§ 5.3. случай линейной зависимости между переменными

§ 5.3. случай линейной зависимости между переменными

500 450 400 350 300 250 200 150 100 50 0

Рассмотрим теперь подробнее случай, когда многочлен Р(х) имеет степень I. Тем самым предполагается линейная зависимость между наблюдаемыми величинами х и у вида

у = а + $х.

Для определения коэффициентов аир можно воспользоваться сис-темой (5.11) § 5.2, которая с учетом новых обозначений а =р0, Р =Р приобретает вид

(А],А])а + (Ах,Аг)Р = (А], У), (А],А2)а + (А2,А2)Р = (А2, У),

где Л, =(1; 1;...; ),А2 = (хих2, ...,*„), Y=(y{,y2, ...,у„).

С использованием знака суммы I данная система записывается так:

(5.21)

Решая систему (5.21), находим

п

При анализе рис. 5.1 возникают следующие вопросы. Будет ли тенденция формулы (5.20) действовать хотя бы в январе 1993 г.? Можно ли таким образом строить прогнозы на будущее? Подставив х = ІЗвформулу (5.20), найдем у\^ = 580, тогда как на самом деле курс доллара в конце января 1993 г. составил только ухі = 572. Полученный прогноз оказался относительно удачным, однако следует ясно понимать, что прогнозирование любого экономического показателя только лишь по его прошлым значениям без учета других, связанных с ним индикаторов, крайне ненадежно.

(5.22)

^2

ве 

1=1

Пусть у = -Z у і•, х = -Z *, — средние значения наблюдаемых

личин. Первое уравнение системы (5.21) эквивалентно

жх + пх$ = пу,

(5.23)

откуда находим

а = у р х.

Итак, метод наименьших квадратов позволяет получить приближенную линейную зависимость

у = а + р х,

где а* и р* определены формулами (5.22), (5.23).

Рассмотрим числовой пример. Предположим, что у нас есть следующие данные о размерах покупок у и их розничной цене х для некоторого товара.

Находим

Л2

10

10

10

= 20736, Z^, = 250, Х*Л = 3360i=l

i=i

10 10 £*,■= 144, Z xj = 2154,

1=1 1=1 1=1

V j

Используя (5.22), получаем

т т Л, =(1; 1;1) , А2 = (хих2, ■■■,*„) . Пусть Я — двухмерная плоскость в и-мерном пространстве, состоящая из всех линейных комбинаций векторов А и А2. С геометрической точки зрения метод

наименьших квадратов состоит в том, что ищется точка У*Є Я, расположенная ближе всего к заданной точке Y=(yx у2,-;Уп)-Пусть Y = (y,y, ...,у)=уА — и-мерный вектор, все координаты которого равны у — среднему значению наблюдаемой величины у. Так как вектор YY* перпендикулярен плоскости П, то треугольник

УУУ* — прямоугольный (рис. 5.2). Поскольку квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, то

YY2=YY*2+Y*Y2, (5-25)

где _

YY2 = О, -у)2 + (у2 у)2 + ... + (уп у)2

так называемая полная вариация у;

уҐ2 = (у]-у)2 + (уІ-у)2 + ... + (у'п-у)2

вариация у вследствие зависимости у от х;

у*у2 = (уу])2 + ІУг Уг)1 + ■• • + (У„ у'/

«собственная» вариация у или просто сумма квадратов ошибок.

2

Степень зависимости у отх оценивается с помощью показателя г :

Вычислив средние значения х= 14,4 и у = 25 по формуле (5.23) найдем

а* = 25-(-2,985)-14,4 = 68. Таким образом, уравнение прямой спроса имеет вид:

у = 68 2,985*. (5.24)

Для оценки степени соответствия найденного уравнения исходным данным обычно применяется показатель г2 (эр-квадрат). Этот показатель определяется следующим образом. Пусть, как и раньше, 112

Q—3700

(5.26)

Другими словами, т — это доля вариации у, объясненная зависимостью у от х, в полной вариации у. Из формулы (5.25) следует, что г Є [О, 1]._С геометрической точки зрения г — это квадрат косинуса угла У в треугольнике У У У*.

Нетрудно подсчитать, что для найденной выше функции спроса (5.24) показатель г = 0,955, что можно интерпретировать как достаточно удачное приближение наблюдаемых значений спроса линейной функции (5.24).

Завершая рассмотрение приложений метода наименьших квадратов, опишем показатели альфа и бета акций компании. На некоторой фондовой бирже, начиная с некоторого момента времени, через равные интервалы времени (скажем, ежемесячно) регистрируются характеристики акций, обращающихся на данной бирже.

Пусть cj — стоимость одной акции j-й компании в начале периода

с номером / ( или, что то же самое, в конце периода / 1).

Пусть df — сумма дивидендов, выплаченных по одной акции

компанииуза период г. Тогда доходность (или эффективность) акций определяется отношением

' Г"

Портфель акций задается числом акций каждого вида, входящих в данный портфель. Нас, однако, будет интересовать не само число акций компании j в составе портфеля, а их доля а ■ в общей стоимости

всего портфеля. Очевидно, что сумма всех долей Хду = 1> а доход./

ность портфеля Rp за период t определяется формулой

j

Рыночный портфель акций определяется как портфель, в котором представлены все имеющиеся в наличии обыкновенные акции, доля которых в портфеле зависит от стоимостных объемов эмиссии. Пусть г0 — безрисковая ставка процента за период t. Разность y'sR-'-г' называется избыточной доходностью (или премией за

Aj j о

риск) акций j. Соответственно хр' = Rp т1а — избыточная доходность портфеля р, а х'т — избыточная доходность рыночного портфеля. Применяя метод наименьших квадратов, найдем приближенную линейную зависимость Xj и хр от избыточной доходности рыночного

портфеля:

*/ = а/+рУж. (5 27)

Коэффициенты ау и (соответственно ар и 8р) называются коэффициентами альфа и бета акций j (соответственно портфеля; р). Акции, для которых Ру>1, часто называют «агрессивными» инвестиционными инструментами, колебания их избыточной доходности в среднем превышают колебания других акций. Если ву> 1, то акции такого типа называют «защитными» инвестиционными инструментами. Надо отметить, что показатель г2 для акций обычно существенно меньше 1, что говорит о значительном разбросе точек (X ' ,Х ,^относительно прямой (5.27). В то же время для портфелей акции показатель г2 обычно увеличивается при увеличении числа различных акций в портфеле и может быть близок к 1. Этот эффект называют диверсификацией риска.

В заключение отметим, что необходимость в самостоятельном вычислении показателей альфа, бета и г2 обычно не возникает, так как эти показатели регулярно публикуются. Для российских компаний и отраслевых портфелей такие данные публикует агентство АК&М в «Финансовой газете».