустим, что индивид, таблица полезности которого совпадает с табл. 2.1, имеет 25 руб. 20 коп. На эти деньги он купил 3 кг хлеба по цене 2 руб. за 1 кг, 4 л молока по цене 2,8 руб. за 1 л и 2 кг сахара по цене 4 руб. за 1 кг. По табл. 2.1 легко подсчитать, что общая полезность всего набора купленных благ составит

15+10+8+12+11+10+7+10+8 = 91.

Проверим, соответствует ли такая структура расходов второму закону Госсена. При указанных количествах купленных благ предельная полезность хлеба для индивида равна 8, молока — 7 и сахара — 8 ютилам. Поделим предельные полезности на цены благ: 8/2 = 4; 7/2,8 = 2,5; 8/4 = 2. Несоблюдение условия (2.1) свидетельствует о возможности увеличения общей полезности расходов бюджета индивида. Если отказаться от 2-го кг сахара и на сэкономленные деньги купить еще 2 кг хлеба, то условие (2.1) будет соблюдено: 5/2 = = 7/2,8 = 10/4 = 2,5. В результате общая полезность нового набора купленных благ возросла

15+10+8+7+5+12+11+10+7+10 = 95.

В соответствии со вторым законом Госсена повышение цены блага i при неизменности остальных цен и бюджета потребителя снижает объем спроса на это благо: рост Pi ведет к уменьшению ui/Pi; для восстановления равенства ui/Pi = X нужно увеличить ui, что в соответствии

с первым законом Госсена достигается за счет сокращения объема потребления блага i. Из аналогичных рассуждений следует, что снижение цены блага ведет к увеличению спроса на него. В этом суть закона спроса: объем спроса увеличивается при снижении и уменьшается при повышении цены блага.

Обратим внимание на то, что изменение цены одного из потребляемых благ меняет структуру расходов потребителя; в результате может измениться объем спроса не только на потребление данного, но и других благ. Следовательно, объем спроса индивида на благо зависит как от его цены, так и от цен других благ.

Если при неизменных ценах растет бюджет потребителя, то он может повысить общую полезность за счет увеличения объема спроса на блага, предельная полезность которых больше нуля. Поэтому с ростом бюджета индивид увеличивает объем спроса.

Функция индивидуального спроса. Таким образом, количество спрашиваемого индивидом блага зависит от: цены данного блага (Pi), цен других благ (Pj) и бюджета индивида (M):

QD = QD (р, Pj, M).

График функции индивидуального спроса представлен на рис. 2.1. Отрицательный наклон линии спроса отображает закон спроса. Влияние других аргументов функции QD на количество спрашиваемого блага выражается в соответствующем сдвиге линии спроса. Так, при увеличении бюджета потребитель по каждой цене будет спрашивать большее количество, т.е. его кривая спроса сдвинется вправо. В связи с этим важно различать изменение объема спроса на каждое благо (перемещение по линии D) и изменение спроса (сдвиг линии D). Когда все факторы, определяющие объем спроса на благо, кроме его цены, постоянны, функция спроса принимает частный вид функции спроса по

цене: Q = Q(P).

Таблица Менгера представляет собой дискретную функцию полезности. Если она непрерывна, то второй закон Госсена и функция спроса на каждое благо выводятся аналитически.

Допустим, что индивид потребляет лишь три вида благ (A, В, C); их воздействие на уровень полезности отображается функцией

U = QAQBQC ;0 <a< 1; 0 <р< 1; 0 < y < 1. (2.2)

Бюджет индивида равен M, тогда его бюджетное ограничение задается следующим равенством:

M = PaQa + PbQb + PcQc . (2.3)

Чтобы узнать, какая структура покупок обеспечивает потребителю максимум полезности, нужно максимизировать функцию Лагранжа

=aQ

t!BQC =

[ ЭФ

dQA ЭФ

(2.4) (2.5) (2.6)

Ф = QAQBQc ~4PaQa + PbQb + PcQc m). Условие ее максимизации следующее:

tBQc ~^Pa = 0 = ai

dQB

ЭФ

dQc

'kPc

= PQAQB^Qc ~^Pb = 0 = PQAqB'Q =

= iQAQBQyc1 = 0 = iQAQ PQ y-1

Так как в левой части равенств (2.4) — (2.6) стоит предельная полезность каждого из благ, то легко заметить, что условие максимизации функции Лагранжа представляет второй закон Госсена.

Разделив равенство (2.4) поочередно на равенства (2.5) и (2.6), после преобразований получим

=PPaQ^ „ =JPaQa

aPc

(2.7)

aPB

M

a

Га

M = PaQa

( P ул 1

aa

Подставив значения (2.7) в бюджетное уравнение (2.3), получим функцию спроса индивида на благо A

a + P + y Pa

M

P

y

Заменив в выражениях (2.7) объем спроса функцией спроса на благо A, получим функции спроса на два других блага

a + P + У Pc

M

a + P + y Pb

Обратим внимание на то, что среди аргументов функций спроса на каждое благо не оказалось цен других благ, т.е. объем спроса на одно благо не зависит от цен других благ. Такой результат связан с особым типом функции полезности индивида в рассмотренном случае. Если предпочтения потребителя отображаются функцией полезности типа (2.2), то объем спроса на благо зависит только от его цены и величины бюджета. Цены других благ не влияют на объем спроса данного блага, так как в этом случае вкусы потребителя таковы, что он на каждый вид благ выделяет фиксированную долю бюджета. Эта доля определяется как отношение показателя степени при данном благе к сумме всех показателей степени функции полезности.

Если функцию полезности (2.2) заменить функцией

U =(QA + k )L(Qb + l )))Qc + m)), (2.8)

где k, l, m — константы, то объем спроса индивида на каждое благо будет зависеть от его бюджета и всего вектора цен1:

а + в + Y

а M + kPA + ІРв + тРс

QA =-k + = х A в а + р + у

, + _Р_х M_+ №a + ІРв + тРс

У

Qc =-т +

Рв

M + kPA + ІРв + тРс

а+в+У

В этом случае товары А, В, С являются для потребителя взаимозаменяемыми: повышение цены на один товар приводит к увеличению спроса на другие.

U

Для двух взаимодополняемых благ (например, компьютер и программное обеспечение) функция полезности может иметь вид

Ей соответствуют следующие функции спроса:

M

M

Pg +4PHPG

1 См. Математическое приложение.

(2.9)

Объем спроса на взаимодополняемые блага находится в обратной зависимости от цен обоих благ.

И наконец, обратим внимание на то, что объем спроса на благо может не зависеть от бюджета потребителя. Если функция полезности индивида имеет вид

(2.10)

2

If.

2PG

U = QF +4 Qg , то его спрос отображается следующими функциями:

M Pf

F

Объем спроса на благо G зависит только от вектора цен при любом бюджете потребителя. Предпочтения такого индивида называют квазилинейными, так как они выражаются квазилинейной функцией полезности.

Таким образом, вид функции полезности определяет характер зависимости объема спроса потребителя от его бюджета и цен благ.

Излишки потребителя. Каждая точка на кривой спроса показывает, с одной стороны, сколько единиц товара потребитель согласен купить по данной цене, с другой — какую максимальную сумму денег он согласен заплатить за очередную единицу товара. Так, индивид, линия спроса которого изображена на рис. 2.2, за 8-ю единицу блага согласен заплатить 8 ден. ед., а за 12-ю — только 6 ден. ед. Если потребитель может купить любое количество благ по единой цене, то образуется излишек потребителя — разность между максимальной суммой денег, которую потребитель согласен заплатить за купленные товары, и той суммой денег, которую он за них заплатил. На рис. 2.2 по цене 4 ден. ед. потребитель купит 16 ед. товара и его потребительский излишек, представленный площадью заштрихованного треугольника, равен 64. По изменению величины излишка потребителя можно судить о том, как изменение цены товара влияет на

благосостояние покупателя. Рис. 2.2. Излишек потребителя