§ 2.4. способ нахождения обратной матрицы

§ 2.4. способ нахождения обратной матрицы

Теорема. Для любой невырожденной матрицы А существует обратная матрица А~х.

Докажем теорему и одновременно дадим способ нахождения обратной матрицы.

Рассмотрим теорему с более общих позиций: будем решать матричное уравнение

АХ = В,

где А и В — две данные матрицы, а X — неизвестная матрица. В частном случае, когда В = Е, матрица X будет обратной к А.

Способ решения уравнения АХ-Е

Пусть А — невырожденная матрица. Приведем ее с помощью элементарных преобразований над строками к единичной матрице Е (возможность такого приведения будет доказана). Если затем те же самые преобразования применить к строкам матрицы В, то получим искомую матрицу X.

Заметим, что нет необходимости специально запоминать преобразования, совершенные над А, чтобы проделать их над В. Вместо этого можно приписать к А (например, справа) матрицу В:

(АВ)

и выполнять преобразования сразу над «сдвоенной» матрицей. После того как левая половина приведется к Е, правая приведется к искомой матрице X.

Доказательство. Для сокращения записей будем считать л=3. Обозначим столбцы матрицы В через Ьх, b2, Б3 и рассмотрим каждую из следующих трех систем уравнений:

Ах-Б,, Ах = Ь2, Ах-Ъ3, (2.3) /v-Л

где х обозначает матрицу-столбец

х3

Будем решать эти системы поочередно одну за другой, применяя метод Гаусса.

(2.4)

Начнем с первой системы:

В процессе преобразований не может появиться противоречивое уравнение

О +0 -х2 + 0 х3 = Ь (гдеЬ*0),

ибо при элементарных преобразованиях над строками матрицы А она должна оставаться невырожденной (см. лемму § 2.3 ), а в невырожденной матрице, как уже говорилось, не может быть нулевых строк. По тем же причинам не может появиться уравнение

О • х, + 0 • х2 + 0 ■ Ху= 0,

т. е. число уравнений в системе меняться не будет. Но в таком случае мы должны после ряда шагов прийти к системе из трех уравнений, где каждому уравнению соответствует свое базисное неизвестное, т. е. к системе вида

(2.5)

31

= с21

х, = с

Заметим, что матрица из коэффициентов при неизвестных в этой системе есть единичная матрица Е. Отметим этот факт особо: невырожденная матрица А приводится кЕ с помощью элементарных преобразований над строками.

Обозначим столбец свободных членов в системе (2.5) через с,. Поскольку система (2.5) равносильна исходной системе (2.4), имеем:

Ас1 = Ъ .

Обратимся ко второй из систем (2.3):

ЛС|= Ъ2. (2.6)

Если те же самые элементарные преобразования, что использовались для решения системы (2.4), применить и здесь, то получим решение системы (2.6), т. е. такой столбец с2, что Ас2 = Ь2. Аналогично получим столбец с3, Ас3 = Ъ3.

Итак, имеем:

Acl=bl, Ас2-Ьг, Ас3 = Ъ3 . (2.7) Составим из столбцов с,, с2, с3 матрицу С:

сп сі2 с\: Л Сс2[ с22 с2:

сз с32 сзз j

Тогда вместо трех равенств (2.7) можно записать одно:

АС = В,

т. е. С—искомая матрица. Причем, каквидноиз наших рассуждений, каждый ее столбец с, получается из соответствующего столбца Ь,

с помощью тех же самых элементарных преобразований, что переводят матрицу А в единичную.

Итак, мы обосновали указанный способ нахождения матрицы X

и тем самым доказали существование обратной матрицы А~] для любой невырожденной матрицы А. Сформулируем отдельно способ нахождения матрицы А~].

Способ нахождения обратной матрицы

Пусть А — невырожденная матрица. Припишем к ней (например, справа) единичную матрицу Е. Далее с помощью элементарных преобразований над строками «сдвоенной» матрицы (А | Е) приводим А («левую половину») к единичной матрице Е. Тогда на месте первоначально приписанной матрицы Е окажется матрица А~х. 42

Заметим, что из самого способа нахождения матрицы А 1 легко

следует, что матрица, обратная для А~х, есть А. Действительно, проделав преобразования, переводящие А в Е, в обратном порядке

из м атрицы Е получим A, am А 1 — матрицу Е. Это означает, что А есть обратная матрица для А~ т. е. А~{А = Е.

3^

О

1

Пр имер 1. Для матрицы

А =

2 2 1 -1 -1 2

найти обратную матрицу А'

Воспользуемся описанным выше способом нахождения А~ . При этом нет необходимости специально проверять невырожденность матрицы А. Это будет вытекать из самой возможности приведения А к Е. Действительно, если элементарные преобразования, приводящие А к Е, проделать в обратном порядке, то из матрицы Е получим А. Но матрица Е — невырожденная (это очевидно). Следовательно, и матрица А —невырожденная.

1 0^

о о

0 0 1

Г і -і о

2 2 3

-1 2 1

0 1 0Л

1 -2 0

0 1 1

Итак, составим матрицу

(закончен 1-й этап преобразований: первый столбец матрицы, стоящий левее вертикальной черты, принял вид первого столбца матрицы Е);

	(1	-1	0	0	1	°1		г	1	0	1	0	2	1 Ї
->	0	1	1	0	1	1	—>		0	1	1	0	1	1	->
	0 ч	4	3	1	-2	0 )			0	0	-1	1	-6	-4 )

-1

Пример 2. Решить уравнение

где X — неизвестная матрица 3x3.

о

2

0 0-1

0^ 3 1

1 0Л 5 3 -1 1

Решение. Имеем

-10 5 -1

'12 0 2

'10 0 0 1 о 0 0 1

V

-25 -5 14 -9

Правее вертикальной черты получилась искомая матрица

Х =

1<Л 3 5 1 -1

До сих пор мы ничего не сказали о возможности существования обратной матрицы в случае вырожденной матрицы А. Для этого случая справедливо следующее предложение.

Для вырожденной матрицы А не существует обратной матрицы.

Кратко наметим доказательство. Если матрица А вырождена, то между ее строками существует линейная зависимость. Но тогда, как следует из правила умножения матриц, точно такая же зависимость имеется и между строками матрицы АВ, где В — какая угодно матрица.

Действительно, пусть, например, между строками а1,в2.—. а„ матрицы А существует такая зависимость:

За, 5аг + 2а3 = 0 . (2.8)

Обозначая столбцы матрицы В через b],b2,...,bn и умножая скалярно обе части равенства (2.8) на вектор bj, где_/—любоеиз чисел 1, 2 , ..., и, будем иметь

3(5,, bj) 5(а2, bj) + Щ, Ц = 0,

т. е.

Зс,7.-5ся,. + 2Сз/. = 0, (2.9)

где Cjj — элементы матрицы С=АВ. Наличие равенства (2.9) при всех

j 1, 2 , .. ., и означает, что между строками матрицы С существует зависимость

3 с, 5 с2 + 2 с3 = 0.

т. е. точно такая же зависимость, что и между строками матрицы А.

Если теперь предположить, что существует матрица А~], то это означало бы, что точно такая же зависимость, какая существует

между строками матрицы А, существует и между строками АА~Х, т. е. между строками единичной матрицы Е. Между тем строки матрицы Е линейно независимы.