§ 2.3. умножение квадратных матриц. вырожденные и невырожденные матрицы.

§ 2.3. умножение квадратных матриц. вырожденные и невырожденные матрицы.

Обратная матрица

Условимся дальше рассматривать квадратные матрицы размера п х и, где и — фиксированное число. Тогда произведение АВ имеет смысл для любых матриц А и В.

Отметим ряд новых свойств умножения матриц, возникающих при рассмотрении квадратных матриц.

1. Матрица

( 1 0...0^

О 1 ... о

О 0... 1

на «главной диагонали» которой стоит число 1, а вне диагонали О, называется единичной матрицей (порядка и). Для любой матрицы А имеем

АЕ = А,ЕА =А,

АЕ =

л2

Чг

что проверяется непосредственно. Например, при п = 2 имеем

'21

1

0 1

0 1

121

12 "22

ЕА =

12 "22

2. Известно, что для любого числа я*0 существует обратное

1.

число а ', для которого

а [а=, а а 1

Оказывается, нечто подобное имеет место и для матриц, причем роль условия а * 0 играет своеобразное условие невырожденности матрицы А.

Определение 1. Пусть А — квадратная матрица пхп. Матрица В (того же размера) называется обратной для А, если

АВ = Е.

Обратную матрицу А обычно обозначают А~].

Определение 2. Матрица А (квадратная) называется невырожденной, если ее строки линейно независимы, и вырожденной в противном случае.

Понятно, что строки матрицы А — это арифметические векторы

(из R"), поэтому можно ставить вопрос об их линейной зависимости или независимости.

Очевидно, в невырожденной матрице не может быть нулевых строк. Это непосредственно следует из того, что любая система векторов, содержащая нулевой вектор, линейно зависима.

Отметим одно важное свойство невырожденных матриц. Предварительно условимся, что элементарным преобразованием над строками матрицы называется любое из следующих действий:

перестановка строк;

вычеркивание нулевой строки (если таковая имеется);

умножение любой строки на число X * 0;

прибавление к одной из строк другой строки, умноженной на любое число.

Иначе говоря, речь идет о тех же самых элементарных преобразованиях, используемых в методе Гаусса, с той лишь разницей, что теперь эти преобразования производятся не над уравнениями системы, а над строками матрицы.

Лемма. Если над строками невырожденной матрицы А проделать элементарное преобразование, то получим снова невырожденную матрицу.

Доказательство. Чтобы убедиться в справедливости леммы, нужно рассмотреть все виды элементарных преобразований и в каждом случае убедиться, что матрица остается невырожденной.

Преобразование вида 1) не меняет по существу системы строк, и в этом случае доказывать попросту нечего. Преобразование 2) невозможно, так как в невырожденной матрице не может быть нулевых строк. Столь же очевидным является случай преобразования 3). Остается случай преобразования 4), который мы предлагаем читателю рассмотреть самостоятельно. Например, для матрицы А

размера 3x3 необходимо проверить, что если векторы (строки) а,, а2, а3 линейно независимы, то векторы я, + ка2,а2, а3 (где к — любое число) тоже линейно независимы. Эта проверка представляет собой простое упражнение на линейную зависимость.