§1.16. множества, заданные с помощью неравенств

§1.16. множества, заданные с помощью неравенств

Рассмотрим в пространстве Л"множество всех точек (*,, удовлетворяющих неравенству

Д*„...,хп)>0, (1.28)

где /(хх,..., хп) некоторая функция, определенная и непрерывная на всем РГ. Обозначим это множество через X и покажем, что множество X замкнутое.

Пусть р0 = (д:,0,..., х°) предельная точка множества X. Мы должны доказать, что р0 є X, т.е. что f(x°,..., > 0. По условию имеем

p0 = limpn,

Взяв любое число х, запишем

\%(а,х + Ь)2 = х2^а2 +2х^аД+ ^Ь2 = о*2+2/2*+ /,(1.31)

l= i=i i=i /=1

где РуРг->некоторая последовательность точек изX. Но тогда в силу непрерывности функции/должно быть

/(А, )= lim/(/>„)•

Учитывая, что /(/>„)> 0 для всех и (ведь р„ еХ), находим отсюда, что f(p0)>0, т.е. р0еХ, что и требовалось доказать.

Наше рассуждение остается в силе, если множество X задано не одним неравенством (1.28), а системой из нескольких неравенств

Шх,,...,хп)>0

(1.29)

где/,, ...,fsнепрерывные функции на R" . Таким образам, справедливо следующее предложение.

Множество X czR", заданное с помощью системы неравенств (1.29), где все функции /,, ...,/, непрерывны, замкнуто в R".

§1.17. Приложения к главе 1

Приложение 1

Докажем «неравенство треугольника» в R":

р{р,я) + р(я>г)* р(р>г)

(см. (1.22), §1.14).

Установим сначала такое неравенство:

^Zfo+0 ^Z^Ztf. (1-30)

где ах,...,ап,Ьх,...,Ь„ какие угодно числа. 62 где а,/3,у обозначают соответственно 2-ia' ,2-ia<i,2-ii ' Очевидно, а>0,у > 0.Квадратный трехчлен ах2 + 2fix + у, как показывает левая часть равенства (1.31), неотрицателен при любом значении х. Следовательно, его дискриминант 01 ау < 0, откуда имеем 01 < ау, или

]Га,А<2>,2 Z6'(1-32)

Но если возвести в квадрат обе части (1.30) и сократить слева и справа равные слагаемые, то как раз получим неравенство (1.32).

Опираясь на неравенство (1.30), докажем теперь «неравенство треугольника». Если в (1.30) положим

о, = У, ~ х„Ь, = z, у,, так что а, +Ь,= г, xt, то придем к

Jz^-^)2+Jz^-^)^Jz(^-^)2'

V 1=1 V i=i V (=1

т.е. «неравенству треугольника» для трех точек p,q,r*R".

Приложение 2

Докажем лемму из §1.14 п. 2°.

Л емма. Всякая ограниченная последовательность точек в пространстве R" содержит подпоследовательность, сходящуюся к некоторой точке из R".

Доказательство. Начнем со случая п = 1. Данную нам ограниченную последовательность точек из R1 (т.е. чисел) обозначим

х1,х2,... (1.33)

По условию все числа xt принадлежат некоторому отрезку [а; Ь] = А. Разделим отрезок А пополам. Хотя бы одна из двух половин содержит подпоследовательность последовательности (1.33) (поскольку (1.33) бесконечная последовательность). Обозначим эту половину Др а соответствующую подпоследовательность, содержащуюся в (1.33), через П,. Разобьем отрезок А, пополам и выберем ту из половин, которая содержит подпоследовательность последовательности П(. Обозначим выбранную .половину А2, а соответствующую подпоследовательность П2. Этот процесс можно продолжать до бесконечности. Получаемые при этом отрезки А,, Д2,... образуют стягивающуюся систему, так как каждый последующий отрезок есть половина предыдущего. По известной теореме должна существовать точка xQ, принадлежащая всем этим отрезкам. Пусть:

хЛ| произвольная точка из П,;

хПі произвольная точка из П2, причем такая, что и2 > и, (существование такой точки вытекает из того, что подпоследовательность П, бесконечная);

хп> произвольная точка из П3, причем такая, что п3> п2, и т.д. Поскольку хщ еАх,х„г є Д2,..., а отрезки Д,,Д2,... стягиваютсяк

точкех0, то последовательность хщ,хп^,... и есть искомая подпоследовательность в (1.33). Итак, для случая п = 1 лемма доказана.

Пусть теперь и = 2. Данную нам последовательность точек из л обозначим так:

Р = {х\>У\Рг =(Х2>У2)'— (1-34)

По условию эта последовательность ограничена, т.е. содержится в некотором круге. Тем самым она содержится и в некотором прямоугольнике вида

а< x<b,c<y<d.

Рассмотрим последовательность хх, х2, ... (первые координаты точек рх, р2, ...). Она является ограниченной, так как вся содержится в [а, Ь]. По доказанному, найдется подпоследовательность хПі ,хПі, сходящаяся к некоторому числу xQ. Рассмотрим тогда вторые координаты точек рщ,р„2,--Они образуют последовательность y„t ,уПікоторая также является ограниченной (вся содержится в [с, d]). Значит, существует подпоследовательность этой последовательности уП] ,ущ,..., которая сходится к некоторому числу yQ. Последовательность точек рт ,рт является подпоследовательностью исходной последовательности (1.32). Первые координаты этих точек по построению сходятся к х а вторые к у<у Значит, эта последовательность сходится к точке = (*о' З'о)А™ слУ43* п = 2 лемма доказана.

Далее таким же путем можно рассмотреть случай п = 3, затем и = 4 и т.д.

Приложение 3

Докажем теорему о равномерной непрерывности из

§1.10 п. 6. Пусть функция f{x) непрерывна на отрезке [а, Ь].

Предположим, рассуждая от противного, что для некоторого

є > 0 не существует такого S > 0, что из рг, х2 < S следует

ІЯХ) ~ Яхг) < еЭт° означает, что каково бы ни было число

S > 0, обязательно найдется пара точек *, и х2, таких что

1*1 _ *2І < £ но ~ ^г)! £В частности, при любом

натуральном п найдутся такие точки х„их'„ из [а,Ь], что

х„ -дси|<—, но f (хп)f (х'п)\> є. Из ограниченной последовательности {хп}, согласно лемме из приложения 2, можно выбрать сходящуюся подпоследовательность. Чтобы не усложнять обозначения, будем считать, что сама последовательность и является такой подпоследовательностью, т.е. существует imx„ = xQ. Теперь из ограниченной последовательности {х'п} выберем сходящуюся подпоследовательность {х'„ } и только такими парами хп ,х'„ и ограничимся. Короче говоря, будем считать, что существуют оба предела Нтдсл=д;0и imx'n = x'.

ИЗ ТОГО, ЧТО |ДС„-Х„|<— ДЛЯ ЛЮбОГО П, Следует Xq=Xq.

Таким образом, limx„=x0 и limx'-x0. Но тогда из ЯХ„) -Л х'п )І ^ є ввиду непрерывности функции f(x) должно следовать f(x0)-fixQ)\> £, т.е. 0>є, что невозможно.

Приложение 4

В данном приложении мы докажем критерий продуктивности матрицы Леонтьева из главы 3 первой части учебника. А именно, справедлива

Теорема 1.13. Если существует вектор v >0, такой

-о -о _ что выполняется неравенство v > Av , то матрица Леонтьева А продуктивна.

Доказательство. Пусть задан произвольный вектор

спроса і > 0. Так как по условию z° = v° Av° > 0, то найдется 5-,s« 65

положительное число Л, такое что Az° > у. Подставляя в это

неравенство выражение для z°, получим

-о -о — Av A(Av )> у.

Итак, для вектора х = Яу° имеем

х>Ах + у. (1.35)

Положим х° = у и рассмотрим последовательность

Г' = Ах+у (/ = 0,1,2,...). (1.36)

Эта последовательность возрастающая: дг'+1 > х'. Рассуждаем по индукции:

-і .-о - .— " -о х = Ах + у = Ау + у > у х ,

—1+1 .—/ — . .—<—і — —і х -Ах + у > Ах + у = х .

Эта последовательность ограничена сверху вектором х. Доказательство проведем тоже по индукции:

х>Ах + у (из(1.35)) =>х>у = х°,

- - - -і -1+1 х> Ах + у> Ах +у = х

(из индуктивного предположения х > х' следует неравенство Ах > Ах'У

Отсюда вытекает существование предела последовательности Іітдг' =3с. Переходя к пределу в равенстве (1.36), получим

л-»оо

х = Ах + у. Это показывает, что неотрицательный вектор х является искомым решением уравнения Леонтьева

х= Ах + у

для заданного вектора конечного спроса у. Теорема доказана полностью.