§ 3.7. собственные значения матрицы леонтьева

§ 3.7. собственные значения матрицы леонтьева

Понятие собственного значения, а также понятие вектора Фробе-ниуса неотрицательной матрицы А позволяют по-новому подойти к вопросу о продуктивности модели Леонтьева.

Пусть А — неотрицательная квадратная матрица порядка п. Век-тор ФробениусарА матрицы А назовем левым вектором Фробениуса матрицы А.

Представляя рА как вектор-столбец, можем записать

или, после транспонирования,

fAA=XAfA. (3.30)

Основным результатом этого параграфа является следующая теорема.

Теорема. Неотрицательная квадратная матрица А продуктивна тогда и только тогда, когда ее число Фробениуса меньше единицы.

Доказательство. Пусть матрица A (SO) — продуктивна. Тогда для любого вектора у (>0) существует решение х (SO) системы

Ах+у = х. (3.31)

Пусть у > 0, тогда, очевидно, Зс > 0. Умножив равенство (3.31) слева на матрицу-строку рА , получим с учетом (3.30)

^а(Ра^)+РаУ=Ра^

или

(-A)(fAx)=fAy.

Так как рА £ 0 и у > 0, х > 0, то рА у > 0, рА х > 0. Поэтому из последнего равенства вытекает, что ХА < 1.

Обратно, пусть матрица Л(а0) имеет число Фробениуса ХА<. Покажем, что она продуктивна. Зададим у (SO) и покажем, что у системы (3.31) существует решение х S 0. 88

U і

Умножая эту матрицу слева на (и+ 1)-векторр , где/? = (0,0,1),

легко убедиться, что

pTA=f.

Следовательно, одним из собственных значений матрицы А является Х= 1.

Пусть вектор Х=(хх,..., хп хп+{) = (х, хи+1) является собственным вектором матрицы А,т.е.АХ = XX. В силу определения матрицы А это равносильно тому, что

Vt-1

= х

(3.32) (3.33)

v J

или

' Ах+у -хп+]=Хх , хп+ ~ ^-"-n+l ■

Если X * 1, то из (3.33) следует, что хп+, = 0, в силу чего (3.32) примет вид Ах = Хх. Следовательно, X — собственное значение матрицы А и, по нашему предположению, |Х|<1. Таким образом, ХА = 1 является положительным и максимальным по модулю собственным значением, следовательно, является числом Фробениуса. По теореме Фробениуса-Перрона у матрицы А существует неотрицательный собственный вектор хА = (хА, х„+), соответствующий ХА = 1. Очевидно, что хп+1 * 0, так как в противном случае из (3.32) следовало бы, что Ах = х. А это противоречит тому, что число Фробениуса!^ < 1. Поэтому мы можем считать, что xn+l = 1 (очевидно,

что вектор также является вектором Фробениуса). В силу того,

Хп+

что xn+l = 1, равенство (3.32) принимает вид:

аха+У = хаПоскольку хА = (хА, хп+1) > 0, то хА S 0. Следовательно, матрица А продуктивна.

Пример. Выяснить, при каких значениях а > 0 матрица

А = а

2 О

1 О 7 6 9

будет продуктивной.

Решение. Характеристический многочлен матрицы А будет