§ 2.1. операции над матрицами

§ 2.1. операции над матрицами

Определение 1. Матрицей (точнее, числовой матрицей) называется прямоугольная таблица, составленная из чисел. Размером матрицы называется пара чисел т, п, где т — число строк, an — число столбцов в таблице.

Например,

Однако главные применения матриц связаны с другой операцией — умножением матриц. Это очень своеобразная операция, лежащая в основе целого раздела линейной алгебры — алгебры матриц.

размера т х и; -размера пхк.

Пусть даны две матрицы:

А-В-

матрица размера 2x3.

Числа, составляющие матрицу, называются ее элементами.

R

'(Л 1 2

V4,

Матрица размера п х п называется квадратной матрицей порядка и. Матрицу размера 1 х п (одна строка) называют обычно матрицей-строкой, а размера т х 1 (один столбец) — матрицей-столбцом. Матрица-строка 1 х п — это фактически вектор из R", а матрица т х 1 — вектор из R™. Например,

(-1, 2, 7) Є R ,

т

Как видно, число столбцов в матрице А по условию равно числу строк в матрице В, или, выражаясь свободнее, длина строки в матрице А совпадает с высотой столбца в матрице В. В этом случае можно определить матрицу С АВ, которая будет иметь

. Элемент матразмеры т х к ^правило для запоминания: ™ • ^ = ^

рицы С, расположенный в произвольной j-ой строке (i = 1 т)

и произвольном j-ом столбце (J = 1, к), по определению равен скалярному произведению двух векторов: і-ой строки матрицы А иу-го столбца матрицы В.

Например:

О

Для сокращенной записи матриц будем использовать заглавные буквы: А, В,.... Например, А=~^ ^ 3 ]или, скажем, В =

О

V J

О 0 6 5 II 8

-2 3 4 2

Над матрицами можно производить ряд операций. Прежде всего матрицы одинакового размера можно складывать. Сложить две матрицы означает сложить их элементы, стоящие на одинаковых местах. Например,

-1 2 з"! 5 7 6

3 -2 1 4

1 1 1 2 і -1

і 2

г2 1

1 ,

V J

3^ 2

6 , J

' 3 • 0 + (-2) • 0 10 + 40

З •(-!) +(-2)-2^ 1 • (-1) + 4-2

1 ■ 2 + 1 • 1 + (-3) • 1) 1 2 + 2-1 +41

— произведение не существует, так как длина строки в матрице А, равная 2, не совпадает с высотой столбца в матрице В, равной 3.

А =

Соглашение. Элементы матрицы в общих рассуждениях принято обозначать буквами с двумя номерами (индексами). Если, например, матрица обозначена А, то ее элемент, расположенный в /-ой строке и 7-ом столбце, обозначается а^. Скажем,

'II "12 "13 !21 а22 а23

Пусть А, В, С — квадратные матрицы одного и того же размера, скажем, 2x2. Запишем их так:

Имеем:

— общая запись матрицы размера 2x3.

С = АВ:

В таких обозначениях правило умножения матриц запишется следующим образом:

Су = ап-Ьь+ аа-Ьу+...+ аіп-ЬпҐ

з L4

а3^1 + a4tb3 a3b2 + aAb^

Ґ(axb{ + а2Ь3) c,.+ (Д|Ь2 +12^4) c3 (axb{ + a2b3) c2 + (a]b2 + a2b4) c4 (а3й, + <з4&3) c, + (a3fo2 +a4b4) c3 (a36, + a4b3) c2 + (а3Ь2 + а4Ь4) c4

Свойства умножения матриц

Умножение матриц в некоторых отношениях сходно, но в других отношениях отличается от умножения чисел.

.аЬ = Ьа для чисел, но АВ * В А (в общем случае) для матриц.

2 О 1 5

-1 2Ї 3 7

2 О 1 5

Например,

-I 2^ 3 7

О 10 ї 13 35

но

-1 2 3 7

-1 2 3 7

-2 4 14 37

не существует.

2. Важнейшее свойство умножения матриц заключается в том, что умножение матриц, подобно умножению чисел, подчиняется

сочетательному закону:

(АВ)С = А(ВС).

Доказательство в общем виде требует довольно громоздких записей, поэтому ограничимся только случаем квадратных матриц.

34

a a:

A{BC) =

■3 u4

Ь jС j -*£>2C3 ^1C2 + ^2C4

^3c,+fc4c3 63c2 + ft4c4

'а^с, + ft2c3) + a2(*3ci +^4сз) ^(ft^ + ^c^ + a^ft^ + ^c,,)4 a^c, +fc2c3) + a4(b3C| + b4c3) a3(fc,c2 + + a4(fo3c2 + b4c4)^ '

Сравнивая полученные выражения для матриц {АВ)С и А(ВС), убеждаемся в их полном совпадении. Например, элемент матрицы (АВ)С, расположенный в первой строке и втором столбце, равен

alblc2 + alb2c4 + а2Ьгс2 + a2b4c4,

но точно такое же выражение имеет и элемент матрицы А(ВС), расположенный в том же месте.

3. Любой матрице А размера тхи можно сопоставить матрицу А (читается:матрица,транспонированнаяк/4)размералхт.Строки матрицы Ат — это столбцы матрицы А с сохранением их порядка.

Например,

f 3 \ -2 6 7 5

J

Предоставляем читателю проверить следующее свойство умножения матриц самостоятельно:

(АВ)Т = ВТ-АТ.

Пример. Предприятие выпускает три вида продукции Пх, П2, /73, используя два вида сырья Slt S2. Нормы расхода сырья характеризуются матрицей

Я, п2 пъ

А = § 2.2. Матричная запись системы линейных уравнений

Х| + а

Mi

и12

Одно из важных применений матриц связано с рассмотрением систем линейных уравнений. Пусть дана система mxn:

х2 +... + а,

(Буквы Si,S2,nl,n2,n3 представлены для пояснения. Например, число а21 = 3 в матрице А означает, что на выпуск единицы продукции /7, расходуются 3 единицы сырья S2)Определить затраты сырья, необходимые для осуществления следующего выпуска товаров:

'150^ 120 80

Решение. Затраты Sy составляют: 5 • 150 + 0 • 120 + 4-80 ед.,

5 0 4 З 1 4

150 120

80

а затраты S2 составляют: 3_150 + 1 • 120 + 4-80 ед. Отсюда видно, что вектор-столбец S = (s^J7 затрат сырья может быть записан в виде произведения

S = A с =

(1070 [ 890

J

Допустим, что кроме этих данных указаны еще и стоимости каждого вида сырья (в расчете на единицу сырья):

£ = (20 30).

Тогда стоимость всего затраченного сырья будет 201070 + 30 • 890 = 48100 или, в матричной записи:

Стоимость сырья = ( 20 30 ) ^ j =р А с.

Разумеется, если будет необходимо решить другую подобную задачу, то можно, не повторяя рассуждений, сразу записать ответ в виде р А с.

36

in ■

'21 Л1

+ атп хп

(2.1)

aml*l+flm2x2 +

Ми *2n

Введем в рассмотрение матрицы:

J21

X =

B =

42

hi

А =

Тогда систему (2.1) можно заменить единственным уравнением

АХ=В. (2.2)

Действительно, матрицы АХ и В имеют один и тот же размер т х 1, т. е. каждая из них представляет собой столбец «высоты» т. Приравнивая друг другу первые элементы этих столбцов, получим

а„ Xi+al2x2 + ...+alnxn = blt

что в точности совпадает с первым уравнением системы (2.1). Аналогичный результат дает сравнение вторых элементов, третьих и т. д. В итоге получаем, что уравнение (2.2) равнозначно системе уравнений (2.1).

Уравнение (2.2) называют .матричном записью системы (2.1).

Например, система

| jc, 2х2 + 5х3 = 0 І 2х, + Ъх2 6;с3 = 4

в матричной записи выглядит так:

(■

'1-2 5Ї 2 3-6

*3